高中数学：必修四 3.3.2 正切函数的图象与性质

3 (1) 2 4 (1)
(2)2
(2)
题型三
【例 3】 求下列函数的最小正周期: ( 1) y=- tan x 3 ;
求周期
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
5
( 2) y=| tan x| . 分析: ( 1) 利用 T= 求解; ( 2) 画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解: ( 1) ∵ ω= , ∴ 最小正周期 T= = 3.
内都是增函数。
kπ , ( ,0) k Z 2
对称轴呢？
典型例题
例1.求函数y= tan(

2
x

3
)的定义域、周期和单调区间。
5 定义域： x x 2k , k 3
周期：T 2
5 1 单调增区间： +2k , 2k , k 3 3
y tan x

正切函数的图象
3 2

0
y
3 2

2


3 2
o
x
问题4、正切函数 y
= tanx 的单调性。

2 k ,
正切函数在开区间(问题5、正切函数 y

= tanx
2 的值域。
k ), k 内都是增函数.
值域为R
正 切 函 数 图 像
性质 :
预习自测 1 (1) x k x k , k (2) x x k , k 2 (3) x k x k , k 2 k 2 x x , k 3 6
x k x k , k 2

§1-7.2 正切函数的图像与性质（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
三角函数
第一章
1． 4 三角函数的图象与性质
第一章
1．4.3 正切函数的性质与图象
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．下列函数中，最小正周期为π的是( A．y＝sinx x C．y＝sin2
规律总结：不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式 化到同一个单调区间内．
不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号 “<”、“>”连接起来． (1)tan32° ________tan215° .
28π 18π (2)tan 5 ________tan－ 9 .
[答案]
(1)< (2)<
(2)y＝|tanx|.
[分析] 求解．
π (1)利用T＝ |ω| 求解；(2)画出函数图象利用图象法
[解析]
π π (1)∵ω＝ ，∴最小正周期T＝ ＝3. 3 π 3
(2)函数y＝|tanx|的图象是将函数y＝tanx图象x轴下方的图 象沿x轴翻折上去，其余不变，如图所示．
由图知函数y＝|tanx|的最小正周期为π.
自主预习 认真阅读教材P34－35回答下列问题． 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做 正切曲线
．
(2)性质：如下表所示. 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性

