上海历年高考数学压轴题题选

高考数学复习历年压轴题归类专题讲解平面向量（解析版）1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】解：点A ，B ，C 不共线，“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|＞|BC →|”， “|AB →+AC →|＞|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的充分必要条件．故选：C ．2．【2018年浙江09】已知a →，b →，e →是平面向量，e →是单位向量．若非零向量a →与e →的夹角为π3，向量b →满足b →2−4e →•b →+3＝0，则|a →−b →|的最小值是（ ）A ．√3−1B ．√3+1C ．2D ．2−√3【答案】解：由b →2−4e →•b →+3＝0，得(b →−e →)⋅(b →−3e →)=0， ∴（b →−e →）⊥（b →−3e →），如图，不妨设e →=(1，0)，则b →的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a →与e →的夹角为π3，则a →的终点在不含端点O 的两条射线y =±√3x （x ＞0）上．不妨以y =√3x 为例，则|a →−b →|的最小值是（2，0）到直线√3x −y =0的距离减1．即√3|√3+1−1=√3−1．故选：A ．3．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →⋅BE →的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴， 以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN ⊥x 轴，过点B 做BM ⊥y 轴， ∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1， ∴AN ＝AB cos60°=12，BN ＝AB sin60°=√32， ∴DN ＝1+12=32， ∴BM =32，∴CM ＝MB tan30°=√32， ∴DC ＝DM +MC =√3，∴A （1，0），B （32，√32），C （0，√3）， 设E （0，m ），∴AE →=（﹣1，m ），BE →=（−32，m −√32），0≤m ≤√3，∴AE →⋅BE →=32+m 2−√32m ＝（m −√34）2+32−316=（m −√34）2+2116， 当m =√34时，取得最小值为2116．故选：A ．4．【2018年天津文科08】在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →=2MA →，CN →=2NA →，则BC →⋅OM →的值为（ ）A ．﹣15B ．﹣9C ．﹣6D ．0【答案】解：解法Ⅰ，由题意，BM →=2MA →，CN →=2NA →，∴BM MA=CN NA=2，∴BC ∥MN ，且BC ＝3MN ，又MN 2＝OM 2+ON 2﹣2OM •ON •cos120°＝1+4﹣2×1×2×（−12）＝7， ∴MN =√7； ∴BC ＝3√7，∴cos ∠OMN =OM 2+MN 2−ON 22OM⋅MN =2×1×7=7，∴BC →•OM →=|BC →|×|OM →|cos （π﹣∠OMN ）＝3√7×1×（7）＝﹣6． 解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →=2MA →，CN →=2NA →， 知BC →=AC →−AB →=3AN →−3AM →=−3OM →+3ON →， ∴BC →⋅OM →=（﹣3OM →+3ON →）•OM →＝﹣3OM →2+3ON →•OM →＝﹣3×12+3×2×1×cos120° ＝﹣6． 故选：C ．5．【2017年新课标2理科12】已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →•（PB →+PC →）的最小值是（ ）A ．﹣2B ．−32 C ．−43 D ．﹣1【答案】解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点， 则A （0，√3），B （﹣1，0），C （1，0），设P （x ，y ），则PA →=（﹣x ，√3−y ），PB →=（﹣1﹣x ，﹣y ），PC →=（1﹣x ，﹣y ）， 则PA →•（PB →+PC →）＝2x 2﹣2√3y +2y 2＝2[x 2+（y −√32）2−34] ∴当x ＝0，y =√32时，取得最小值2×（−34）=−32， 故选：B ．6．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →=λAB →+μAD →，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．2√2C ．√5D ．2【答案】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （1，0），D （0，2），C （1，2）， ∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ， ∵BC ＝2，CD ＝1， ∴BD =√22+12=√5∴12BC •CD =12BD •r ，∴r =5，∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 的坐标为（2√55cos θ+1，2√55sin θ+2），∵AP →=λAB →+μAD →， ∴（2√55cos θ+1，2√55sin θ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ）， ∴2√55cos θ+1＝λ，2√55sin θ+2＝2μ，∴λ+μ=2√55cos θ+√55sin θ+2＝sin （θ+φ）+2，其中tan φ＝2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A ．7．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA →•OB →，I 2=OB →•OC →，I 3=OC →•OD →，则（ ）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3 【答案】解：∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3， ∴AC ＝2√2，∴∠AOB ＝∠COD ＞90°， 由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞OA →•OB →＞OC →•OD →，OB →•OC →＞0， 即I 3＜I 1＜I 2， 故选：C ．8．【2016年天津理科07】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为（ ）A ．−58 B ．14C ．18D ．118【答案】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE ＝2EF ，∴AF →•BC →=(AD →+DF →)⋅BC →=(−12BA →+32DE →)⋅BC →=(−12BA →+34AC →)⋅BC →=(−12BA →+34BC →−34BA →)⋅BC →=(−54BA →+34BC →)⋅BC →=−54BA →⋅BC →+34BC →2=−54|BA →|⋅|BC →|cos60°+34×12=−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．9．【2016年天津文科07】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为（ ）A ．−58 B ．14C ．18D ．