【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之122构造法证明不等式

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一、选择题（共2小题；共10分）

1. 求证 𝑥=𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛𝑛，𝑃=(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2，𝑞=(𝑥1−𝑎)2+(𝑥2−𝑎)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑎)2，若 𝑎≠𝑥，则一定有 (  )

A. 𝑃>𝑞 B. 𝑃<𝑞

C. 𝑃，𝑞 的大小不定 D. 以上都不对

2. 已知函数 𝑓(𝑥) 在 (0,π2) 上处处可导，若 [𝑓(𝑥)−𝑓ʹ(𝑥)]tan𝑥−𝑓(𝑥)<0，则 (  )

A. 𝑓(ln32)sin(ln32) 一定小于 35𝑓(ln52)sin(ln52)

B. 𝑓(ln32)sin(ln32) 一定大于 35𝑓(ln52)sin(ln52)

C. 𝑓(ln32)sin(ln32) 可能大于 35𝑓(ln52)sin(ln52)

D. 𝑓(ln32)sin(ln32) 可能等于 35𝑓(ln52)sin(ln52)

二、填空题（共2小题；共10分）

3. 已知 𝑎,𝑏∈[0,1]，则 𝑆(𝑎,𝑏)=𝑎1+𝑏+𝑏1+𝑎+(1−𝑎)(1−𝑏) 的最小值为 ． 4. 对于函数 𝑦=𝑓(𝑥)，若存在区间 [𝑎,𝑏]，当 𝑥∈[𝑎,𝑏] 时的值域为 [𝑘𝑎,𝑘𝑏](𝑘>0)，则称 𝑦=𝑓(𝑥)

为 𝑘 倍值函数．若 𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥 是 𝑘 倍值函数，则实数 𝑘 的取值范围是 ．

三、解答题（共78小题；共1014分）

5. 已知函数 𝑓(𝑥)=(𝑥+1)ln𝑥−𝑎𝑥+2．

（1）当 𝑎=1 时，求 𝑓(𝑥) 在 𝑥=1 处的切线方程；

（2）若函数 𝑓(𝑥) 在定义域上具有单调性，求实数 𝑎 的取值范围；

（3）求证：13+15+17+⋯+12𝑛+1<12ln(𝑛+1)，𝑛∈𝐍∗．

6. 已知 𝑥>0，求证：𝑥−𝑥22−ln(1+𝑥)<0． 7. 已知函数 𝑓(𝑥) 在 (−∞,+∞) 上是增函数，𝑎,𝑏≤𝐑，对命题“若 𝑎+𝑏≥0，则 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)≥𝑓(−𝑎)+𝑓(−𝑏)”，

（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

8. 已知函数 𝑓(𝑥)=ln1+𝑥1−𝑥 .求证：当 𝑥∈(0,1) 时，𝑓(𝑥)>2(𝑥+𝑥33) . 9. 已知函数 𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑎𝑥（𝑎 为常数）的图象与 𝑦 轴交于点 𝐴 ，曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝐴 处的切线斜率为 −1 .

（1）求 𝑎 的值及函数 𝑓(𝑥) 的极值；

（2）证明：当 𝑥>0 时，𝑥2

10. 设函数 𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑚𝑥,𝑚∈𝐑．

（1）当 𝑚=e(e为自然对数的底数) 时，求 𝑓(𝑥) 的最小值； 第2页（共65 页） （2）讨论函数 𝑔(𝑥)=𝑓ʹ(𝑥)−𝑥3 零点的个数；

（3）若对任意 𝑏>𝑎>0，𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎<1 恒成立，求 𝑚 的取值范围． 11. （1）如果关于 𝑥 的不等式 ∣𝑥+1∣+∣𝑥−5∣≤𝑚 的解集不是空集，求 𝑚 的取值范围；

