2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(一)(解析版)

2019年高考试题-理科数学（广东卷）解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

数学〔理科〕解析参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.【一】选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1、设集合{}2|20,M x x x x=+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,那么MN =( )A .{}0B 、{}0,2 C 、{}2,0- D 、{}2,0,2- 【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,应选D 、2、定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B 、3C 、2D 、1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,应选C 、3、假设复数z 满足24iz i =+,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A .()2,4 B 、()2,4-C 、()4,2-D 、()4,2【解析】C ；2442iz i i +==-对应的点的坐标是()4,2-,应选C 、 4、离散型随机变量X 的分布列为X 1 23 P35 310 110那么X 的数学期望EX = ( )A . 32B 、2C 、52D 、3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,应选A 、 5、某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是 ( )A . 4B 、143正视图俯视图 侧视图第5题图C 、163D 、6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,应选B 、 A.假设αβ⊥,m α⊂,n β⊂,那么m n ⊥ B 、假设//αβ,m α⊂,n β⊂,那么//m nC 、假设m n ⊥,mα⊂,n β⊂,那么αβ⊥ D 、假设m α⊥,//m n ,//n β,那么αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D 、7、中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是()A.2214x -= B 、22145x y -=C 、22125x y -= D 、2212x -= 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,应选B 、 8、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立假设(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,那么以下选项正确的选项是()A.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ 【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,那么()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S=∈,应选B 、如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.【二】填空题：此题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9、不等式220x x +-<的解集为___________、【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10、假设曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,那么k =【解析】1-；求导得1y k x '=+,依题意10k +=,所以1k =-. 11、执行如下图的程序框图,假设输入n 的值为4,那么输出s 的值为.AED CBO第15题图【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12.在等差数列{}n a 中,3810a a +=,那么573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13.给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},那么T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如下图,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.〔二〕选做题〔14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分〕14.(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线C的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么l的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15.(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设 6AB =,2ED =,那么BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.【三】解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、〔本小题总分值12分〕函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(Ⅱ)假设3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、 【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1 7 92 0 1 53 0第17题图(Ⅱ)222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17、〔本小题总分值12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值； (Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率. 【解析】(Ⅰ)样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ)设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,那么()P A =1148212C C C 1633=.18、〔本小题总分值14分〕如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ)(Ⅱ).【解析】AD 连结OD =所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥,又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ)传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.图1x 向量法图结合图1可知,H为AC中点,故2OH=,从而2A H'==所以cosOHA HOA H'∠==',所以二面角A CD B'--.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz-那么(A',()0,3,0C-,()1,2,0D-所以(CA'=,(1,DA'=-设(),,n x y z=为平面A CD'的法向量,那么n CAn DA⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y xz=-⎧⎪⎨=⎪⎩,得(1,1,n=-由(Ⅰ)知,(OA'=为平面CDB的一个法向量,所以cos,3n OAn OAn OA'⋅'===',即二面角A CD B'--的平面角的余弦值为5.19、〔本小题总分值14分〕设数列{}n a的前n项和为n S.11a=,2121233nnSa n nn+=---,*n∈N.(Ⅰ)求2a的值；(Ⅱ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有1211174na a a+++<.【解析】(Ⅰ)依题意,12122133S a=---,又111S a==,所以24a=；(Ⅱ)当2n≥时,32112233n nS na n n n+=---,()()()()321122111133n nS n a n n n-=-------两式相减得()()()2112213312133n n na na n a n n n+=----+---整理得()()111n nn a na n n++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a-=故数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=,公差为1的等差数列,所以()111nan nn=+-⨯=,所以2na n=.(Ⅲ)当1n=时,11714a=<；当2n=时,12111571444a a+=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20、〔本小题总分值14分〕抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB,其中,AB 为切点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ)依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ)抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),那么切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ)由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21、〔本小题总分值14分〕设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ)当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ)当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,那么()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,那么()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,那么()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()(),()nii i nii xx y y b a y bx xx ==--==--∑∑其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n na b a b -=-12(n n aa b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -2．已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．33．若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=A ．4B ．3C ．2D ．04．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数5．