118【答案】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE ＝2EF ，∴AF →•BC →=(AD →+DF →)⋅BC →=(−12BA →+32DE →)⋅BC →=(−12BA →+34AC →)⋅BC →=(−12BA →+34BC →−34BA →)⋅BC →=(−54BA →+34BC →)⋅BC →=−54BA →⋅BC →+34BC →2=−54|BA →|⋅|BC →|cos60°+34×12=−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．10．【2014年浙江理科08】记max {x ，y }={x ，x ≥y y ，x ＜y，min {x ，y }={y ，x ≥y x ，x ＜y，设a →，b →为平面向量，则（ ）A ．min {|a →+b →|，|a →−b →|}≤min {|a →|，|b →|} B ．min {|a →+b →|，|a →−b →|}≥min {|a →|，|b →|}C ．max {|a →+b →|2，|a →−b →|2}≤|a →|2+|b →|2D ．max {|a →+b →|2，|a →−b →|2}≥|a →|2+|b →|2 【答案】解：对于选项A ，取a →⊥b →，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立； 对于选项B ，取a →，b →是非零的相等向量，则不等式左边min {|a →+b →|，|a →−b →|}＝0，显然，不等式不成立；对于选项C ，取a →，b →是非零的相等向量，则不等式左边max {|a →+b →|2，|a →−b →|2}＝|a →+b →|2＝4|a →|2，而不等式右边＝|a →|2+|b →|2＝2|a →|2，故C 不成立，D 选项正确．故选：D ．11．【2014年天津理科08】已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE →=λBC →，DF →=μDC →，若AE →•AF →=1，CE →•CF →=−23，则λ+μ＝（ ）A ．12B ．23C ．56D ．712【答案】解：由题意可得若AE →•AF →=（AB →+BE →）•（AD →+DF →）=AB →⋅AD →+AB →⋅DF →+BE →⋅AD →+BE →⋅DF →＝2×2×cos120°+AB →⋅μAB →+λAD →•AD →+λAD →•μAB →=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1， ∴4λ+4μ﹣2λμ＝3 ①．CE →•CF →=−EC →•（−FC →）=EC →⋅FC →=（1﹣λ）BC →•（1﹣μ）DC →=（1﹣λ）AD →•（1﹣μ）AB →＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=−23， 即﹣λ﹣μ+λμ=−23②． 由①②求得λ+μ=56， 故选：C ．12．【2013年上海理科18】在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→．若m 、M分别为（a i→+a j→+a k →）•（d r →+d s →+d t →）的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1，2，3，4，5}，{r ，s ，t }⊆{1，2，3，4，5}，则m 、M 满足（ ）A ．m ＝0，M ＞0B ．m ＜0，M ＞0C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0【答案】解：由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→，∴利用向量的数量积公式，可知只有AF →⋅DE →=AB →⋅DC →＞0，其余数量积均小于等于0， ∵m 、M 分别为（a i →+a j →+a k →）•（d r →+d s →+d t →）的最小值、最大值， ∴m ＜0，M ＜0 故选：D ．13．【2012年天津理科07】已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2．设点P ，Q 满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ)AC →，λ∈R ．若BQ →⋅CP →=−32，则λ＝（ ）A ．12B ．1±√22C ．1±√102D ．−3±√22【答案】解：∵AP →=λAB →，AQ →=(1−λ)AC →，λ∈R∴BQ →=BA →+AQ →=BA →+(1−λ)AC →，CP →=CA →+AP →=CA →+λAB →∵△ABC 为等边三角形，AB ＝2∴BQ →⋅CP →=BA →⋅CA →+λBA →⋅AB →+（1﹣λ）AC →⋅CA →+λ(1−λ)AC →⋅AB →＝2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°＝2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2， ＝﹣2λ2+2λ﹣2 ∵BQ →⋅CP →=−32 ∴4λ2﹣4λ+1＝0 ∴（2λ﹣1）2＝0∴λ=12 故选：A ．14．【2012年天津文科08】在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ)AC →，λ∈R ．若BQ →⋅CP →=−2，则λ＝（ ）A ．13B ．23C ．43D ．2【答案】解：由题意可得AB →⋅AC →=0，由于BQ →⋅CP →=（AQ →−AB →）•（AP →−AC →）＝[(1−λ)AC →−AB →]•[λAB →−AC →] ＝0﹣（1﹣λ）AC →2−λAB →2+0＝（λ﹣1）4﹣λ×1＝﹣2， 解得 λ=23， 故选：B ．15．【2011年上海理科17】设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是平面上给定的5个不同点，则使MA 1→+MA 2→+MA 3→+MA 4→+MA 5→=0→成立的点M 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．5D ．10【答案】解：根据题意，设M 的坐标为（x ，y ），x ，y 解得组数即符合条件的点M 的个数，再设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5的坐标依次为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），（x 4，y 4），（x 5，y 5）；若MA 1→+MA 2→+MA 3→+MA 4→+MA 5→=0→成立，得（x 1﹣x ，y 1﹣y ）+（x 2﹣x ，y 2﹣y ）+（x 3﹣x ，y 3﹣y ）+（x 4﹣x ，y 4﹣y ）+（x 5﹣x ，y 5﹣y ）=0→，则有x =x 1+x 2+x 3+x 4+x 55，y =y 1+y 2+y 3+y 4+y 55； 只有一组解，即符合条件的点M 有且只有一个； 故选：B ．16．【2010年天津文科09】如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →=√3BD →，|AD →|=1，则AC →⋅AD →=（ ）A ．2√3B ．√32C ．√33D ．√3【答案】解：AC →⋅AD →=|AC →|⋅|AD →|cos∠DAC =|AC →|⋅cos∠DAC =|AC →|sin∠BAC =BC →sinB =√3 故选：D ．17．【2020年江苏卷13】在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =mPB ⃑⃑⃑⃑⃑ +(32−m)PC ⃑⃑⃑⃑⃑ （m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵A,D,P 三点共线∴可设PA⃑⃑⃑⃑⃑ =λPD ⃑⃑⃑⃑⃑ (λ>0) ∵PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =mPB ⃑⃑⃑⃑⃑ +(32−m)PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴λPD ⃑⃑⃑⃑⃑ =mPB ⃑⃑⃑⃑⃑ +(32−m)PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =mλPB⃑⃑⃑⃑⃑ +(32−m)λPC⃑⃑⃑⃑⃑ ∵B,D,C 三点共线∴mλ+(32−m)λ=1，即λ=32∵AP =9 ∴AD =3∵AB =4, AC =3, ∠BAC =90° ∴BC =5设CD =x ，∠CDA =θ，则BD =5−x ，∠BDA =π−θ. ∴根据余弦定理可得cosθ=AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD=x6，cos (π−θ)=AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD=(5−x )2−76(5−x )∵cosθ+cos (π−θ)=0 ∴x6+(5−x )2−76(5−x )=0，解得x =185.