（2）若 𝑎，𝑏 均为正数，求证：𝑎𝑎𝑏𝑏≥𝑎𝑏𝑏𝑎． 12. 已知函数 𝑓(𝑥)=e𝑥−1+𝑎𝑥，𝑎∈𝐑．

（1）讨论函数 𝑓(𝑥) 的单调区间；

（2）求证：e𝑥−1≥𝑥；

（3）求证：当 𝑎≥−2 时，∀𝑥∈[1,+∞)，𝑓(𝑥)+ln𝑥≥𝑎+1 恒成立． 13. 设函数 𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑎𝑥−1，对 ∀𝑥∈𝐑，𝑓(𝑥)≥0 恒成立．

（1）求 𝑎 的取值集合；

（2）求证：1+12+13+⋯+1𝑛>ln(𝑛+1)(𝑛∈𝐍∗)．

14. 已知函数 𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥．

（1）求 𝑓(𝑥) 的极值；

（2）当 0<𝑥𝑓(e−𝑥)；

（3）设函数 𝑓(𝑥) 图象与直线 𝑦=𝑚 的两交点分别为 𝐴(𝑥1,𝑓(𝑥1))，𝐵(𝑥2,𝑓(𝑥2))，中点横坐标为 𝑥0，证明：𝑓ʹ(𝑥0)<0．

15. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+12𝑥2−(1+𝑎)𝑥．

（1）求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间；

（2）证明：𝑚,𝑛∈𝐍+ 时，𝑚(𝑚+𝑛)[1ln(𝑚+𝑛)+1ln(𝑚+𝑛−1)+1ln(𝑚+𝑛−2)+⋯+1ln(𝑚+1)]>𝑛．

16. 已知 𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑥−1．

（1）求证：𝑓(𝑥)≥0；

（2）求证：(12𝑛)𝑛+(32𝑛)𝑛+(52𝑛𝑛)+⋯+(2𝑛−12𝑛)𝑛<√ee−1 对一切正整数 𝑛 均成立．

17. 已知函数 𝑓(𝑥)=12𝑥2−(𝑎+1𝑎)𝑥+ln𝑥，其中 𝑎>0．

（1）当 𝑎=2 时，求曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 (1,𝑓(1)) 处切线的方程；

（2）当 𝑎≠1 时，求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间；

（3）若 𝑎∈(0,12)，证明对任意 𝑥1,𝑥2∈[12,1](𝑥1≠𝑥2)，∣𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)∣𝑥12−𝑥22<12 恒成立．

18. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥−𝑥+1，𝑔(𝑥)=𝑥2−2ln𝑥−1 .

（1）ℎ(𝑥)=4𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) ，试求 ℎ(𝑥) 的单调区间；

（2）若 𝑥≥1 时，恒有 𝑎𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥) ，求 𝑎 的取值范围. 19. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎e−𝑥−𝑥+1，𝑎∈𝐑．

（1）当 𝑎=1 时，求曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 在 (0,𝑓(0)) 处的切线方程；

（2）若对任意 𝑥∈(0,+∞)，𝑓(𝑥)<0 恒成立，求 𝑎 的取值范围；

（3）当 𝑥∈(0,+∞) 时，求证：2e−𝑥−2<12𝑥2−𝑥．

20. 设 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐑，且它们的绝对值都不大于 1，求证：𝑎𝑏＋𝑏𝑐＋𝑐𝑎+1≥0⋅ 21. 已知函数 𝑓(𝑥)=ln(𝑥−1)−𝑘(𝑥−1)+1(𝑘∈𝐑)． 第3页（共65 页） （1）求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间；

（2）若 𝑓(𝑥)≤0 恒成立，试确定实数 𝑘 的取值范围；

（3）证明：ln23+ln34+⋯+ln𝑛𝑛+1≤𝑛(𝑛−1)4（𝑛∈𝐍+ 且 𝑛≥2）．

22. （1）讨论函数 𝑓(𝑥)=𝑥−2𝑥+2⋅e𝑥 的单调性，并证明当 𝑥>0 时，(𝑥−2)⋅e𝑥+𝑥+2>0

（2）证明：当 𝑎∈[0,1) 时，函数 𝑔(𝑥)=e𝑥−𝑎𝑥−𝑎𝑥2(𝑥>0) 有最小值．设 𝑔(𝑥) 的最小值为 ℎ(𝑎)，求函数 ℎ(𝑎) 的值域．

23. 已知 𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−ln𝑥)+2𝑥−1𝑥2，𝑎∈𝐑．

（1）讨论 𝑓(𝑥) 的单调性；

（2）当 𝑎=1 时，证明 𝑓(𝑥)>𝑓ʹ(𝑥)+32 对于任意的 𝑥∈[1,2] 成立． 24. 设函数 𝑓(𝑥)=𝑥−𝑚(𝑥+1)ln(𝑥+1)，其中 𝑚>0．

