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线性变换习题

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线性变换习题 一、填空题 1. 设是3P的线性变换，(,,)(2,4,3)abcbcaba，,,abcP，1(1,0,0),

2(0,1,0),3(0,0,1)是3P的一组基，则在基123,,



下的矩阵为

_______________，又3123,P则()_________。 2. 设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间nP的线性变换：()A，nP，则1dim(0)＝ ，dim()nP＝ 。

3. 设P上三维列向量空间V的线性变换在基123,,下的矩阵是112201121，则在基213,,下的矩阵是 。

4. 如果矩阵A的特征值等于1，则行列式||AE= 。 5. 设A=211121112，()XAX是P3上的线性变换，那么的零度= 。

6. 若nnAP，且2AE，则A的特征值为 。 7. 在[]nPx中，线性变换D(()fx)'()fx，则D在基211,,,,nxxx下的矩阵为 。

8. 在22P中，线性变换10:20AA在基121001,,0000EE

300,10E 40001E



下的矩阵是 。

9. 设321502114A的三个特征值为1，2，3，则1+2+3= ，123= 。

10. 数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间()LV为 维线性空间，它与 同构。 11. 已知n阶方阵A满足2AA，则A的特征值为 。 12. 已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则||A 。

13. 设为数域P上的线性空间V的线性变换,若是单射,则1(0)= 。 14. 设三阶方阵A的特征值为1,2,-2,则|2|A= 。 15. 在[]nPx中，线性变换D(()fx)'()fx，则D在基211,2,3,,nxxnx下的矩阵 为 。

16. 已知线性变换在基123,,下的矩阵为111213212223313233aaaaaaaaa，则在基231,,下的矩阵为 。 17. 设P上三维列向量空间V的线性变换在基123,,下的矩阵是112201121，则

 在基213,,下的矩阵是 。

18. 设线性变换在基21,的矩阵为1011，线性变换在基12,下的矩阵为

1101

，那么在基21,下的矩阵为 .

19. 已知n阶方阵A满足2AA，则A的特征值为 。

20. 已知线性变换在基123,,下的矩阵为111213212223313233aaaaaaaaa，则在基321,,下的 矩阵为 。 21. 在3R中，若向量组1(1,1,0)t，2(1,2,0)，23(0,0,1)t线性相关，则t 。 22. 若线性变换在基123,,下的矩阵为211011121，则在基321,,下的矩阵为 矩阵为 。 23. 若nnAP，且2AE，则A的特征值为 。 二、选择题 1. 下列哪种变换一定是向量空间nFx的线性变换（ ）。

A．xxfxf B．dxxfxf C．xfxf D．xfxfxf2 2. 当n阶矩阵A适合条件（ ）时，它必相似于对角阵。 A．A有n个不同的特征向量 B．A是三角矩阵 C．A有n个不同的特征值 D．A是可逆矩阵 3. 设是向量空间V上的线性变换，且

22

，则的所有特征值为（ ）。

A．2 B．0，2 C．0 D．0，2，1 4. 设是3维向量空间上的变换，下列中是线性变换的是（ ）。

A．321,,xxx=333123,,xxx B．321,,xxx=33221,,2xxxxx

C．321,,xxx=0,sin,cos21xx D．123,,xxx=21,0,0x 5. 设12,,,r是向量空间V的线性相关的向量组，是V的一个线性变换，则向量组12,,,r在下的像12(),(),,()r（ ）。

A．线性无关 B．线性相关 C．线性相关性不确定 D．全是零向量 6. n 阶方阵A有 n 个不同的特征值是A可以对角化的（ ）。

A．充要条件 B． 充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D． 既非充分也非必要条件 7. 设是向量空间V的线性变换且2

，则的特征值（ ）。

A．只有1 B．只有1 C．有1和1 D．有0和1

8. 如果方阵A与对角阵111D相似，则10A=（ ）。 A. E B. A C. E D. 10E 9. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（ ）。 A．EAEB B．A与B有相同的特征向量和特征值

C．A与B相似于同一个对角矩阵 D．BA 10. 设4级矩阵A与B相似，B的特征值是1，2，3，4，则A的行列式是（ ）。 A．-24 B．10 C．24 D．不能确定 11. 设是n维线性空间V的线性变换,那么下列说法错误的是（ ）。 A.是单射}0{)(Ker B.是满射V)Im( C.是双射}0{)(Ker D.是双射是单位映射 12. 设A为3阶矩阵,且EAEAEA2,,均不可逆,则错误的是（ ）。 A.A不相似于对角阵 B. A可逆 C. 0||EA D. 0||EA 13. 设A为3阶矩阵,且其特征多项式为)2)(1)(1()(f,则错误的是（ ）。 A.A相似于对角阵 B. A不可逆 C. 0||EA D. 0||EA 14. n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。 A．有n个互不相同的特征向量 B．有n个互不相同的特征根 C．有n个线性无关的特征向量 D. 不存在n个互不相同的特征根 15. 设是3维向量空间上的变换，下列中是线性变换的是（ ）。 A．321,,xxx=333123,,xxx B．321,,xxx=122332,5,6xxxxx