∴CD 的长度为185. 故答案为：185.18．【2020年天津卷15】如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°, AB =3，BC =6，且AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λBC ⃑⃑⃑⃑⃑ , AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−32，则实数λ的值为_________，若M,N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，则DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】∵AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λBC⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AD //BC ，∴∠BAD =180∘−∠B =120∘， AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λBC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos120∘ =λ×6×3×(−12)=−9λ=−32，解得λ=16，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，∵BC =6，∴C (6,0),∵|AB |=3,∠ABC =60°，∴A 的坐标为A (32,3√32),∵又∵AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =16BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,则D (52,3√32)，设M (x,0)，则N (x +1,0)（其中0≤x ≤5），DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −52,−3√32)，DN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −32,−3√32)， DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −52)(x −32)+(3√32)2=x 2−4x +212=(x −2)2+132， 所以，当x =2时，DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最小值132. 故答案为：16；132. 【点睛】19．【2019年天津文科14】在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →•AE →= ．【答案】解：∵AE ＝BE ，AD ∥BC ，∠A ＝30°， ∴在等腰三角形ABE 中，∠BEA ＝120°， 又AB ＝2√3，∴AE ＝2，∴BE →=−25AD →，∵AE →=AB →+BE →，∴AE →=AB →−25AD →又BD →=BA →+AD →=−AB →+AD →，∴BD →•AE →=(−AB →+AD →)⋅(AB →−25AD →)=−AB →2+75AB →⋅AD →−25AD →2=−AB →2+75|AB|→⋅|AD|→cosA −25AD →2＝﹣12+75×5×2√3×√32−25×25 ＝﹣1故答案为：﹣1．20．【2019年天津理科14】在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →•AE →= ．【答案】解：∵AE ＝BE ，AD ∥BC ，∠A ＝30°， ∴在等腰三角形ABE 中，∠BEA ＝120°， 又AB ＝2√3，∴AE ＝2， ∴BE →=−25AD →，∵AE →=AB →+BE →，∴AE →=AB →−25AD →又BD →=BA →+AD →=−AB →+AD →，∴BD →•AE →=(−AB →+AD →)⋅(AB →−25AD →)=−AB →2+75AB →⋅AD →−25AD →2=−AB →2+75|AB|→⋅|AD|→cosA −25AD →2＝﹣12+75×5×2√3×√32−25×25 ＝﹣1故答案为：﹣1．21．【2019年江苏12】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O ．若AB →•AC →=6AO →•EC →，则AB AC的值是 ．【答案】解：设AO →=λAD →=λ2（AB →+AC →）， AO →=AE →+EO →=AE →+μEC →=AE →+μ（AC →−AE →）＝（1﹣μ）AE →+μAC →=1−μ3AB →+μAC →∴{λ2=1−μ3λ2=μ，∴{λ=12μ=14， ∴AO →=12AD →=14（AB →+AC →）， EC →=AC →−AE →=−13AB →+AC →， 6AO →•EC →=6×14（AB →+AC →）×（−13AB →+AC →）=32（−13AB →2+23AB →⋅AC →+AC →2）=−12AB →2+AB →⋅AC →+32AC →2，∵AB →•AC →=−12AB →2+AB →⋅AC →+32AC →2，∴12AB →2=32AC →2，∴AB →2AC →2=3，∴AB AC=√3．故答案为：√322．【2019年浙江17】已知正方形ABCD 的边长为1．当每个λi （i ＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →|的最小值是 ，最大值是 ．【答案】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB →+AD →=AC →，BD →=AD →−AB →，AB →•AD →=0，|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD→|＝|λ1AB →+λ2AD →−λ3AB →−λ4AD →+λ5AB →+λ5AD →+λ6AD →−λ6AB →| ＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）AB →+（λ2﹣λ4+λ5+λ6）AD →|=√(λ1−λ3+λ5−λ6)2+(λ2−λ4+λ5+λ6)2，由于λi （i ＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2√5． 故答案为：0，2√5．23．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B （5，0），以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →⋅CD →=0，则点A 的横坐标为 ．【答案】解：设A （a ，2a ），a ＞0， ∵B （5，0），∴C （a+52，a ），则圆C 的方程为（x ﹣5）（x ﹣a ）+y （y ﹣2a ）＝0． 联立{y =2x(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0，解得D （1，2）． ∴AB →⋅CD →=(5−a ，−2a)⋅(−a−32，2−a)=a 2−2a−152+2a 2−4a =0． 解得：a ＝3或a ＝﹣1． 又a ＞0，∴a ＝3． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．