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷Ⅰ,理)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(2019全国Ⅰ,理1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019全国Ⅰ,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1z=x+y i(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=√x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.3.(2019全国Ⅰ,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<aa=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.4.(2019全国Ⅰ,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-1 2√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是()A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cmx cm,则26x ≈√5-12,得x≈42.07,又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B.5.(2019全国Ⅰ,理5)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π,π]的图像大致为()f (-x )=-f (x )及区间[-π,π]关于原点对称,得f (x )是奇函数,其图像关于原点对称,排除A .又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除B,C .故选D .6.(2019全国Ⅰ,理6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.1116,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C 63种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C 6326=516,故选A .7.(2019全国Ⅰ,理7)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6(a-b )⊥b ,所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0, 所以a ·b=b 2.所以cos <a ,b >=a ·b|a |·|b |=|b |22|b |2=12,所以a 与b 的夹角为π3,故选B .8.(2019全国Ⅰ,理8)右图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入( )A.A=12+AB.A=2+1AC.A=11+2AD.A=1+12A1次,A=12,k=1≤2,是,第一次应该计算A=12+12=12+A,k=k+1=2;执行第2次,k=2≤2,是,第二次应该计算A=12+12+12=12+A ,k=k+1=3;执行第3次,k=3≤2,否,输出,故循环体为A=12+A ,故选A .9.(2019全国Ⅰ,理9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n,{S 4=4a 1+4×32·d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n ,故选A .10.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1,由已知可设|F 2B|=n ,|BF 1|=m.由|AB|=|BF 1|,则|AF 2|=m-n ,|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|,故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|, 得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a ,|AF 2|=a. ∴点A 为(0,-b ). ∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|,∴|OF 2|=2|F 2P|.∴|F 2P|=12.又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b ,∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1中,得a 2=3.又c=1,故b 2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1.11.(2019全国Ⅰ,理11)关于函数f (x )=sin |x|+|sin x|有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(π2,π)内单调递增 ③f (x )在[-π,π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④D.①③f (x )的定义域为R ,关于原点对称,且f (-x )=sin |-x|+|sin(-x )|=sin |x|+|sin x|=f (x ),所以f (x )为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f (x )=2sin x ,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x ≤π时,f (x )=2sin x ,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f (x )=sin(-x )-sin x=-2sin x ,它有两个零点-π和0;故f (x )在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.12.(2019全国Ⅰ,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6πPA=PB=PC=2x.∵E,F分别为PA,AB的中点,∴EF∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC为边长为2的等边三角形,∴CF=√3.又∠CEF=90°,∴CE=√3-x2,AE=12PA=x.在△AEC中,由余弦定理可知cos∠EAC=x 2+4-(3-x2) 2×2·x.作PD⊥AC于点D,∵PA=PC,∴D为AC的中点,cos∠EAC=ADPA =12x.∴x 2+4-3+x 24x=12x .∴2x 2+1=2.∴x 2=12,即x=√22. ∴PA=PB=PC=√2.又AB=BC=AC=2,∴PA ⊥PB ⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=√62.∴V=43πR 3=43π×6√68=√6π.故选D .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年广东省清远市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．62．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题4．如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．5．在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形6．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．充分不必要条件7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．8．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条10．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段12．已知m、n、s、t∈R*，m+n=3，其中m、n是常数且m＜n，若s+t的最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+3=0 B．4x﹣2y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣4=0一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是．14．已知数列{x n}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=．15．已知a=，则展开式中的常数项为．16．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．18．设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．21．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．22．设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，所以，a1+a15=2a8，则S15=（a1+a15）=15a8，又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6．故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b=c，所以a=，所以离心率e=．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中命题“p或q”是真命题，命题“非p”是假命题，易根据复合命题真假的真值表，判断出命题p与命题q的真假，进而得到答案．【解答】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p”也是假命题，∴命题p为真命题．故命题q为可真可假．故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．4．如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．【考点】简单线性规划．【分析】化目标函数为直线方程的斜截式，结合使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，由斜率相等求得a值．【解答】解：如图，化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z，要使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，即﹣a=，∴a=．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状．【解答】解：由正弦定理可得=∵=∴=，求得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90°∴三角形为等腰或直角三角形．故选C【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决．6．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意得：命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题；命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题；可得答案．