探析数学教学中的反证法

中学数学教学中的反证法在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.一、反证法的基本概念1.反证法的定义法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。

反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.2.反证法的基本思想反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.3.反证法的逻辑依据通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.二、反证法的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1.反设.假设原命题的结论不成立；2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.三、反证法的种类1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.四、反证法的典型例题例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.五、反证法的使用条件任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.因此，对于下列命题，较适用反证法解决.（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b即：ln（b/a）≥（a-b）/b交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.。

关于反证法在中学数学的应用及教学对策摘要：从理论与实践的结合上通过对反证法的内涵的阐述与剖析，指出了反证法在中学数学中的应用场合及注意的事项，并针对中学数学中的反证法教学提出了对策。

关键词：中学；数学；反证法前言在学习数学的过程中，我们要让学生学会反向思考，从事物的对立面来思考，这样才能提高学生反向思考的能力，也能帮助学生智力的发展。

现在的中学数学中，反证法几乎看不到，但是它的应用却是十分广泛的，几何学等等都有它的身影。

调查中，我们发现有很多学生因为数学基础差，否定自己，所以不怎么使用反证明方法。

这也造成了反证明方法虽然家喻户晓但是却不怎么被运用。

本文根据这一状况，针对反证明方法进行了详细的分析介绍，讲解了反证明方法要注意的问题还有添加了一些反证明方法的教学策略希望能够让学生对反证明方法有更深的认识。

2反证法的相关概念2.1反证法的含义这种方法不遵循顺向思维，在行动上反向而行。

简单说就是，对于提出的问题先不管如何选择证明方法，首先根据提出问题需要证明结论的内容，作出反向假设。

接着，根据反向假设，选择合适的方法对其进行证明，如果证明结果与所学习过的定理等不同，就说明待证明命题的结论是正确的。

这种方法，经常用于数学证明分析中，能够快速取得证明结果。

2.2反证法的种类2.2.1归谬反证按照原命题的结论的相反面存在唯一情况，充分利用已知条件进行论证，如果发现该相反面不能被已知条件证实，那么就可以断定原命题的结论为正确。

这种思路相对比较清晰，也容易找相反论据，名为归谬法。

2.2.2穷举反证如果归谬法不适用，一定是原命题结论的反面存在多种情况，那么在证明时候需要逐一对每个反面结论进行论证，直到所有反面结论均被推翻时候，那么该次命题的结论一定成立。

从操作上来说，也就是将所有相关情况逐一实验、判断后，得出唯一结论，因此取名为穷举法。

2.3反证法的步骤2.3.1反设如果能够分辨出命题结论，那么在实际证明时候就将结论的反面提出来，并以此作为待证明的题设，然后以此展开证明工作。

中已运用 反证 法． 反证 法根 据应 用 范 围不 同区分 为
一
要验证 实际问题 中某论 断 ／ ／ － ０正确性 ， 已知事 若 件 Ａ已发生 ， 推 出 Ｐ ／ ｌ ｝ ， 断言 ／ 并 ｛０Ａ ＝ 则 ／ － ／ － ０以置 信度 成立． 而概率反证法则 是依 据“ 小概率 事件原
断言 ， 原来结论“ 不成立 ” ｇ 是错 误 的， 而肯定原 命 从 题结论 的正确 性． 本 做法 ： 反 设 ， 反证 法 的基 基 ① 是 础 ， 结论 不成立 ， 假定 即假 设结 论 的反 面成 立 ； 归 ② 谬， 是反证法 的关键 ， 通过 正确 的推理 得 出矛盾 ； ③
般反证法 和概率 反证 法两 种形 式． 文从 一般 反 本
证法 和概率反证法 的概念 内涵 、 用范 围、 应 应用实 例
及其原理等方 面人 手 ， 辨析二 者之异 同， 通过 以便 运
用在 教 学 中 使 学 生 能 融 会 贯 通 这 一 间 接 证 明 方
法 ．
１ 一般反证 法与概 率反证法概念 的内涵
１１ 一 般 反 证 法 ．
运用正 向思维 形式 证 明某 命题 ， 其做法 是 由已
知条件Ｐ通过推理， ， 得出结论 ｇ 成立． 而一般反证法
是先从 已知条件 ｐ和原命题 的结论 ｇ 成立 的假设 不 出发进行 推理 ， 在推理 中若 出现下列情 形之一 ： 已 与
知条件矛 盾 ； 已知 的公理 、 义 、 理 、 与 定 定 公式 矛盾 ；
犯 了错误 ， 当然犯这种错误 的可 能性非 常小 ， 犯这种
错误的概率就 是小概 率 事件 发生 的那个 小 概率． 正 因为如此 ， 才把 这 种与 小概 率事 件 原理 相矛 盾 而拒

（二）讲授新知
在讲授新知环节，我首先详细解释反证法的定义，并通过具体实例演示反证法的步骤。在讲解过程中，注重让学生理解反证法的核心思想——通过假设命题不成立，从而推导出矛盾，进而证明原命题成立。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将设计几个具有挑战性的问题，让学生分组进行讨论。这些问题涵盖反证法在不同类型的数学题目中的应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
2.使学生认识到反证法在数学学习中的重要性，体会数学的严谨性和美妙，增强学生的数学素养。
3.通过反证法的学习，培养学生面对困难时，勇尝试、坚持不懈的品质。
4.引导学生学会尊重他人意见，善于合作交流，培养良好的团队精神和沟通能力。
在本章节的教学过程中，教师将始终关注学生的全面发展，注重知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的数学素养和综合素质。通过本章节的学习，学生将更加深入地理解反证法的内涵，为今后的数学学习和人生发展奠定坚实基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握反证法，我将创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以通过讲述一个侦探故事，让学生扮演侦探，寻找线索，解决问题。在这个过程中，引导学生体会反证法在推理过程中的作用，使他们在情景体验中自然地接纳反证法。
3.小组合作，促进交流
案例中注重小组合作，让学生在互动交流中共同解决问题。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力，以及尊重他人意见的良好品质。
4.反思与评价，提高自我认知
在教学过程中，引导学生进行反思与评价，使他们在总结经验教训的基础上，不断提高自我认知。此外，实施多元化的评价方式，关注学生的全面发展，激发他们的学习信心。