24．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，√2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°．若OC →=m OA →+n OB →（m ，n ∈R ），则m +n ＝ ．【答案】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7． ∴cos α=15√2，sin α=75√2．∴C (15，75)．cos （α+45°）=√22（cos α﹣sin α）=−35． sin （α+45°）=√22（sin α+cos α）=45． ∴B (−35，45)．∵OC →=m OA →+n OB →（m ，n ∈R ）， ∴15=m −35n ，75=0+45n ，解得n =74，m =54． 则m +n ＝3． 故答案为：3．25．【2017年浙江15】已知向量a →、b →满足|a →|＝1，|b →|＝2，则|a →+b →|+|a →−b →|的最小值是 ，最大值是 ．【答案】解：记∠AOB ＝α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得：|a →+b →|=√5+4cosα， |a →−b →|=√5−4cosα，令x =√5−4cosα，y =√5+4cosα，则x 2+y 2＝10（x 、y ≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图， 令z ＝x +y ，则y ＝﹣x +z ，则直线y ＝﹣x +z 过M 、N 时z 最小为z min ＝1+3＝3+1＝4， 当直线y ＝﹣x +z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的√2倍， 也就是圆弧MN 所在圆的半径的√2倍， 所以z max =√2×√10=2√5．综上所述，|a →+b →|+|a →−b →|的最小值是4，最大值是2√5． 故答案为：4、2√5．26．【2017年天津文科14】在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2．若BD →=2DC →，AE →=λAC →−AB →（λ∈R ），且AD →⋅AE →=−4，则λ的值为 ．【答案】解：如图所示，△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，BD →=2DC →，∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →） =13AB →+23AC →，又AE →=λAC →−AB →（λ∈R ），∴AD →⋅AE →=（13AB →+23AC →）•（λAC →−AB →） ＝（13λ−23）AB →•AC →−13AB →2+23λAC →2＝（13λ−23）×3×2×cos60°−13×32+23λ×22＝﹣4，∴113λ＝1，解得λ=311． 故答案为：311．27．【2016年江苏13】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →•CA →=4，BF →•CF →=−1，则BE →•CE →的值是 ．【答案】解：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF →=BD →+DF →，CF →=−BD →+DF →，BA →=BD →+3DF →，CA →=−BD →+3DF →，∴BF →•CF →=DF →2−BD →2＝﹣1，BA →•CA →=9DF →2−BD →2＝4，∴DF →2=58，BD →2=138，又∵BE →=BD →+2DF →，CE →=−BD →+2DF →， ∴BE →•CE →=4DF →2−BD →2=78， 故答案为：7828．【2016年浙江理科15】已知向量a →，b →，|a →|＝1，|b →|＝2，若对任意单位向量e →，均有|a →•e →|+|b →•e →|≤√6，则a →•b →的最大值是 ．【答案】解：由绝对值不等式得√6≥|a →•e →|+|b →•e →|≥|a →•e →+b →•e →|＝|（a →+b →）•e →|， 于是对任意的单位向量e →，均有|（a →+b →）•e →|≤√6， ∵|（a →+b →）|2＝|a →|2+|b →|2+2a →•b →=5+2a →•b →，∴|（a →+b →）|=√5+2a →⋅b →，因此|（a →+b →）•e →|的最大值√5+2a →⋅b →≤√6， 则a →•b →≤12，下面证明：a →•b →可以取得12，（1）若|a →•e →|+|b →•e →|＝|a →•e →+b →•e →|，则显然满足条件．（2）若|a →•e →|+|b →•e →|＝|a →•e →−b →•e →|，此时|a →−b →|2＝|a →|2+|b →|2﹣2a →•b →=5﹣1＝4，此时|a →−b →|＝2于是|a →•e →|+|b →•e →|＝|a →•e →−b →•e →|≤2，符合题意， 综上a →•b →的最大值是12，法2：由于任意单位向量e →，可设e →=a →+b→|a →+b →|，则|a →•e →|+|b →•e →|＝|a →⋅(a →+b →)|a →+b →||+|b →⋅(a →+b →)|a →+b →||≥||a →⋅(a →+b →)|a →+b →|+b →⋅(a →+b →)|a →+b →||＝|(a →+b →)⋅(a →+b →)|a →+b →||＝|a →+b →|，∵|a →•e →|+|b →•e →|≤√6，∴|a →+b →|≤√6， 即（a →+b →）2≤6， 即|a →|2+|b →|2+2a →•b →≤6，∵|a →|＝1，|b →|＝2， ∴a →•b →≤12，即a →•b →的最大值是12．法三：设OA →=a →，OB →=b →，OC →=e →， 则OD →=a →+b →，BA →=a →−b →，|a →•e →|+|b →•e →|＝|OA 1→|+|A 1B 1→|＝|OB 1→|≤|OD →|，由题设当且仅当e →与OD →同向时，等号成立，此时（a →+b →）2取得最大值6， 由于|a →+b →|2+|a →−b →|）2＝2（|a →|2+|b →|2）＝10， 于是（a →−b →）2取得最小值4，则a →•b →=|a →+b →|2−|a →−b →|24≤12，a →•b →的最大值是12．故答案为：12．29．【2016年上海理科12】在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，则BP →•BA →的取值范围是 ．【答案】解：∵在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y =√1−x 2上一个动点， ∴设P （cos α，sin α），α∈[0，π]， ∴BA →=（1，1），BP →=（cos α，sin α+1），BP →⋅BA →=cos α+sin α+1=√2sin(α+π4)+1，∴BP →•BA →的取值范围是[0，1+√2]． 故答案为：[0，1+√2]． 30．【2015年浙江理科15】已知e →1，e →2是空间单位向量，e →1⋅e →2=12，若空间向量b →满足b →⋅e →1=2，b →⋅e →2=52，且对于任意x ，y ∈R ，|b →−(xe 1→+ye 2→)|≥|b →−(x 0e 1→+y 0e 2→)|=1（x 0，y 0∈R ），则x 0＝ ，y 0＝ ，|b →|＝ ．【答案】解：∵e 1→•e 2→=|e 1→||e 2→|cos ＜e 1→•e 2→＞=cos ＜e 1→•e 2→＞=12， ∴＜e 1→•e 2→＞=π3， 不妨设e 1→=（12，√32，0），e 2→=（1，0，0），b →=（m ，n ，t ）， 则由题意可知b →⋅e 1→=12m +√32n ＝2，b →⋅e 2→=m =52，解得m =52，n =√32， ∴b →=（52，√32，t ）， ∵b→−（xe 1→+ye 2→）＝（52−12x ﹣y ，√32−√32x ，t ）， ∴|b →−（xe 1→+ye 2→）|2＝（52−12x ﹣y ）2+（√32−√32x ）2+t 2＝x 2+xy +y 2﹣4x ﹣5y +t 2+7＝（x +y−42）2+34（y ﹣2）2+t 2，由题意当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，（x +y−42）2+34（y ﹣2）2+t 2取最小值1， 此时t 2＝1，故|b →|=(52)2+(32)2+t 2=2√2故答案为：1；2；2√231．