浙江省杭州市余杭区2015届高三下学期仿真模拟数学(理)试卷

浙江省杭州市2015年高三高考模拟命题试卷（本卷满分150分 考试时间120分钟 ）参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（改编）已知集合B B A m B m A === },,1{},3,1{,则m ＝（ ） ３或0.A B.0或３ D.0或３2（改编）已知y=f(x)是R 上的增函数，其图象经过点A(0,1)和B(-3,-1),则不等式|f(x)|<1的解集是（ ）A.{x|-4<x<-1}B.{x|-3<x<0}C.{x|-3<x<-1}D.{x|x<-3或x>0} 3. (原创))6(32+=m m是直线()016=+++y m mx 和直线013=-+my x 平行的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. (原创)等差数列}{n a 的前n 项和为n s ，18612=s ,208=a ，则=5a （ ） A.－1 B.3 C.20 D.235. （原创）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且的"是则“,βα⊥⊥⊥b a m b （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件３或1.CC.充分必要条件D. 既不充分也不必要6.（原创）△ABC 中，AB=1,BC=6 ,CA=2,△ABC 的外接圆的圆心为O ，若实数λ,μ的值为( ) 7. （改编）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为5，且它的两焦点到直线1=-bya x 的距离之和为2，则该双曲线方程是 （ ） A.1422=-yx B. 1422=-y xC. 1422=-y xD. 1422=-y x8. 函数)(x f 的定义域为()()∞+⋃∞-，，11，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时，16122)(2+-=x x f x ，则方程m x f =)(有两个零点的实数m 的取值范围是( )A ．()6,6-B ．()6,2-C ．()()6,22,6⋃--D ．()()+∞⋃-∞-,66,第II 卷（非选择题）二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共36分 9．【原创】函数162sin 2+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=πx y 的最小正周期是 ，最小值是______ 单调递增区间为____________ 10. (改编)若等比数列}{n a ，满足80,405342=+=+a a a a ，则公比q ＝___前n 项和n S =______11．(改编)在△ABC 中，若b=51,∠B ＝3π，tanA=4则sinA=______;a=_________12. (改编)设双曲线C 经过点（22，4），且与1422=-y x 具有相同渐近线，则C 的方程为______;渐近线方程为_______,μλ+=52μ53λ53μ52λ====B 、A 、 54μ53λ53μ54λ====D 、C 、 13 (改编)设a+b=4,b>0,则当a=____时，ba a ||||1+取得最小值14.【原创】已知点)3,3(A ，O 是坐标原点，点P （x,y ）的坐标满足， 设Z 为在上的投影，则Z 的取值范围是_________15、下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图．图中直线与轴交于点，则的象就是，记作．方程的解是 ；下列说法中正确命题的序号是 ．（填出所有正确命题的序号） ①；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④的图象关于点对称；⑤． 三、解答题：本大题共5小题，满分74分。

2015杭州市高三一模数学（理科）试题精选1.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A.24cm 3B.40cm 3C.36cm 3D.48cm 3【解答】由该几何体的三视图，知该几何体是具有公共边CD 的两个等腰梯形ABCD 和A 1B 1CD 组成的几何体，体积的计算，利用分割法，过D ，C 作DG ⊥A 1B 1，CH ⊥A 1B 1，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，则左右四棱锥的底面为矩形，长为4，宽为2，高为3，棱柱的底面三角形，底边为4，高为3，棱柱的高为4，所以它的体积V=V D-A1AEG +V EDG-FCH +V C-BFHB1=31³（2³4）³3+（21³4³3）³4+31³（2³4）³3=8+2+4+8=40（cm 3）.故选：B2.