【解答】解：由题意得：∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题∴判断命题若a≠1或b≠2则a+b≠3的真假只要判断：命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题的真假即可因为命题若a+b=3则a=1且b=2显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3同理若a=1且b=2则a+b=3是真命题∴命题若a+b≠3则a≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故选：A．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．8．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】解：，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A【点评】本题考查向量数量积的应用：据数量积的正负判断角的范围．9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】双曲线的简单性质．【分析】当直线与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有两条，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有1条，数形结合即可．【解答】解：如图：当直线l与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4根据双曲线的对称性可知，若|AB|=4，则当直线与双曲线左右各有一个交点时，这样的直线可有两条，当直线与双曲线的一支有两个交点时，这样的直线只有1条，所以若|AB|=4，则这样的直线有且仅有3条，故选：B【点评】本题考查了双曲线的几何性质，特别是直线与双曲线相交时弦长的几何性质，在平时的学习中注意积累一些结论，对解决此类选择题很有好处．10．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题11．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【考点】轨迹方程．【分析】由基本不等式可得a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2=6．当a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，故选D．【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a +的范围是解题的关键．12．已知m 、n 、s 、t ∈R *，m +n=3，其中m 、n 是常数且m ＜n ，若s +t 的最小值 是，满足条件的点（m ，n ）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y +3=0B ．4x ﹣2y ﹣3=0C ．x +y ﹣3=0D ．2x +y ﹣4=0 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得（s +t ）（）的最小值 是，即（s +t ）（）=m +n +，满足时取最小值，得m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由中点从坐标公式知x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）分别代入4x 2+y 2=16，得，两式相减得2（x 1﹣x 2）+（y 1﹣y 2）=0，求得k 即可【解答】解：∵sm 、n 、s 、t 为正数，m +n=3，，s +t 的最小值 是，∴（s +t ）（）的最小值 是，∴（s +t ）（）=m +n +，满足时取最小值，此时最小值为m +n +2=3+2，得：mn=2，又：m +n=3，所以，m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴k=．∴此弦所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4=0．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用，属于基础题．一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是195．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．14．已知数列{x n}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=100．【考点】对数的运算性质．【分析】法一：由已知得，，从而得到x101+x102+…+x200=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．法二：由已知得，从而利用等比数列的性质，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．【解答】解法一：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴=1，∴，，∴x101+x102+…+x200==10100，则lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．解法二：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴等比数列的性质，可知，x101+x102+...+x200=10100（x1+x2+x3+ (x100)=10100，∴lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15．已知a=，则展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．【解答】解：a==arcsinx=，∴[（a+2﹣）x﹣]6=，其展开式的通项公式为T r+1=（2x）6﹣r=（﹣1）r26﹣r x6﹣2r；令6﹣2r=0，解得r=3；∴展开式中常数项为（﹣1）323=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．16．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y 轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1==．∵0，∴，则．即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．18．设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），可得a2=4a1，a2=，解得a1，a2．由于a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），即可证明．（II）由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，可得b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，可得数列{bn}的前n项和为T n，代入化简即可得出．【解答】（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．∴a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，∴b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．【分析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．【解答】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．…（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），所以E（X）=np=3×0.4=1.2．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100=120元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．…（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1， (10)从而，k=1，2， (10)当k＜4.4时，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k）；当k＞4.4时，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k），则P（Y=4）最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…【点评】本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD⊥平面BFDE．（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF 折起，使A，C两点重合于P．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．∴PD⊥平面PEF．又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，∴EF⊥平面PBD，又EF⊂平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．解：（2）连结BD、EF，交于点O，连结OP，∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD，又EF⊥平面PBD，PO，BD⊂平面PBD，∴PO⊥EF，BD⊥EF，∵PD⊥平面PEF，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD的边长为2，则DO=，=，PE=PF=1，PD=2，PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F（，0，0），=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0），设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，则=（﹣3，1，2），平面DEF的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…【点评】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想．22．设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过﹣1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，求出导数u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出．考虑的情况，的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=e x，由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，当a2≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，当a2＞1时，，此时若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，则u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得．先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．接下来考虑的情况，此时，h'（0）＜0，令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是．…【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．。