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线线角_线面角_二面角的一些题目

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. . B1

D1

AD

C1

BCA1

线线角与线面角习题 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=3，AD、BC所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( )

(A). 46 (B).36 (C).62 (D).63

3.平面与直线a所成的角为3,则直线a与平面所有直线所成的角的取值围是 ． 4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为

(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是 ．

三、典型例题 例1. 如图,正方形ABCD所在平面与正方形 ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.

例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面的特殊位置.

例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC=a2. (1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1; (2)试问:若AB=a2,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.

ACB

ADC1D

1

A1B1

CB

A1

CBA

B1

DC1EF

DAB

PC

DAC

BFE.

.  备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立.

四、反馈练习 1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值围,则 (A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D) BAC. 2两条直线a,b与平面所成的角相等,则直线a,b的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为 . 4已知a、b是一对异面直线，且a、b成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与a、b均成60o

角的直线有 条.

5异面直线a、b互相垂直，c与a成30o角，则c与b所成角的围是 . 6∠ACB=90ο在平面,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面所成的角为 .

7设线段AB=a,AB在平面,CA⊥,BD与成30ο角,BD⊥AB,C、D在同侧,CA=BD=b.求: (1)CD的长;(2)CD与平面所成角正弦值.

课前预习 1. 60ο 2.A 3. [3,2] 4.C 5.46 典型例题

ACD

B.

. 例1解:∵CB∥AD ∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD的边长为,则BF=a2∵CB⊥AB, EB⊥AB∴∠CEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角

∴∠CBE=∠60ο ∴CE=a FC=a2 ∴cos∠CBF=42

例2解:(1)设所求的角为,先证BD⊥平面ACC1A1,则sin=sin∠OC1B=1BCOB=21.故=30o

.(2)△A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. ∴棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H⊥平

面A1BC1,连A1H, ∠B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=a则A1B=a2得

A1H=a36.故cos∠B1A1H=111BAHA=36.所求角为3

6arccos

例3解:(1)连接OF,容易证明AD⊥面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DF⊥FC1, ∴FC1⊥EF.(2) ∵AD⊥面BB1C1C, ∠EFD是EF与平面BB1C1C所成的角.在△EDF中,若∠

EFD=60ο,则ED=DF·tan60ο=3·5=a15,∵AB=BC=AC=2a,∴AD=a3.∵a15>a3.∴E在DA的延长线上,而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60ο角.

反馈练习 1. D 2. D 3. 954 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο 7.解:(1)作DD＇⊥于D＇,连接AD＇,BD＇.CA⊥,∴CA∥DD＇.四边形CAD＇D是直角梯形,∠CAD＇=∠D D＇A=90ο,AB,AB⊥DD＇.又AB⊥BD,∴AB⊥平面BDD＇,BD＇平面BDD＇.

∴AB⊥BD＇.∵∠DBD＇是BD与所成的角,∴∠DBD＇=30ο,BD=b,DD＇=2b,BD＇=23b.在

△ABD＇中,AB=a,BD＇=23b,∠ABD＇=90ο,∴AD＇=22＇BDAB

=4322ba.在CAD＇

D中，CD=222'2')(baDDACAD.

(2)作D＇C＇∥DC交CA于C＇,∠C＇D＇A是CD与所成的角,sin∠C＇D＇A=22

'

2''babDCAC.

线面角与面面角练习 一、知识与方法要点： 1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面. . 面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。 2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。 3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面找到一条垂直于另一个平面的直线。 两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 二、例题 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点． (1)求证：AC1⊥平面A1BD． (2)求BM与平面A1BD成的角的正切值． 解： (1)连AC， ∵C1C⊥平面ABCD， ∴C1C⊥BD． 又AC⊥BD， ∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B ∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD． (2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1， ∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．

连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在RtMEB中，1322AC

MEa，

2226

26BEaaa





，∴

2tan2MEMBEBE．

例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转， 使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P． （1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值． 证明（1） 由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心， 即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC． （2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD． △BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角． 又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC， 由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．