设a ，b ∈R ，则“2a +2b =2a+b ”是“a+b ≥2”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若a=0，b=3，满足a+b ≥2但2a +2b =1+8=9，2a+b =8，则2a +2b =2a+b 不成立，若2a +2b =2a+b ，则2a+b =2a +2b ≥b a 222=b a +22，即(2a+b )2≥4(2a+b )，解得2a+b ≥4或2a+b ≤0（舍去）， 即a+b ≥2成立，即“2a +2b =2a+b ”是“a+b ≥2”的充分不必要条件，故选：A3.设函数f(x)=e |lnx|(e 为自然对数的底数).若x 1≠x 2且f(x 1)=f(x 2)，则下列结论一定不成立的是（ ）A. x 2f(x 1) ＞1B. x 2f(x 1) =1C. x 2f(x 1) ＜1D.x 2f(x 1)＜x 1f(x 2)【分析】作出f(x)的图象，对选项分0＜x 1＜1＜x 2，0＜x 2＜1＜x 1，由于f(x 1)=f(x 2)，则有x 2x 1=1，一一讨论即可得到结论.【解答】f(x)=e |lnx|=⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-1011,ln ln ＜＜，x x e x x e x x ，作出y=f(x)的图象， 若0＜x 1＜1＜x 2，则f(x 1) =11x ＞1，f(x 2)=x 2＞1，则x 2f(x 1) ＞1，则A 可能成立； 若0＜x 2＜1＜x 1，则f(x 2)=21x ＞1，f(x 1)= x 1＞1，则x 2f(x 1)= x 2x 1=1，则B 可能成立； 对于D.若0＜x 1＜1＜x 2，则x 2f(x 1) ＞1，x 1f(x 2)=1，则D 不成立；若0＜x 2＜1＜x 1，则x 2f(x 1)=1，x 1f(x 2)＞1.则D 成立.故有C 一定不成立.故选：C.4.设F 为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，过点F 且斜率为-1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若3-=，则双曲线C 的离心率e=（ ） A. 310 B. 25 C. 5 D. 334 【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A ，B 表示出来，再由3-=，求出a ，b ，c ，然后求双曲线的离心率.【解答】设F(c ，0)，则过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作斜率为-1的直线为：y=-(x-c)，而渐近线的方程是：x ab y ±=， 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=x a b y x c y 得：B(b a ac -，b a bc --)，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x a b y x c y 得：A(b a ac +，b a bc +)， AB =(222b a abc -，222b a abc --)，AF =(b a bc +，ba bc +-)， 由AF AB 3-=，则222b a abc -=-3²b a bc +，即有b=35a ，则c=22b a +=334a ， 则e=a c =334.故选：D. 5.为锐角△ABC 的外心（三角形外接圆圆心），)(K +=（k ∊R ）.若cos ∠BAC=52，则k=（） A.145 B.142 C.75 D.73 [解答]如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，则PD ⊥BC ，2=+， ∵满足)(K +=（k ∊R ），∴K 2=，∴A ，P ，D 三点共线，∴AB=AC.∴cos ∠BAC=cos ∠DPC=PA DP PC DP ==52，∴AP=AD 75.∴2k=75，解得k=145. 故选:A.6.函数f(x)(x ∊R)是以4为周期的奇函数，当x ∊(0，2)时，f(x)=ln(x 2-x+b).若函数f(x)在区间[-2，2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是（）A.-1≤b ≤1B.41≤b ≤45C.-1＜b ＜1或b=45D.41＜b ≤1或b=45 【解析】由题意知，f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0，即0是函数f(x)的零点，因为f(x)是定义在R 上以4为周期的周期函数，所以f(-2)=f(2)，且f(-2)=-f(2)，则f(-2)=f(2)=0，即±2也是函数f(x)的零点， 因为函数f(x)在区间[-2，2]上的零点个数为5，且当x ∊（0，2）时，f(x)=ln(x 2-x+b)，所以当x ∊（0，2）时，x 2-x+b ＞0恒成立，且x 2-x+b=1在（0，2）有一解， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-<-=∆121)21(0412b b 或⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤-+-<-=∆0122010004122b b b ，解得41＜b ≤1或b=45 故选：D.7.