线面垂直与面面垂直
典型例题
线面垂直与面面垂直 基础要点
、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβ
B 、α不一定平行于β
C 、α不平行于β
D 、以上结论都不正确
、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o ,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线上
B 、直线上
C 、直线上
D 、△的内部
、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6
π，过A 、B 分别作两平面交线
的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1
C 、3:2
D 、4:3
、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==o
,
B`
A`
B
A
α
β
1
C
12,1BC CC ==上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是
5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱长 的取值范围是 。
题型一：直线、平面垂直的应用
1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥中，D ，E ，F 分别为棱，，的中点. 已知
,685PA AC PA BC DF ⊥===，，.
求证：(1) PA DEF P 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱，的中点， 所以∥.
又因为 ⊄ 平面， 平面， 所以直线∥平面.
(2) 因为D ，E ，F 分别为棱，，的中点，＝6，＝8，所以∥，＝12
＝3，＝12
＝4.
又因 ＝5，故2＝2＋2
， 所以∠＝90°，即丄. 又⊥，∥，所以⊥. 因为∩＝E ，
平面，
平面，所以⊥平面.
又平面，所以平面⊥平面.
B 1
1
D A D
B
A
2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱
111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：
1//C F 平面ABE .
证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，
11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面
,AB ABE ⊂Q 平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.
(2)取的中点G ，连接，
Q E 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1
,2
FG AC FG AC ∴=
P , 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=Q P P ，，
，,则四边形1FGEC 为平行四边形，
111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴P Q P 平面平面平面.
3．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．
分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．
证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面
⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以
PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外
⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD =I ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以
AC BC ⊥．
说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
4. 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，
︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===
(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．
分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．
(1)证明：∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ，
∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形， ∴a AC AB ==，
取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥． 在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=
，
∴2
)22(2
22
2
2
2
a a a CH AC AH =
-=-=，∴2
2
2
a SH =
．
在SHA ∆中，∴2
2
2a AH =
，2
2
2
a SH =
，22a SA =，
∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ． ∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．
或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，
又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，
又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点， ∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面
BSC ．
(2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ， ∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 2
2
2==， ∴点S 到平面ABC 的距离为
a 2
2
． 、如图示，为长方形，垂直于所在平面，过A
且垂直于的平面分别交、、于E 、F 、G ，求证：⊥⊥
D
C
B
A
S
G E
F