y＝tanx
π x≠2＋kπ ，k∈Z x

R
π 奇函数
函数 性质 单 调 性 减区间
5 π 的周期是2.∴(3)对；y＝sin2π＋x＝cosx是偶函数，∴(4)对．

正弦：αsin =ry(定义域:R) 余割：y r =αcsc (=αsin 1)余弦：αcos =r x (定义域:R) 正割：x r =αsec (=αcos 1) 正切：αtan =xy(定义域:{α|αz k k ∈+≠,2ππ}) 余切：y x =αcot (=αtan 1)同角三角函数基本关系式：１．倒数：（１）αsin ·1csc =α（２）αcos ·1sec =α（３）αtan ·1cot =α２．商数关系：（１）αtan ααcos sin =（２）αααsin cos cot = ３．平方关系：（１）sin 2+αcos 21=α （２）1+tan 2α=sec 2α（３）1+cot 2csc =α2α （４）(αsin +αcos )2=1+2αsin ·αcos 诱导公式:角α与角k +α·π2)(z k ∈的三角函数间的关系：(1)k +αsin(·)2παsin = )(z k ∈(2)k +αcos(·)2παcos = )(z k ∈(3)k +αtan(·)2παtan = )(z k ∈[cot （k +α·π2）等,同它相反的函数,例: αcot =αtan 1,k +αtan(·)2παtan =,就有k +αcot(·)2παcot =.两者分别的函数名不变,符号也相同, αcsc 、αsec 同上,后同.]角α与角–α的三角函数间的关系：(1)ααsin )sin(-=-(2)ααcos )cos(=-(3)ααtan )tan(-=-角α与角πα)12(++k )(z k ∈的三角函数间的关系：(1)[]απαcos )12(cos -=++k (2)[]απαsin )12(sin -=++k (3)[]απαtan )12(tan =++k=+)sin(παn ①αsin -，当n 为奇数．②αsin ，当n 为偶数． =+)cos(παn ①αcos -，当n 为奇数．②αcos ，当n 为偶数． =+)tan(παn αtan ，z n ∈．α与2πα+的三角函数间的关系：(1)απαsin )2cos(-=+(2)ππαcos )2sin(=+在上面两个式子中，以-α代替α，可得另一组公式：(1)απαsin )2cos(=+- (2)απαcos )2sin(=+-由三角函数之间的关系又可得：απαcot )2tan(-=+，απαtan )2cot(-=+απαcot )2tan(=+-，απαtan )2cot(=+-我们知道，任何一个角都可表示为k ·απ+2（其中4πα≤）的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为０到4π之间角的三角函数求值问题． 角α与角απ+21的三角函数间的关系：(1)sin （απ+21）＝cos α(2)cos （απ+21）＝－sin α(3)tan （απ+21）＝－cot α角α与角απ-21的三角函数间的关系：(1)sin （απ-21）＝cos α(2)cos （απ-21）＝sin α(3)tan （απ-21）＝cot α角α与角απ-的三角函数间的关系：(1)ααπsin )sin(=-(2)ααπcos )cos(-=-(3)ααπtan )tan(-=-角α与角απ+的三角函数间的关系：(1)ααπsin )sin(-=+(2)ααπcos )cos(-=+(3)ααπtan )tan(=+角α与角απ-2的三角函数间的关系：(1)ααπsin )2sin(-=-(2)ααπcos )2cos(=-(3)ααπtan )2tan(-=-角α与角απ-23的三角函数间的关系：(1)sin （απ-23）＝－cos α(2)cos （απ-23）＝－sin α(3)tan （απ-23）＝cot α(4)cot （απ-23）＝tan α角α与角απ+23的三角函数间的关系：(1)sin （απ+23）＝－cos α(2)cos （απ+23）＝sin α(3)tan （απ+23）＝－cot α(4)cot （απ+23）＝－tan α[记忆方法:奇变偶不变(π21奇偶倍数α±,符号看象限(原来三角函数的符号)]两角和与差的正弦:(1)βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (S α+β）(2)βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (S α-β)两角和与差的余弦:(1)βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (C α+β）(2)βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (C α-β)两角和与差的正切:(1)βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ (T α+β）(2)βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- (T α-β)二倍角的正弦、余弦和正切公式:(1)αααcos sin 22sin = （S 2α）(2)=α2cos cos 2α- sin 2α=2 cos 2α-1=1-2 sin 2α （C 2α） (3)2tan α tan2α＝————— 1－tan 2α（T 2α）三倍角的正弦、余弦和正切公式:(1)sin3α＝3sin α－4sin 3α (2)cos3α＝4cos 3α－3cos α (3)3tan α－tan 3αtan3α＝———————— 1－3tan 2α三角函数的积化和差与和差化积：考察公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-； βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-；积化和差：[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=；[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=；[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=；[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=；由上可得：βαβαβαcos sin 2)sin()sin(=-++；βαβαβαsin cos 2)sin()sin(=--+； βαβαβαcos cos 2)cos()cos(=-++；βαβαβαcos cos 2)cos()cos(-=--+；设：x =+βα，y =-βα，则2y x +=α，2yx -=β． 和差化积：2cos 2sin 2sin sin y x y x y x -+=+；2sin2cos 2sin sin yx y x y x -+=-； 2cos 2cos 2cos cos y x y x y x -+=+；2sin2sin 2cos cos yx y x y x -+-=-． 万能公式:2tan(2α) sinα＝———————— 1＋tan 2(2α) 1－tan 2(2α) cosα＝———————1＋tan 2(2α)2tan(2α) tanα＝———————1－tan 2(2α)半角的正弦、余弦和正切公式:三角函数的降幂公式:化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）:[cot（–α）等,同它相反的函数,例: αcot=, tan（–α）=-tanα,就有cot（–α）= -cotα.两者分别αtan的函数名不变,符号也相同,αcsc、αsec同上,后同.]。