设函数f(X)=x|x-2|，则当x ∈(0，2)时，函数f(x)的最大值等于_____，若x 0是函数g(x)=f(f(x))-1的所有零点中的最大值，且x 0∈(k ，k+1)(k ∈z)，则k=____.【解答】当x ∈(0，2)时，f(x)=x|x-2|=x(2-x)=-(x-1)2+1≤1；作函数f(x)=x|x-2|的图象如下，解x|x-2|=1得，x=1或x=1+2；又∵x 0是函数g(x)=f(f(x))-1的所有零点中的最大值，∴f(X 0)=1+2；且f(2)=0＜1+2，f(3)=3＞1+2；故k=2.故答案为：1，2.8.已知抛物线C:y 2=2px(p ＞0)，过点G(3p ，0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点B 在第四象限），O 为坐标原点，且∠OBA=90°，则直线l 的斜率k=_____.【解答】设直线l :y=k(x-3p)，直线OB:y=-x k 1，联立可得B(1322+k p k ，132+-k kp )(k ＞0)， 代入y 2=2px 可得(132+-k kp )2=2p ³1322+k p k ，∴k=22. 故答案为：22. 9.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，其中ABCD 是正方形，AA 1＞AB.设点A 到直线B 1D 的距离和到平面DCB 1A 1的距离分别为d 1，d 2，则21d d 的取值范围是______. 【分析】设AB=a ，AA 1=b(b ＞a)，利用长方体中的垂直关系和面积相等求出d 1，连接A 1D 、过A 作AE ⊥A 1D ，利用长方体中的垂直关系、线面垂直的判定定理和定义，得到d 2=AE ，利用面积相等求出d 2，化简21d d 后设t=22ba ，求出0＜t ＜1，化简后利用基本不等式和函数的单调性求出21d d 的范围. 【解答】设AB=a ，AA 1=b ，由AA 1＞AB 得b ＞a ，在Rt △AB 1D 中，由三角形面积相等得，点A 到直线B 1D的距离d 1=2222112ba b a a D B AB AD ++=∙，连接A 1D ，过A 作AE ⊥A 1D ，由CD ⊥平面ADD 1A 1得，CD ⊥AE ，又AE ⊥A 1B ，则AE ⊥平面DCB 1A 1，所以AE 为点A 到平面DCB 1A 1的距离，则d 2=AE=2211ba ab D A AA AD +=∙， 所以21d d =22222)(b a ab b a a ++=22222b a b b a ++，上式分子分母同除以b 2得， 21d d =1212222++ba b a ，设t=22b a ,则0＜t ＜1，代入上式可得21d d =121++t t ， 设y=121++t t =12122+++t t t =214121)21(212+++++⋅t t t =]1)21(4121[21++++∙t t ≥)14121(21+=1，当且仅当t+21=)21(41+t 时取等号，此时t=0，因为0＜t ＜1，函数y 在(0，1)上是增函数， 当t=1时，y=32=332，所以1＜y ＜332，21d d ∈(1，332). 故答案为：(1，332). 10.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知cos2A+23=2cosA. （1）求角A 的大小；（2）若a=1，求△ABC 的周长l 的取值范围.【解答】（1）cos2A+23=2cosA.即2cos 2A-1+23=2cosA ，即有4cos 2A-4cosA+1=0，(2cosA-1)2=0， 即cosA=21，（0＜A ＜π），则A=3π； （2）由正弦定理可得b=B B A B a sin 3223sin sin sin ==，c=C A C a sin 32sin sin =， 则l =a+b+c=1+)sin (sin 32C B +，由A=3π，B+C=32π， 则sinB+sinC=sinB+sin(32π-B)=23sinB+23cosB=3sin(B+6π)， 即有l =1+2sin(B+6π)，由于0＜B ＜32π，则6π＜B+6π＜65π，21＜sin(B+6π)≤1，即有2＜l ≤3. 则▷ABC 的周长l 的取值范围为（2，3].11.已知四边形ABCD 是矩形，BC=kAB(k ∈R)，将△ABC 沿着对角线AC 翻折，得到△AB 1C ，设顶点B 1在平面ABCD 上的投影为O.（1）若点O 恰好落在边AD 上，①求证：AB 1⊥平面B 1CD ；②若B 1O=1，AB ＞1.当BC 取到最小值时，求k 的值.（2）当k=3时，若点O 恰好落在△ACD 的内部(不包括边界)，求二面角B 1-AC-D 的余弦值的取值范围.