最新线线角、线面角、二面角知识点及练习.优选
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线线角、线面角、面面角专题
一、异面直线所成的角
1.已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b '',我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角。
2.角的取值范围:090θ<≤︒;
垂直时,异面直线当b a ,900=θ。
例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中,13,4,5,4AC BC AB AA ==== ,点D 为AB 的中点
求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值
二、直线与平面所成的角
1. 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫这条斜线和这个平面所成的角
2.角的取值范围:︒
︒
≤≤900θ。
例2. 如图、四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点,
求(1)BC 与平面SAB 所成的角。
(2)SC 与平面ABC 所成的角的正切值。
B
M
H S C
A _ C _1
_1
_ A _1
A
_ C
一、 二面角:
1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半
平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围:︒
︒
≤≤1800θ 两个平面垂直:直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种:
1.定义法 :在棱上取一点O ,然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法:先找到一个平面的垂线,再过垂足作棱的垂线,连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法:分别作出两个半平面的法向量,由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上,取恰当的点,经常是端点和中点。 例3.如图,E 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点,求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值.
A 1
D 1
B 1
C 1 E
D
B
C
A
巩固练习
1.若直线a 不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内所有的直线都与a 异面;
B.α内不存在与a 平行的直线;
C.α内所有的直线都与a 相交;
D.直线a 与平面α有公共点.
2.空间四边形ABCD 中,若AB AD AC CB CD BD =====,则AD 与BC 所成角为( )
A.030
B.045
C.060
D.090 3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与对角线AC 1异面的棱有( )条
A.3
B.4
C.6
D.8
4.如图长方体中,AB=AD=23,CC 1=2,则二面角C 1—BD —C 的大小为( ) A.300
B.450
C.600
D.900
5.如图,在四面体ABCD 中,CB =CD ,AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点.
求证:(1)直线EF ∥面ACD .
(2)平面EFC ⊥平面BCD .
6.如图,DC ⊥平面ABC ,EB ∥DC ,AC =BC =EB =2DC =2,∠ACB =120°,P ,Q 分别为AE ,AB 的中点.
(1)证明:PQ ∥平面ACD ;
(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值.
A
B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
7.如图,已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,设SA=4,AB=2,
求点A到平面SBD的距离;
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