2011-2012年第一学期高等数学(同济六版)期末考试复习题

同济大学高等数学期末考试题6《高等数学》试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yz x z ,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z y z R x ,-- D 、z y z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nn n x 的收敛半径为（） A 、2 B 、21 C 、1 D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2，-1B 、2，1C 、-2，1D 、1，-2二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

9-2高等数学同济大学第六版本(总13页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2习题921 计算下列二重积分(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22 其中D {(xy )| |x |1 |y |1}解 积分区域可表示为D1x 1 1y 1 于是⎰⎰+D d y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=(2)⎰⎰+Dd y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线xy 2所围成的闭区域解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是⎰⎰+Dd y x σ)23(y d y x dx x ⎰⎰-+=220)23(dx y xy x ⎰-+=2022]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=(3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0x 1 0y 1}解 ⎰⎰++Dd y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) (0) 和( )的三角形闭区域解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,⎰⎰+Dd y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π)][sin(dx y x x x⎰-=π0)sin 2(sin dx x x x ⎰--=π0)cos 2cos 21(x x xd+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=.3.2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=11101101x x y x x x y x Dy x dy e dx e dy e dx e d e σ⎰⎰+---+--+=1110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=11201112)()(dx e e dx e ex x4⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y Dσ613)832419(2023=-=⎰dy y y .3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积,即f (x , y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcbaD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f dcb a dc b a D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121,而 ⎰⎰=⋅dcdcdy y f x f dy y f x f )()()()(2121,故 dx dy y f x f dxdy y f x f b adcD⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121.由于⎰dcdy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcb aD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且5D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40},所以 ⎰⎰=xxdy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dx y x f dy I 4402),(.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-}, 或D ={(x , y )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤},所以 ⎰⎰--=220),(x r r rdy y x f dx I , 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I .(3)由直线y =x , x =2及双曲线x y 1=(x >0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y xx ≤≤≤≤1 ,21},或D ={(x , y )| 21 ,121≤≤-≤≤x y y }⋃{(x , y )|2 ,21≤≤≤≤x y y },所以 ⎰⎰=x xdy y x f dx I 1),(21, 或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(yydx y x f dy dx y x f dy I .(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.6解 如图所示, 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4,如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域, 证明:⎰⎰⎰⎰=bybaxabadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为7D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }.于是 ⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=xabady y x f dx ),(, 或⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=byb a dx y x f dy ),(.因此 ⎰⎰⎰⎰=byb ax ab adx y x f dy dy y x f dx ),(),(.6. 改换下列二次积分的积分次序: (1)⎰⎰ydx y x f dy 01),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以 ⎰⎰⎰⎰=111),(),(xydy y x f dx dx y x f dy .