解：（1）①证明：∵点B 1在平面ABCD 上的射影为O ，点O 恰好落在边AD 上，∴平面AB 1D ⊥平面ACD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面AB 1D ，∴AB 1⊥CD ，又∵AB 1⊥CB 1，∴AB 1⊥平面B 1CD.②作矩形ABMN ，使得B 1在MN 上，设AB=x ，BC=y ，则NB 1=12-x ，∵AB 1⊥B 1D ，∴△ANB 1∽△B 1MD ，∴B 1D=1211-=∙x x AB N B MD ，∴y=B 1C=1222-+x x x =211122+-+-x x ≥2，当且仅当x=2时取等号，y 有最小值，k=2；（2）作BF ⊥AC ，交AC 于E ，交AD 于F ，当点O 恰好落在△ACD 的内部（不包括边界），点O 恰好在线段EF 上，又∵B 1E ⊥AC ，EF ⊥AC ，∴∠B 1EF 为二面角B 1-AC-D 的平面角，∴cos ∠B 1EF=EB EO 1∈(0，31)， 故二面角B 1-AC-D 的余弦值的取值范围为(0，31). 12.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S n +a n =n(n ∊N *).（1）求数列｛a n ｝的通向公式；（2）求证：22121212133221<++++nn a a a a . [解答]（1）当n=1时，a 1+a 1=1，解得a 1=21. S n +a n =n ，当n ≥2时，S n-1+a n-1=n-1，可得a n +a n -a n-1=1，∴a n -1=21(a n-1-1)，a 1-1=-21. ∴数列｛a n -1｝是等比数列，a n -1=-21³1)21(-n ，∴a n =1-n 21. （2）证明：∵12112121-≤-=n n n n a ， ∴1233221212121121212121-++++≤++++n n n a a a a =2)211(2211211<-=--n n . ∴22121212133221<++++nn a a a a 13.在直角坐标系xoy 中，设点A(-1，0)，B(1，0)，Q 为△ABC 的外心.已知02=+OG CG ，OG ∥AB.（1）求点G 的轨迹T 的方程；（2）设经过F(0，2)的直线交轨迹T 与E ，H ，直线EH 与直线l :y=223交于点M ，点P 是直线y=2上异于点F 的任意一点.若直线PE ，PH ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在实数t ，使得11k +21k =3k t ，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 解：（1）设C(x ，y)，02=+OG CG ，则G(3x ，3y )，Q(0，3y )，根据|QA|=|QC|，可得x 2+32y =1(y ≠0). （2）当直线EF 的斜率不存在时，t=2.当直线EF 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线EH 的方程为y=kx+2，点M 的坐标为(k 22，223). 把直线方程代入椭圆方程可得(k 2+3)x 2+22kx-1=0，设E(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，P(a ，2)(a ≠0). 则x 1+x 2=3222+-k k ，x 1x 2=312+-k ，∴11k =211--y a x =11kx a x -，21k =22kx a x -，31k =a k 21-. 又∵11k +21k =3k t ，∴11kx a x -+22kx a x -=a k 222-. 故存在常数t=2满足条件.14.已知实数a ＞0，函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=)0(),(409)0(),()(x a x x x a x x x f （1）若函数f(x)在区间(-b ，b)(b ＞0)上存在最小值，求b 的取值范围；（2）对于函数f(x)，若存在区间[m ，n](n ＞m)，使{y|y=f(x)，x ∈[m ，n]}=[m ，n]，求a 的取值范围，并写出满足条件的所有区间[m ，n].【分析】（1）画出函数f(x)的图象，由图象可得，函数f(X)在区间(-b ，b)(b ＞0)上存在最小值，最小值为2a ²（2a -a ）=-42a ，令f(x)=-42a (x ＜0)，求出x ，即可得到b 的范围； （2）画出直线y=x ，求出交点，通过图象观察，当x ＜0时，递增，再由x ＞0的最小值，解不等式a-940≤-42a ，即可得到a 的范围，进而区间[m ，n]. 【解答】（1）画出函数f(x)的图象，由图象可得，函数f(X)在区间(-b ，b)(b ＞0)上存在最小值，则最小值为2a ²（2a -a ）=-42a ，令-)0(4)(4092<-=-x a a x x ，解得x=-32a ， 即有2a ＜b ≤32a ； （2）当区间[m ，n]⊆(-∞，0)，即为增区间，由-x a x x =-)(409，可得x=0， 或a-940，由a-940＜0，可得0＜a ＜940. 则区间[m ，n]为[a-940，0]，再由x(x-a)=x ，解得x=0或a+1，由a-940≤-42a ，解得-320≤a ≤38. 但a ＞0，则有0＜a ≤38.则区间[m ，n]为[a-940，a+1]. 综上可得a 的范围是0＜a ＜940，区间为[a-940，0]，[a-940，a+1].。

