5-3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼

5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼同步练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、选择题1．某校学生租车外出研学，若租用45座客车，则余5人没座位；若租用60座客车，则可以少租用6辆，且最后一辆车有10个空位．设租x辆车，学生共有y人，则可列方程组为（）A．B．C．D．2．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（）A．B．C．D．3．如图，直线AB，CD，相交于点O，∠MON＝90°．∠BON比∠MOA多10°．求∠BON，∠MOA的度数若设∠BON＝x°，∠MOA＝y°．可列方程组为（）A．B．C．D．4．如图，将正方形ABCD沿AE（点E在边CD上）所在直线折叠后，点D的对应点为点D′，∠BAD′比∠EAD′大30°，若设∠BAD′＝x°，∠EAD′＝y°，则下列方程组正确的是（）A．B．C．D．5．列方程组解古算题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：几个人共同购买一件物品，每人出8钱，余3钱；每人出7钱，缺4钱．设参与共同购物的有x个人，物品价值y钱，可列方程组为（）A．B．C．D．6．“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（）A．B．C．D．7．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为（）A．B．C．D．9．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（）A．B．C．D．10．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（）A．B．C．D．11．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（）A．B．C．D．12．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）A．B．C．D．13．用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B 型钢板y块，则可列方程组为（）A．B．C．D．14．某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B 两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（）A．B．C．D．15．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．二、填空题16．黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？17．为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由A，B 两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天．（1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：甲：乙：根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数x表示的意义：甲：x表示；乙：x表示．（2）从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米．18．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解．19．桥长1000m，现有一列匀速行驶的货车从桥上通过，测得货车从上桥到完全过桥共用了60s，而整个货车在桥上的时间是40s，求货车的长度和速度．20．《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷“雉兔同笼”流传尤为广泛．“雉兔同笼”题为：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？上述“雉兔同笼”问题中，鸡和兔各有多少只？（请用两种方法解答）21．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据题意，得②小华同学：设整治任务完成后，m表示，n表示；则可列方程组为请你补全小明、小华两位同学的解题思路．（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．22．有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：．（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．23．为打造南渡江南侧风光带，现有一段长为350米的河边道路整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天．（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：；乙：；根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示，y表示；乙：x表示，y表示；（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？24．某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．（1）列一元一次方程求解．（2）设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，列二元一次方程组．（3）检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．25．如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米题中的两个相等关系：（1）小长方形的长+＝大长方形的宽可列方程为：；（2）小长方形的长＝，可列方程为：．26．根据题意列二元一次方程组：（1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？27．大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？。

5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼【学习目标】【知识目标】使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题【能力目标】通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。

【情感目标】通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心。

【重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。

【难点】根据题意找出等量关系，列出方程。

【学习过程】一．我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。

“雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？”问题1、“上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。

问题2、你能根据问题1中的的数量关系列出方程吗？并能解决这个有趣的问题吗？（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演）解：设有鸡x只，兔y只，则x+y=35 解之得 x=232x+4y=94 y=12答：共有鸡23只，兔12只。

这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理解了数学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？”……二．中国是一个伟大的四大文明古国，像这样浅显有趣的数学题目还有很多，我们的书上就提供了这样的一个例题例1、以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？接下来老师看一下，那位同学的古文水平好，那位同学能自告奋勇地解释一下，这段古文的意思？（用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井深各是多少尺？）（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演）解：设绳子长x 尺，井深y 尺，则1453=-=-y x y x 解之得 x= 48y=11 答：绳子长为48尺，井深11尺。