【2015年上海理科14】在锐角三角形 ABC 中，tan A =12，D 为边 BC 上的点，△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE →•DF →= ．【答案】解：如图，∵△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，∴12|AB →|⋅|DE →|=2，12|AC →|⋅|DF →|=4，可得|DE →|=4|AB →|，|DF →|=8|AC →|，∴|DE →|⋅|DF →|=32|AB →|⋅|AC →|．又tan A =12，∴sinA cosA=12，联立sin 2A +cos 2A ＝1，得sinA =√55，cos A =2√55． 由12|AB →|⋅|AC →|sinA =6，得|AB →|⋅|AC →|=12√5． 则|DE →|⋅|DF →|=8√515．∴DE →•DF →=|DE →|⋅|DF →|cos ＜DE →，DF →＞=8√515×(−2√55)=−1615． 故答案为：−1615．32．【2015年天津理科14】在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →=λBC →，DF →=19λDC →，则AE →•AF →的最小值为 ．【答案】解：由题意，得到AD ＝BC ＝CD ＝1，所以AE →•AF →=（AB →+BE →）•（AD →+DF →）＝（AB →+λBC →）•（AD →+19λDC →） =AB →⋅AD →+λBC →⋅AD →+19λAB →⋅DC →+19BC →⋅DC →=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+19λ×2×1+19×1×1×cos120°＝1+λ2+29λ−118≥1718+23=2918（当且仅当λ2=29λ时等号成立）；故答案为：2918．33．【2015年天津文科13】在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC＝60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →=23BC →，DF →=16DC →，则AE →•AF →的值为 ．【答案】解：∵AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴BG =12BC =12，CD ＝2﹣1＝1，∠BCD ＝120°， ∵BE →=23BC →，DF →=16DC →，∴AE →•AF →=（AB →+BE →）•（AD →+DF →）＝（AB →+23BC →）•（AD →+16DC →） =AB →•AD →+16AB →•DC →+23BC →•AD →+23BC →•16DC →＝2×1×cos60°+16×2×1×cos0°+23×1×1×cos60°+23×16×1×1×cos120° ＝1+13+13−118=2918， 故答案为：291834．【2014年江苏12】如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →=3PD →，AP →⋅BP →=2，则AB →⋅AD →的值是 ．【答案】解：∵CP →=3PD →，∴AP →=AD →+14AB →，BP →=AD →−34AB →， 又∵AB ＝8，AD ＝5，∴AP →•BP →=（AD →+14AB →）•（AD →−34AB →）＝|AD →|2−12AB →•AD →−316|AB →|2＝25−12AB →•AD →−12＝2，故AB →•AD →=22， 故答案为：22．35．【2014年天津文科13】已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →•AF →=1，则λ的值为 ．【答案】解：∵BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，∴BE →=13BC →，DF →=1λDC →，AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →=AB →+13AD →，AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=AD →+1λAB →，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，∴|AB →|＝|AD →|＝2，AB →•AD →=2×2×cos120°＝﹣2， ∵AE →•AF →=1，∴（AB →+13AD →）•（AD →+1λAB →）=13AD →2+1λAB →2+（1+13λ）AB →•AD →=1， 即13×4+1λ×4﹣2（1+13λ）＝1，整理得103λ=53，解得λ＝2，故答案为：2．36．【2013年江苏10】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC ，若DE →=λ1AB →+λ2AC →（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为 ．【答案】解：由题意结合向量的运算可得DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC →=12AB →+23(BA →+AC →)=12AB →−23AB →+23AC →=−16AB →+23AC →， 又由题意可知若DE →=λ1AB →+λ2AC →， 故可得λ1=−16，λ2=23，所以λ1+λ2=12 故答案为：1237．【2013年浙江理科17】设e 1→、e 2→为单位向量，非零向量b→=x e 1→+y e 2→，x 、y ∈R ．若e 1→、e 2→的夹角为30°，则|x||b →|的最大值等于 ．【答案】解：∵e 1→、e 2→为单位向量，e 1→和e 2→的夹角等于30°，∴e 1→⋅e 2→=1×1×cos30°=√32．∵非零向量b →=x e 1→+ye 2→，∴|b →|=√b →2=√x 2+2xye 1→⋅e 2→+y 2=√x 2+√3xy+y 2，∴|x||b|=√x 2+√3xy+y 2=√2x 2+√3xy+y 2=√11+√3⋅y x+(y x)2=√(y x+√32)+14，故当yx=−√32时，|x||b|取得最大值为2，故答案为 2．38．【2013年北京文科14】已知点A （1，﹣1），B （3，0），C （2，1）．若平面区域D 由所有满足AP →=λAB →+μAC →（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为 ．【答案】解：设P 的坐标为（x ，y ），则AB →=（2，1），AC →=（1，2），AP →=（x ﹣1，y +1），∵AP →=λAB →+μAC →， ∴{x −1=2λ+μy +1=λ+2μ，解之得{λ=23x −13y −1μ=−13x +23y +1∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P 坐标满足不等式组{1≤23x −13y −1≤20≤−13x +23y +1≤1作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF 及其内部 其中C （4，2），D （6，3），E （5，1），F （3，0） ∵|CF |=√(4−3)2+(2−0)2=√5，点E （5，1）到直线CF ：2x ﹣y ﹣6＝0的距离为d =5=3√55∴平行四边形CDEF 的面积为S ＝|CF |×d =√5×3√55=3，即动点P 构成的平面区域D 的面积为3故答案为：339．【2012年上海理科12】在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是 ．