（1）求 𝑓(𝑥) 的极大值；

（2）当 𝑚=1 时，若直线 𝑦=2𝑡 与函数 𝑓(𝑥) 在 [−12,1] 上的图象有交点，求实数 𝑡 的取值范围；

（3）当 𝑎>𝑏>0 时，试证明：(1+𝑎)𝑏<(1+𝑏)𝑎． 25. 已知函数 𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑚𝑥+𝑚，𝑚∈𝐑．

（1）求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间．

（2）若 𝑓(𝑥)≤0 在 𝑥∈(0,+∞) 上恒成立，求实数 𝑚 的取值范围．

（3）在（2）的条件下，任意的 0<𝑎<𝑏，求证：𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎<1𝑎(1+𝑎)．

26. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−(𝑘+1)ln𝑥−1𝑥．

（1）当 𝑘=12 时，求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间和极值；

（2）求证：当 0<𝑘<1 时，关于 𝑥 的不等式 𝑓(𝑥)>1 在区间 [1,e] 上无解．（e=2.71828⋯） 27. 已知函数 𝑓(𝑥)=ln(𝑥+𝑎)−𝑥2−𝑥 在 𝑥=0 处取得极值．

（1）求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间；

（2）若关于 𝑥 的方程 𝑓(𝑥)=−52𝑥+𝑏 在区间 (0,2) 有两个不等实根，求实数 𝑏 的取值范围；

（3）对于 𝑛∈𝐍∗，证明：212+322+432+⋯+𝑛+1𝑛2>ln(𝑛+1)． 28. 已知函数 𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑥−3．

（1）求函数 𝑓(𝑥) 的最大值；

（2）求证：ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+⋯+ln(𝑛2+1)<1+2ln𝑛!(𝑛≥2,𝑛∈𝐍∗)．

29. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥𝑥+1 和直线 𝑙：𝑦=𝑚(𝑥−1)．

（1）当曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 (1,𝑓(1)) 处的切线与直线 𝑙 垂直时，求原点 𝑂 到直线 𝑙 的距离；

（2）若对于任意的 𝑥∈[1,+∞)，𝑓(𝑥)≤𝑚(𝑥−1) 恒成立，求 𝑚 的取值范围；

（3）求证：ln√2𝑛+14<∑𝑖4𝑖2−1𝑛𝑖=1(𝑛∈𝐍∗)．

30. 已知函数 𝑓(𝑥)=−13𝑥3+𝑎2𝑥2−2𝑥 （ 𝑎∈𝐑 ）．

（1）当 𝑎=3 时，求函数 𝑓(𝑥) 的单调区间； 第4页（共65 页） （2）若对于任意 𝑥∈[1,+∞) 都有 𝑓ʹ(𝑥)<2(𝑎−1) 成立，求实数 𝑎 的取值范围；

（3）若过点 (0,−13) 可作函数 𝑦=𝑓(𝑥) 图象的三条不同切线，求实数 𝑎 的取值范围．

31. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥−4，𝑔(𝑥)=𝑘𝑥+3

（1）当 𝑎∈[3,4] 时，函数 𝑓(𝑥) 在区间 [1,𝑚] 上的最大值为 𝑓(𝑚)，试求实数 𝑚 的取值范围

（2）当 𝑎∈[1,2] 时，若不等式 ∣𝑓(𝑥1)∣−∣𝑓(𝑥2)∣＜𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2) ， 对任意 𝑥1，𝑥2∈[2,4](𝑥1＜𝑥2) 恒成立，求实数 𝑘 的取值范围 32. 已知函数 𝑓(𝑥)=(𝑥−2)e𝑥+𝑎(𝑥−1)2 有两个零点．