课前预习记录：月日星期10分钟课前预习练（北师大版）5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼知识要点1．列方程(或方程组)解决实际问题时，关键是要找出题目中的等量关系．2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：(1)审：审题，弄清题目中的数量关系，并找出题中的两个等量关系；(2)设：用字母表示题目中的两个未知数；(3)列：根据已找出的每个等量关系列出方程，并组成方程组；(4)解：解所列的方程组(用代入法或消元法)，求出未知数的值；(5)检：检验所得结果是否符合方程(组)及实际意义；(6)答：作答．课堂练习一．选择题（共5小题）1．某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得5+分，每答错一道题得2-分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则( )A．20x y-=B．20x y+=C．5260x y-=D．5260x y+=2．小明和小丽同时到一家水果店买水果，小明买1kg荔枝和5kg西瓜，共花了30元；小丽买2kg荔枝和3kg西瓜，共花了46元，设荔枝每千克x元，西瓜每千克y元，根据题意，列出方程组应为()A．5302346x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5303246x yx y+=⎧⎨+=⎩C．5302346x yx y+=⎧⎨+=⎩D．5303246x yx y+=⎧⎨+=⎩3．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为()A．4.5112x yx y=+⎧⎪⎨=+⎪⎩B．4.5112y xy x=+⎧⎪⎨=+⎪⎩C．4.5112x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩D．4.5112y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩4．一条船顺水行驶，每小时行驶22千米；逆流航行，每小时行驶18千米，设船在静水中速度为x千米/时，水流速度为y千米/小时，下列方程组符合题意的是()A．1822x yx y+=⎧⎨-=⎩B．2218x yx y+=⎧⎨-=⎩C．1822y xy x+=⎧⎨-=⎩D．2218y xy x+=⎧⎨-=⎩5．如图，已知射线OP的端点O在直线AB上，AOP∠比BOP∠的4倍少45︒，设AOP∠的度数为x︒，BOP∠的度数为y︒，则x，y满足的关系是()A．180445x yy x+=⎧⎨=+⎩B．180445x yy x+=⎧⎨=-⎩C．180445x yx y+=⎧⎨=+⎩D．180445x yx y+=⎧⎨=-⎩二．填空题（共3小题）6．买5kg苹果和3kg梨共需23元，分别求苹果和梨的单价．设苹果的单价x元/kg，梨的单价y元/kg，可列方程：．7．一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军196千米，如果设第一天每小时行军x千米，第二天每小时行军y千米，依题意，可列方程为．8．1元的人民币x张，10元的人民币y张，共120元，这个关系用方程可以表示为．三．解答题（共2小题）9．某养猪专业户利用一堵砖墙（长度足够）围成一个长方形猪栏，围猪栏的栅栏一共长40m，设这个长方形的相邻两边的长分别为()x m和()y m．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；（2）若长方形猪栏砖墙部分的长度为5m，求自变量x的取值范围．10．一批机器零件共840个，甲先做4天，乙加入做，再做8天刚好完成．设甲每天做x 个，乙每天做y个．（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）用含x的代数式表示y，并求当36x ，y的值是多少？（3）若乙每天做45个，则甲每天做多少个？．。

（二）过程与方法
1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，培养观察、分析、抽象的能力。
2.学会运用代入法、消元法求解方程组，掌握数学方法解决问题的策略。
3.通过小组合作、讨论交流，提高沟通能力和团队合作精神。
4.在解决实际问题的过程中，培养解决问题的思维能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣，认识到数学在生活中的重要性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解并掌握二元一次方程组的概念及其解法。
2.能够运用鸡兔同笼等问题构建方程组，并运用代入法、消元法求解。
3.培养学生的数学建模能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.对二元一次方程组的抽象理解，尤其是如何从实际问题中提炼出方程组。
2.对代入法、消元法的灵活运用，尤其是面对复杂问题时选择合适的解题方法。
五、作业布置
为了巩固学生对二元一次方程组的理解，提高解题技能，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第89页的练习题1、2、3，这些题目旨在帮助学生巩固方程组的构建和代入法、消元法的应用。
2.从第90页的拓展题中选择两题进行解答。这些题目难度较高，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。
3.结合生活实际，自选一个情境，构建一个二元一次方程组，并运用所学方法求解。要求同学们将解题过程和答案写在作业本上，以锻炼学生的数学建模能力。
4.完成课后小组讨论任务：每组选择一道课堂练习中的题目，分析解题过程中的关键步骤，总结解题技巧。小组成员需共同完成讨论报告，并在下次课堂上分享。
5.写一篇学习心得，谈谈在本节课中你对二元一次方程组的认识，以及在解决问题过程中遇到的困难和解决办法。
作业布置要求：