(2)⎰⎰yydx y x f dy 2202),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.8(5)⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以 ⎰⎰ex dy y x f dx1ln 0),(⎰⎰=10),(eey dx y x f dy因为积分区域还可以表示为}arcsin 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D }arcsin arcsin,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π,7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为9⎰⎰=Dd y x M σμ),(⎰⎰+=Dd y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(yydx y x dy8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为 ⎰⎰--=Ddxdy y x V )326(⎰⎰--=101)326(dy yx dx9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x }, 所求立体的体积为以曲面z =6-x 2-y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以⎰⎰+---=Dd y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(2210⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(8232=-=⎰dx x .11. 画出积分区域, 把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0); 解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (d f d a.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解 积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (bad f d .(4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解 积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 120)sin ,cos (d f d .12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰101),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(101解 积分区域D 如图所示, 并且解 积分区域D 如图所示, 并且(4)⎰⎰210),(x dy y x f dx .解 积分区域D 如图所示, 并且所以 ⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(14. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy x d eσ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以内的闭区域;一象限内的闭区域.15.选用适当的坐标计算下列各题:的闭区域;(3)⎰⎰+Dd yxσ)(22,其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的闭区域;解因为积分区域可表示为D={(x,y)|a≤y≤3a,y-a≤x≤y},所以解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k, 0≤ρ≤R }. 18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }.。

幂指函数的导数
导数应用
罗尔定理的条件
L’Hospital法则
切线方程
极值问题和最值问题(应用题)
积分部分
积分基础
基本
[C] （）
A． B． C． D．不确定
[D]设 则 （）
A． B．1 C． D．
[D] =（）
A． B． C． D．
[D]函数 的原函数是（）
A． B． C． D．
是连续函数，则A=0
解：
2.[10三8]求方程 的通解。
解： ，
3.[11三20]求微分方程 满足初始条件 的特解
解：
4.求 ， 的特解。
可降阶的高阶微分方程
一. :与最高阶项 无关的部分只含
1.方法:逐次积分;注意:常数
2.通解的统一形式:
3.[10二6]方程 的通解为
4.[11二14]微分方程 的通解为
5.微分方程 的通解
2.求曲线 和 所围的平面图形面积及该图形绕 轴旋转的旋转体体积。
3.求曲线 与曲线和 轴交点的切线及 轴所围成的封闭图形的面积A,以及该图形饶 轴旋转一周所成旋转体体积
其它
一阶微分方程的通解和特解
一.可分离变量
方法:分离变量,分别积分;注意:讨论新方程的额外条件,绝对值符号,常数
1.[09三8]求微分方程 满足初始条件 的特解。
有理函数积分3
第二类.根号替换3
分部积分3
混合方法3
广义积分的求法和收敛性4
平面图形面积和旋转体的体积4
其它4
一阶微分方程的通解和特解5
一.可分离变量 5
二.齐次方程 5
三.一阶线性微分方程 5
可降阶的高阶微分方程6
一. :与最高阶项 无关的部分只含 6

高等数学（二）复习参考考试涉及范围：空间解析几何 向量运算；平面方程、直线方程、曲线方程、常见曲面 多元函数微分 概念；偏导数、全微分的计算；多元函数复合求偏导；隐函数求偏导数；几何应用；极值重积分 二重积分的计算及交换积分先后次序；三重积分的计算曲线与曲面积分 对弧长曲线积分的计算；对坐标曲线积分的计算；格林公式； 对面积曲面积分的计算；对坐标曲面积分的计算；高斯公式 无穷级数 常数项级数的审敛法及求和；幂级数的收敛域，和函数考试题型：一、选择题 二、填空题 三、计算题 四、应用题 五、证明题复习题一一、选择题1． 曲面624222=+-z y x 上点)3,2,2(处的法线方程为（ ）．A ．334212-=--=--z y x B ．334212-=--=-z y x C ．334212-=-=--z y x D ．334212-=-=-z y x 2．(),z f x y =偏导数zx∂∂及z y ∂∂在点(),x y 处存在且连续是(),z f x y =在该点可微的( )．A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无关条件 3．二元函数206922+-++-=y x y xy x z （ ）．A ．无驻点B ．有驻点但无极值C ．有极大值D ．有极小值 4．设L 为222R y x =+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（ ）． A ．2R B ．2R π C ．0 D ．22R π 5．下列级数中为条件收敛的级数是（ ）．A ．∑+∞=-121)1(n n nB ．n n n ∑+∞=-1)1(C ．∑+∞=-11)1(n n nD ．∑+∞=-121)1(n n n二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则=⨯b a .2．()()=+-→xy xy y x 42lim02，， .3．223y xy x z ++=，21==y x dz= .4．交换二次积分的积分次序⎰⎰10),(y x d y x f y d = .5．⎰Lx d xy = ， 其中L 是抛物线x y =2上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v y xu 23-==，，求 x z ∂∂、yz ∂∂． 2．设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂． 3．计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x zd y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体． 4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分． 6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数∑∞=++-11212)1(n n nn x 收敛域及和函数．四、应用题求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体． 