C．321,,xxx=12cos,,0xx D．123,,xxx=2213,0,xx 16. 设是向量空间V上的线性变换，且2E，则的所有特征值为（ ）。 A．2 B．-1，1 C．0 D．0，2，1

17. n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。 A. 有n个互不相同的特征向量 B. 有n个互不相同的特征根 C. 有n个线性无关的特征向量 D．是可逆线性变换 18. 2. 设矩阵A的每行元素之和均为1，则( )一定是EAA232的特征值。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 19. 设是3维向量空间上的变换，下列中是线性变换的是（ ）。 A．321,,xxx=23123,,xxx B．321,,xxx=123322,,xxxxx

C．321,,xxx=123cos,sin,sinxxx D．123,,xxx=212,,0xx 20. 设()LV，则下列各式成立的是（ ）。 A. dimImdimKern B.ImKerV C. ImKerV D.Im{0}Ker 三、计算题 1. 设3[]Rx表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而

1()1fxx，22()1fxx，23()2fxxx是3[]Rx的一组基，线性变换满足

21()2fxx，2()fxx，23()1fxxx

（）求在已知基下的矩阵；（2）设2()123fxxx，求()fx。

2. 设是二维列向量空间2P的线性变换：设122xxPx，定义1111xx。 （1） 求值域2P的基与维数；（2）求核1(0)的基与维数。

3. 设线性变换在基123,,下的矩阵是111222111A （1） 求矩阵A以及线性变换的特征值与特征向量； （2） 判断是否可以对角化（即线性变换是否在某组基下的矩阵为对角形），若

不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵T，使1TAT为对角形。

4. 令3R表示实数域R上的三元列向量空间，令111111222A，若3R，作变换()A。

（1） 证明为3R上的线性变换；（2）求ker()及其维数；（3）求Im()及其维数。

5. 设矩阵000000121A， （1） 求A的特征值和特征向量； （2） 求可逆矩阵P，使APP1为对角矩阵。

6. 令3R表示实数域R上的三元列向量空间，110011121A，1100，2010，

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推荐-20XX线性变换习题库 精品

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线性变换习题1、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为()33ijA a ⨯=，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。

解：设基123,,εεε到基231,,εεε下的矩阵为X ，即有231123(,,)(,,)X εεεεεε=。

而123123(,,)(,,)A σεεεεεε=，231231(,,)(,,)B σεεεεεε=，则1B X AX -=，得到222321323331121311a a a B a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

2、设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，Im φ与ker φ分别表示φ的值域与核，证明下列条件等价：（1）Im ker V φφ=⊕； （2）Im ker 0φφ⋂=； （3）若12,,,r ααα是Im φ的一组基，则12(),(),,()r φαφαφα是2Im φ的一组基；（4）秩()φ=秩2()φ.（注：表示Im ker φφ⊕直和） 证明：1)2)⇒显然成立2)1)⇒令dimker r φ=，设ker φ的一组基为1,,r αα，并扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+，1Im (,,)r n L φφαφα+=。

由于Im ker 0φφ⋂=，dimIm dimker n φφ+=，则dimIm n r φ=-，即1,,r n φαφα+线性无关，从而11,,,,,r r n ααφαφα+线性无关。

则11(,,,,,)r r n V L ααφαφα+=，故1）成立。

1)3)⇒令110r r k k φαφα++=，则11()0r r k k φαα++=。

存在ker αφ∈，使得11r r k k ααα=++。

又因为12,,,r ααα是Im φ的一组基，则存在12,,,r ξξξ，满足i i φξα=，1,,i r =。

把12,,,r ααα扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+，则1,,r n αα+为ker φ的一组基。

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。

本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。

通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。

高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案

高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

线性变换练习

线性变换练习

1．设V为数域P上维线性空间，是V的基，是V
的线性变换，并且在基下的矩阵为，其中
，求的特征值与特征向量。

解
设是的属于特征值的特征向量，则
于是有
如果特征值则
矩阵的属于特征值的特征向量为的属于特
征值的特征向量
如果特征值则
是矩阵
的属于特征值0的特征向量，
是的属于特征值0的特
征向量。

2．设V是维线性空间，A是V的线性变换，证明A可以对角化的充要条件是V可分解成个一维不变子空间的直和。

b5E2RGbCAP
证中存在一组基使
令则
所以是A的不变子空间，V可以分解成个一维不变子空间的直
和。

设可以分解成个一维不变子空间的直和，
那么是的一组基。

因为是A的不变子空间，
A可以对角化。

3．设是的两个不同的特征值，证明：如果
，则是的属于特征值的特征向量。

证因为
所以又因为，因而是的属于特征值的特征向量。

4．设是阶实对称矩阵，是阶实反对称矩阵，如果
则
证因为则而且
是实反对称矩阵，的特征值只有0和纯虚数，-1不是它的特征值，所以
5. 证明：维欧氏空间中至多有个，
申明：
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