专题：平行线中作辅助线的方法
◆类型一含一个拐点的平行线问题
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为()
A．140°B．130°C．120°D．110°
第1题图第2题图
2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为() A．20°B．30°C．40°D．70°
3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1＋∠2＋∠3＝________°.
第3题图第4题图4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．
5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．【方法8】
◆类型二含两个或多个拐点的平行线问题
6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为()
A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2
C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°
第6题图第7题图7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.
8．如图，AB∥CD，试解决下列问题：
(1)如图①，∠1＋∠2＝________；
(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；
(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；
(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________．
9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；
(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
解法技巧解析（答案）
1．B解析：过点C向右作CG∥AB，由题意可得AB∥EF∥CG ，∴∠B＝∠BCG，∠GCD ＝90°，则∠BCD＝40°＋90°＝130°.故选B.
2．B解析：如图，过点C作CF∥DE，则AB∥DE∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，∠CDE＋∠DCF＝180°，∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCF －∠DCF＝70°－40°＝30°.故选B.
3．360
4．15°解析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1＝∠2.∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°.
5．解：如图①，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠P AB＝∠APF，∠PCD＝∠FPC，∴∠APC＝∠APF＋∠FPC＝∠P AB＋∠PCD；
如图②，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠P AB＋∠APF＝180°，∠PCD＋∠FPC ＝180°，∴∠APC＋∠P AB＋∠PCD＝360°；
如图③，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FP A＋∠P AB＝180°，∠FP A＋∠APC ＋∠PCD＝180°，∴∠P AB＝∠APC＋∠PCD；
如图④，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FP A＝∠P AB，∠FP A＋∠APC ＝∠PCD，∴∠P AB＋∠APC＝∠PCD.
6．D解析：如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1＝∠AEG，∴∠GEF＝∠2－∠1.∵EG∥FH，∴∠EFH＝180°－∠GEF＝180°－(∠2－∠1)＝180°－∠2＋∠1，∴∠CFH＝∠3－∠EFH＝∠3－(180°－∠2＋∠1)＝∠3＋∠2－∠1－180°.∵FH∥CD，∴∠4＝∠CFH＝∠3＋∠2－∠1－180°.故选D.
7．140解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD.∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.
8．(1)180°(2)360°(3)540°(4)(n－1)·180°
解析：(1)如图①，∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°；
(2)如图②，过点E作直线EF平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＋∠AEF ＝180°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
(3)过点E，F作EG，FH平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG ＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.
(4)根据上述规律，显然作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补，即可得到n个角的和是(n－1)·180°.
9．解：(1)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，分别过点E，G，M作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN ＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN ＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3＋∠5.
(2)∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝右的所有角的度数之和相等．