【答案】解：建立如图所示的直角坐标系，则B （2，0），A （0，0），D （12，√32），设|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→=λ，λ∈[0，1]，M （2+λ2，√3λ2），N （52−2λ，√32），所以AM →⋅AN →=（2+λ2，√3λ2）•（52−2λ，√32） ＝﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣1， 所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]． 故答案为：[2，5]．40．【2011年浙江理科14】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的范围是 ．【答案】解：∵12|α→||β→|sin θ=14∴sin θ=12|α→||β→|，∵|α→|＝1，|β→|≤1， ∴sin θ≥12，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[π6，5π6]，41．【2011年天津理科14】已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 ．【答案】解：如图，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则A （2，0），B （1，a ），C （0，a ），D （0，0） 设P （0，b ）（0≤b ≤a ）则PA →=（2，﹣b ），PB →=（1，a ﹣b ）， ∴PA →+3PB →=（5，3a ﹣4b ） ∴|PA →+3PB →|=√25+(3a −4b)2≥5． 故答案为5．42．【2011年天津文科14】已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 ．【答案】解：如图，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则A （2，0），B （1，a ），C （0，a ），D （0，0） 设P （0，b ）（0≤b ≤a ）则PA →=（2，﹣b ），PB →=（1，a ﹣b ）， ∴PA →+3PB →=（5，3a ﹣4b ） ∴|PA →+3PB →|=√25+(3a −4b)2≥5． 故答案为5．43．【2010年浙江理科16】已知平面向量α→，β→(α→≠0→，α→≠β→)满足|β→|=1，且α→与β→−α→的夹角为120°，则|α→|的取值范围是 ．【答案】解：令用AB →=α→、AC →=β→，如下图所示： 则由BC →=β→−α→，又∵α→与β→−α→的夹角为120°， ∴∠ABC ＝60°又由AC =|β→|=1由正弦定理|α→|sinC=|β→|sin60°得：|α→|=2√33sinC ≤2√33 ∴|α→|∈（0，2√33]故|α→|的取值范围是（0，2√33]故答案：（0，2√33]44．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________． 【答案】√5 −1 【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A (0,0)、B (2,0)、C (2,2)、D (0,2)，AP⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1)， 则点P (2,1)，∴PD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)， 因此，|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(−2)2+12=√5，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×(−2)+1×(−1)=−1. 故答案为：√5；−1.。

专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称. 3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D.24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()2211235(1)2k f f f f f f k =⎡⎤++++++⎣⎦=∑()()()4622f f f ⎡⎤+++⎣⎦13101024=----=-.故选：D例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=， 令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =， 令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-， 所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--， 故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. ()10f -=C. ()20f =D.()40f =【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 94-B. 32-C.74 D.52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．例5 已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4【分析】由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12＝＝，由函数 f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心＝＝，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )＝＝＝＝2，＝＝＝＝f (x )＝＝＝即可.【解析】＝＝＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝＝＝＝f (＝x ＝1)＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝ f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝＝＝f (1＝x )＝f (x )＝＝＝f (x ＝1)＝＝f (x )＝＝f (x ＝2)＝＝f (x ＝1)＝f (x )＝ ＝＝ ＝＝f (x )＝＝＝＝2＝＝＝＝＝＝＝＝x ＝12＝＝＝＝＝＝＝f (x )＝＝＝＝＝＝＝＝由图象可得 f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例6 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f （2）的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数， 当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数； 据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=，f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确； 对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D正确； 故选：ABD ． 例7 已知函数()111123f x x x x =++---，()2g x x =-，则关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和为______；定义区间(),a b ，[),a b ，(],a b ，[],a b 长度均为b a -，则()1111123f x x x x =++≥---解集全部区间长度之和为______． 