五、证明题1.证明：y d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x )2()2(22-++在整个y O x 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u ． 2.证明: 设()22y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，证明：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂．复习题二一、选择题1．(),z f x y =偏导数z x ∂∂及z y∂∂在点(),x y 处存在是(),z f x y =在该点可微的( )． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．无关条件 2．二元函数xy x z +=2（ ）．A ．有极大值B ．有极小值C ．有驻点但无极值D ．无驻点 ３．交换二次积分⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(的积分次序为（ ）． A ．⎰⎰10),(e e ydx y x f dy B ．⎰⎰e e y dx y x f dy 10),(C ．⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( D ．⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(4．设L 为x y x222=+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（ ）．A ．1B ．πC ．0D ．π2 5．若级数∑+∞=1n nu收敛，则下列级数中（ ）发散．A ．∑+∞=+1100n nuB ．∑+∞=+1100n nuC ．()∑+∞=+1100n nu D ．∑+∞=1100n nu二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则()=⋅-b a 2 .2．()()=→y xy y x ）（，，tan lim04 .3．xye z =，12==y x dz= .4．曲面14222=++z y x 在点()3,2,1处的切平面方程为 . 5．⎰-Lx d y x )(22= ，其中L 是抛物线2x y =上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧．三、计算题1．设 222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求x u∂∂、yu ∂∂． 2．设 ,0=-z y x e z求 22xz∂∂． 3．计算⎰⎰⎰Ωz d y d x d z y x ，其中Ω为球面1222=++z y x 及三个坐标面所围成的在第一象限内的闭区域． 4．⎰Γ++s d zy x 2221，其中L 为 曲线t n i s e x t =， t s o c e y t =，t e z =上相应于t 从0变到2的这段弧． 5．⎰⎰∑+--S d z x x y x )22(2 ，其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分． 6.⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ， 0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数()∑∞=+++-11212121n n n n x 收敛域及和函数．四、应用题求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．五、证明题 1.证明：曲线积分⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(y d y x y x x d y y x 在整个y O x 平面内与路径无关，并计算曲线积分的值． 2. 证明：()()dx x f e x a dx x f edy x a m ay x a m a )()()(0--⎰⎰⎰-=．复习题一参考答案一、选择题1．B ； ２．A ； 3．Ｄ； 4．D ； 5．C ．二、填空题1．k j i 75++； ２．41-； 3．dy dx 78+； 4． ⎰⎰110),(x y d y x f x d ； 5． 54．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v y xu 23-==，，求 x z ∂∂、yz ∂∂． 解x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂3122⋅+⋅=v u y v n l u y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2(222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=v u y x v n l u 2．设04222=-++z z y x ，求22x z∂∂．解 设()=z y x F ,,z z y x 4222-++，则x F x 2=，42-=z F z 当2≠z 时，zx F F x z z x -=-=∂∂2， 故，()()22222z xz x z xz-∂∂+-=∂∂()()2222z z x x z -⎪⎭⎫⎝⎛-+-=()()32222z x z -+-=3．计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x zd y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体． 解 原式z d z y x yd x d y x Dyx ⎰⎰⎰--+++=103)1(1z d z y x yd x d y x x 3101010)1(1+++=⎰⎰⎰--- ⎰⎰-+++-=x y d y x x d 10210))1(2181(165221))1(21883(10-=+++-=⎰n l x d x x ． 4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．解 记 ,:21xy L =则 )10(41)()(222≤≤+=+=x dx x y d x d s d ；,:2x y L =则 .)10(2)()(22≤≤=+=x dx y d x d s d于是，⎰Ls d x ⎰⎰+=21L L s d x s d x ⎰⎰++=10102241x d x x d xx)12655(121221215125-+=+-=5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分．解 ∑：22y x z +=，有,22yx x xz+=∂∂,22yx y yz+=∂∂2122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y zx z ．于是，⎰⎰+S d y x )(22⎰⎰+=yx D y d x d y x 2)(22⎰⎰+=yx D y d x d y x )(222πρρρθπ22210220=⋅=⎰⎰d d6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．解 解法一：y x P +=，z y Q +=，x z R +=，于是1=∂∂x P ，1=∂∂y Q ，1=∂∂zR． 由高斯公式，有⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222⎰⎰⎰Ω++=z d y d x d )111(333a z d y d x d ==⎰⎰⎰Ω．解法二：由对称性有()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ()⎰⎰∑+=z d y d y x 3，记∑在平面0=x ，a x =，0=y ，a y =， 0=z ，a z =所在的部分为1∑，2∑，3∑，4∑，5∑，6∑。