设1BC，则32CE，12DE，132cos332DECEDCE．

例3．如图所示，在正三棱柱111ABCABC中，1EBB，截面1AEC侧面1

AC．

(1)求证：1

BEEB；

(2)若111AAAB，求平面1AEC与平面111

ABC

所成二面角(锐角)的度数． 证明：在截面A1EC，过E作EG⊥A1C，G是垂足，如图， ∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1． 取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC． ∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1， 得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．

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向量法的三类求角公式和距离公式

向量法的三类求角公式和距离公式


③求向量EF在n上的射影d，则异面直线a、b间 的距离为
EF n d
F
b
na
n
E
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离： 直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
uuur r | A Pr n |
n
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
d
|
nv
uuur AP| nv
AcPo的 s绝对 就值 是 P到 点 平 的 面 距离。
也就是AP在法向量n上的投影的绝对值
二、直线到平面的距离
uuur r
l
d | A Pr n |
n
P
r
n

d
O A
uuur
r
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
uuur r
d | A Pr n |
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A
D1
B
u u u ru u u r
C D ,A B 与 的 关 系 ？
u u u ru u u r
D C ,A B 与 的 关 系 ？
结论： cos
uuu ruuu r
| cosCD ,AB|
利用向量解决空间角问题

利用向量解决空间角问题



A

B
D1
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos
•引入 •复习
| cos CD, AB |
•线面角 •二面角 •小结
•线线角
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
•引入 •复习 •线线角
A
y
x
B
C
2 5 5
•二面角 •小结
•线面角
题型二：线面角
练习： 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C 所成的角.
A1 B1
A B
D1
C1
D
C
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型三：二面角
二面角的范围：

O
[0, ]
a b 夹角公式： cos a b
2.若A( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 )，则：
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角 •小结
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 C D 思考：
30 所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 10
题型一：线线角 练习： 在长方体 ABCD A AB= 5，AD 8, 1B 1C1D 1 中，
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
专题5：向量法做立体几何的线面角问题(解析版)

专题5：向量法做立体几何的线面角问题(解析版)

专题5：理科高考中的线面角问题（解析版）求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ϕθ⋅== 1．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ;（2）若6BD =,且二面角A BD C --为120︒,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22 【分析】（1）由ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,得AD CD =．再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从而和证明AC ⊥平面PBD ,故平面ACD ⊥平面BDP 得证． （2）作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．由Rt Rt ABD CBD ⊆,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合二面角A BD C --为120︒,可得2AB =,23AE =,6ED =.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,13A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量36,,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,即平面BCD 的一个法向量(0,0,1)m =,运用公式cos ,m ADm AD m AD ⋅〈〉=和sin cos ,m AD θ=〈〉,即可得出直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,所以Rt Rt ABD CBD ≅,可得AD CD =．因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDP ．（2）如图,作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．因为Rt Rt ABD CBD ⊆,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为二面角A-BD-C 的平面角．由已知二面角A BD C --为120︒,知120AEC ∠=︒．在等腰三角形AEC 中,由余弦定理可得3AC =．因为ABC 是等边三角形,则AC AB =,所以3AB =．在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ⋅=⋅,得3BD =, 因为6BD =所以2AD =． 又222BD AB AD =+,所以2AB =． 则23AE =,6ED =． 以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,以过点E 垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -, 则6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,向量361AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =,设直线AD 与平面BCD 所成的角为θ,则2cos ,221m ADm AD m AD ⋅〈〉===-⨯,2sin |cos ,|2m AD θ=〈〉= 所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为22． 【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.2．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）105 【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。

解二面角问题三种方法(习题及答案)

解二面角问题三种方法(习题及答案)

C A BD AA 1BDC C 1B 1解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。

下面举几个例子来说明。

例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。

:例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。

?[这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。

|2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。

（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。

总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。

并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。

在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。

至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。

由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。

（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。