【答案】①8 ②3【分析】根据题意得以函数()f x 关于点()2,0对称，进而利用导数研究函数()f x 性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和；令()1111123f x x x x =++=---整理得方程的实数根123,,x x x 满足1239x x x ++=，再数形结合得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x ，最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为()()1114321f x f x x x x-=++=----， 所以函数()f x 关于点()2,0对称， 由于()()()()222111'0123f x x x x =---<---，所以函数()f x 在()()()(),1,1,2,2,3,3,-∞+∞上单调递减，由于1x <时，()0f x <，(),0x f x →-∞→，()1,x f x -→→-∞，()1,x f x +→→+∞，()2,x f x -→→-∞，()2,x f x +→→+∞，()3,x f x -→→-∞，()3,x f x +→→+∞，(),0x f x →+∞→，且3x >时，()0f x >.故作出函数简图如图： 根据图像可知，函数()111123f x x x x =++---与函数()2g x x =-图像共有4个交点，且关于点()2,0对称，所以()()f x g x =的实数根之和为8；令()1111123f x x x x =++=---，整理得32923170x x x -+-=， 由图像知方程有三个实数解，不妨设为123,,x x x ， 所以由三次方程的韦达定理得1239x x x ++=， 由函数图像得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x所以全部区间长度之和为12312312363x x x x x x -+-+-=++-=. 故答案为：8；3.【巩固训练】1．已知函数()1()2x af x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1 C．2) D．2)4. 已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的周期为4B.函数f (x )图象关于直线x ＝2对称C.当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D.当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－125.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则6．(多选题)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________.8. (多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2) 9. (2022·江苏常州·模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )等于( ) A.0B.mC.2mD.4m)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=10.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5011.已知函数y kx b =+与函数11x x y e e --=-的图象交于A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝2211e e+-，则实数k ＝ ．【答案与提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8【解析】()lg 4x g x x =-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3. 【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(25)f f ∴==+ .4. 【答案】ABC【解析】 由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，所以函数f (x )的周期为4，A 正确.由f (1＋x )＝f (3－x )，得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确.当0≤x ≤2时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，2上单调递增.所以当x ＝12时，函数f (x )在[0，2]上取得极小值－14，且f (0)＝0，f (2)＝2.作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14，D 错误.故选ABC.5. 【答案】－8【提示】四个根分别关于直线2x =，6x =-对称.【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．6．【答案】ABC【解析】法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 yx f(x)=m (m>0)所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.8. 【答案】ABC【解析】根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，则2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C 正确；因为f (x )＝f (－x )，x ∈[－2，－1]时，－x ∈[1，2]，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋1，x ∈[－2，－1]，因为f (x )的周期为4，f (x )＝f (x －4)，x ∈[2，3]时，x －4∈[－2，－1]，所以f (x )＝f (x －4)＝ln(4－x )＋1，x ∈[2，3]，D 错误.综上，正确的是ABC.9.【答案】 B【解析】 ∵f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x. ∴函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0，1)对称， ∴∑m i ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m 2×2＝m . 10.【答案】C【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.11.【答案】1e e- 【解析】设()x x f x e e -=-，则()f x 为定义在R 上的单增的奇函数而11(1)x x y e e f x --=-=-，故其图象关于点（1,0）中心对称又因为|AB |＝|BC |，所以B 的坐标为（1,0）为使运算更简单，问题可转化为过坐标原点的直线y kx =与()x x f x e e -=-交于一点D ，且k 的值 不妨设()000,x x D x e e --（00x >），== 解之得01x =，()11,D e e --，所以1k e e -=-.。

高考数学压轴题集锦1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c 〔0>c 〕的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕假设0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；〔3〕设AP AQ λ=〔1λ>〕，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ λ=-. (14分)2． 函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。

（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。

（2） 证明)(x f 是偶函数。