杭州市2015年各类高中招生文化模拟考试数学试卷参考公式：直棱柱的体积公式：V Sh =（S 为底面积，h 为高）；圆锥的全面积（表面积）公式：2S rl r ππ=+全（r 为底面半径，l 为母线长） 圆柱的全面积（表面积）公式：222S rh r ππ=+全（r 为底面半径，h 为高）一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。

1． 设a b .则21b a-的值为（ ）1 1 1 12． 如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A B C D ．9cm 3． 如图，1∠的正切值为（ ）A BC ．3D ．24． 下列命题是真命题的有（ ）①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

A.1个B.2个C.3个D.4个5． 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y +=⎧⎨+=⎩类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）图1 图2 A ．2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．264327x y x y +=⎧⎨+=⎩6． 若不等式27125ax x x +->+对11a -≤≤恒成立，则x 的取值范围是（ ）A. 23x ≤≤B. 11x -<<C. 11x -≤≤D. 23x << 7． 一同学在n 天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午； （2）当下午下雨时，上午是晴天； （3）一共有5个下午是晴天； （4）一共有6个上午是晴天。

高三数学（理工类）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设i 为虚数单位，则复数34i i-=（ ） A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2、设集合(1){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，则A B =( )A ．{}|1x x ≥B ．{}|12x x ≤<C ．{}1D ．{}0,13、直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，则“1k =-”是“AOB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且(1)0.5,(2)0.4P P ξξ<=>=， 则(01)P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.15、若对任意的1x >时，231x a x +≥-恒成立，则a 的最大值（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．106、七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（ ）A ．240种B ．192种C ．120种D ．96种7、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21x y x +++的取值范围是（ ） A ．[]1,5 B ．[]2,6 C ．[]2,10 D ．[]3,118、若函数())cos(2)f x x x θθ=+++为奇函数，且在[,0]4π-上为减函数，则θ的一个值为（ ）A ．3π- B ．6π-C ．56πD ．23π 9、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为（ ）A．2 C1 D110、已知函数()[]2015c o s ()0,2l o g (,)x x f x x x ππππ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩，若有三个不同的实数,,a b c ，使得()()f a f b =()f c =，则a b c ++的取值范围为（ ）A ．()2,2016ππB ．34031(,)22ππ C ．()2,2015ππ D ．(),2015ππ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。