3.2 古典概型学 习 目 标核 心 素 养1.理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件．(难点)2．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点)1.通过求解概率锻炼学生的数据分析、数学运算核心素养．2．利用古典概型的知识来解决实际问题，培养学生的数学建模核心素养.1．在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件，若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．我们把具有：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．基本事件总数为n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率为1n.4．在古典概型中，任何事件的概率P (A )＝m n，其中n 为基本事件的总数，m 为随机事件A 包含的基本事件数．1．下列对古典概型的说法不正确的是( ) A ．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 B ．每个事件出现的可能性相等 C ．每个基本事件出现的可能性相等D ．基本事件总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k nB [正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性．]2．从1,2,3,4中任意取两个不同的数字组成两位数，则基本事件共有________个． 12 [基本事件为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12个．]3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．56[分别以1,2,3,4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P ＝56.]4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．15[由题意，b>a时，b＝2，a＝1；b＝3，a＝1或2，即共有3种情况．又从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b共有5×3＝15种情况，故所求概率为315＝15.]基本事件的计数问题(1)写出这个试验的基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？思路点拨：由于本试验所包含基本事件不多，可以利用列举法．[解] (1)这个试验的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)这个试验的基本事件的总数是8.(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面：(1)列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏；(2)列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；(3)画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可．1．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．(1)共有多少个基本事件？(2)两个都是白球包含几个基本事件？思路点拨：解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白色的基本事件数．[解] (1)法一：采用列举法分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．法二：(采用列表法)设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：a b c d ea (a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b (b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c (c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d (d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e (e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)解法一中“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)三种．解法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种．2．做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)事件“出现点数之和大于8”；(2)事件“出现点数相等”；(3)事件“出现点数之和等于7”．思路点拨：用列举法将所有结果一一列举出来，同时应把握列举的原则，不要出现重复和遗漏．[解] (1)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(3)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．利用古典概型公式求解概率(1)一共有多少种不同的结果？(2)向上的点数之和是5的结果有多少种？ (3)向上的点数之和是5的概率是多少？ (4)出现两个4点的概率是多少？思路点拨：基本事件个数有限→每个基本事件发生是等可能的→古典概型→利用P (A )＝m n求解[解] (1)用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用(1,3)表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果．由于掷骰子是随机的，因此这36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型． (2)在所有的结果中，向上的点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4种． (3)记“向上点数之和为5”为事件A ， 由古典概型的概率计算公式可得P (A )＝436＝19.(4)记“出现两个4点”为事件B ． 因为事件B 出现的可能结果只有1种，所以事件B 发生的概率P (B )＝136.古典概型的解题步骤 (1)阅读题目，搜集信息； (2)判断是否是古典概型；(3)求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ； (4)用公式P (A )＝m n求出概率并下结论．3．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？思路点拨：由题意知本题是一个等可能事件的概率．甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，共有90种抽法，即基本事件总数是90.[解] 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90(种)，即基本事件总数是90.记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4＝24.P (A )＝2490＝415.4．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球、2个白球；乙袋装有2个红球、3个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球，求取到的4个球全是红球的概率．思路点拨：本题求解基本事件的总数是关键，对于(甲，甲)的每一种结果，都有(乙，乙)的10种结果配对，所以{(甲，甲)，(乙，乙)}共有6×10＝60(个)基本事件．[解] 试验的所有结果可以表示{(甲，甲)，(乙，乙)}．其中(甲，甲)表示从甲袋中取出的球，(乙，乙)表示从乙袋中取出的球，则从甲袋中取出的球有(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红1，红2)，(白1，白2)，共6种不同的结果；从乙袋中取出的球有(红1，白1)，(红1，白2)，(红1，白3)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红2，白3)，(红1，红2)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，共10种不同的结果．相对于(甲，甲)，(乙，乙)而言，就有60个基本事件．记“取到的4个球为红球”为事件A，则事件A包含的基本事件只有1种，所以P(A)＝160.概率与统计的综合问题【例3】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．思路点拨：(1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，求A．(2)对该部门评分不低于80的即为[80,90)和[90,100]，求出频率，估计概率．(3)求出评分在[40,60)的受访职工和评分在[40,50)的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能情况，利用古典概型公式解答．[解] (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.有关古典概型与统计结合的题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．5．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力 数据 4.04.14.24.34.4 4.54.6 4.74.8 4.95.05.1 5.25.3 人数22211(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．思路点拨：(1)把高三(1)班这8个学生的视力值相加，再除以8，即得平均值．(2)用列举法求得抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法，进而可求概率．[解] (1)高三(1)班学生视力的平均值为 4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.6．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售，该店统计了近10天的饮品销量，如图所示，设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润．(1)求y 关于x 的表达式；(2)从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率． [解] (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(8－3)x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，(8－3)×19＋(4－3)×(x －19)，x ＞19，x ∈Z ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，x ＋76，x ＞19，x ∈Z .(2)由(1)可知，日销售量不小于20杯时，日利润不少于96元．日销售量为20杯时，日利润为96元；日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20杯的有3天，日销售量为21杯的有2天． 日销售量为20杯的3天，记为a ，b ，c ，日销售量为21杯的2天，记为A ，B ，从这5天中任取2天，包括(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，共10种情况．其中选出的2天日销售量都为21杯的情况只有1种，故所求概率为110.1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．2．本节课要掌握以下几类问题 (1)基本事件的两种探求方法．(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点． (3)利用事件的关系结合古典概型求概率． 3．本节课的易错点有两个 (1)列举基本事件时易漏掉或重复． (2)判断一个事件是否是古典概型易出错.1．下列试验中，是古典概型的是( )A．种下一粒种子观察它是否发芽B．从规格直径为250 m±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测得直径C．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶C[A中，一粒种子发芽和不发芽的可能性不相等，所以A不是；B中，每一件的直径不相同，即可能性不相等，所以B不是；D中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D不是；C 中，出现正面和反面的可能性相等，且结果仅有两个，故选C．]2．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．25[由于袋子中有2个白球和3个黑球，有放回地摸球，每次摸到白球的概率都是相等的，所以再摸出白球的概率为22＋3＝25.]3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为________．310[利用列举法求出基本事件总数10个．求出取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数3个，故所求概率P＝310 .]4．先后抛掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求点数之和能被3整除的概率．思路点拨：分析题意，不难得知总的基本事件的个数为36个；记“点数之和出现7点”为事件A，则事件A中含有(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)共6个基本事件，即可求出对应的概率；同理，列举出点数之和能被3整除所包含的基本事件数，由概率公式可得答案．[解] 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝636＝16.(2)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝1236＝13.。