（3） 试问方程01log )(4=+xx f 是否有实数根？假设有实数根，指出实数根的个数；假设没有实数根，请说明理由。

3．〔此题总分值12分〕如图，点F 〔0，1〕，直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22=-+y x 。

（1） 假设动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 求点P 的坐标及S4.以椭圆222y ax+＝1断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 ，二次函数f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g 〔x 〕＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.〔Ⅰ〕求证：f 〔x 〕及g 〔x 〕两函数图象相交于相异两点； 〔Ⅱ〕设f 〔x 〕、g 〔x 〕两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值X 围.6 过函数f 〔x 〕=123++ax x 的图象上一点B 〔1，b 〕的切线的斜率为－3。

（1） 求a 、b 的值；（2） 求A 的取值X 围，使不等式f 〔x 〕≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；（3） 令()()132++--=tx x x f x g 。

压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ，B ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增【答案】D【详解】()πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则()7πππ2sin 2sin 1243g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πT =，故A 正确；因为()π2sin 3g x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，则()()()(),g x g x g x g x -≠-≠-，故函数()g x 是非奇非偶函数，故B 正确；2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π3A．B．C ．D ．5．已知函数()()2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点故选：BD.7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫-⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=【答案】BCD【详解】令0x y ==，得()00f =，故B 正确；9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站C C ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点Ds t 于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A ．小球运动的最高点与最低点的距离为2cmB ．小球经过4s 往复运动一次C ．()3,5t ∈时小球是自下往上运动D ．当 6.5t =时，小球到达最低点【答案】BD【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为()224cm --=，所以选项A 错误；因为2π4π2=，所以小球经过4s 往复运动一次，因此选项B 正确；当()3,5t ∈时，ππ7π11π,2444t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C 错误；当 6.5t =时，ππ2sin 6.5224h ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选：BD○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22sin 21αα+=，则sin α=（）A ．15B 5C ．45D 25【答案】D【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0,sin 0αα∴>>22cos 22sin 2cos sin 4sin cos 1αααααα+=-+= ①,又22sin cos 1αα+=②，由①②得25sin 5α=.故选：D.23，5，…，记BAC α∠=，DAC β∠=，则()cos αβ+=（）A 24-B 36C 36D 24+【答案】B⎝⎭A．-B．C．9D．9 94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x y B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到【答案】ABD中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB在ACACD ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根则AB在AC 上的投影向量为设cos x θ=，则()()222212121x x x x x -=--+-，整理得324231x x x +-=，D 正确.故选：ABD9．已知()cos 4cos 3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥则13(1,0),(3,0),(,),(22A C B D --设()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则由OQ xOC yOD =+ 可得cos θ=○热○点○题○型三三角函数综合应用1．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知2,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.结合图像可知：5ππ7π4666t ≤-<，解得所以实数t 的取值范围为ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.5．若实数，，且满足，则称､是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.【答案】（2）由()cos cos cos x y x y +=+得cos cos sin sin cos cos x y x y x y -=+，()1sin sin cos cos cos x y x y x +-=-，()cos y x ϕ+=-，故cos x -≤，222cos cos x x ≤-，11cos x -≤≤，))121arccos ,arccos x π⎡⎤∈-⎣⎦（3）证明：先证明3x y ππ≤+≤，反证法，假设x y π+<，则由余弦函数的单调性可知()cos cos x y x +≤，()0cos cos cos y x y x ∴=+-≤，2y π∴≥，同理2x π≥，相加得x y π+≥，与假设矛盾，故x y π+≥.[]2202,,x y πππ--∈Q ，且()()()()()2222cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y ππππ⎡⎤-+-=+=+=-+-⎣⎦故22,x y ππ--也是余弦相关的，()()22x y πππ∴-+-≥，即3x y π+≤.记()3,z x y π=-+则[]02,z π∈.()()3cos cos cos x z y y π+=-=-,()()()3cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x z x x y x x y x x y y π+=+--=-+=-+=-()cos cos cos x z x z ∴+=+，故x ､z 为“余弦相关”的；同理y ､z 也为“余弦相关”的。