天津市河西区2020届高三数学一模答案

2020年天津市河西区高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）.1．设集合M ＝{x |x 2≤4}，集合N ＝{x |1≤x ≤2}，则∁M N ＝（ ） A ．{x |﹣2≤x ＜1}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．{x |x ≤﹣2}D ．{x |0＜x ＜2}2．设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件3．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.64．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ） A ．23B ．32C ．43D ．346．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7．函数f （x ）＝e |x ﹣1|﹣2cos （x ﹣1）的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A ．64B ．72C ．96D ．1449．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ ． 11．（2x x）6展开式中常数项为 （用数字作答）．12．若直线3x+4y＝m与圆x2+y2＝m相切，则实数m＝．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数X的期望是．14．已知x，y为正实数，且xy+2x+4y＝41，则x+y的最小值为15．在△ABC中，点M、N分别为CA、CB的中点，点G为AN与BM的交点，若AB=√5，CB＝1，且满足3AG→•MB→=CA→2+CB→2，则BC→⋅BA→=．AG→⋅AC→=．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F为BB1上的动点，使直线A1F与平面BDE所称角的正弦值是√63，求DF的长．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b 1=16a 1，b 5是b 2和b 14的等比中项．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求∑ 10i=11b i bi+1；（3）设数列{c n }的通项公式c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k(k ∈N ∗)，求∑ 2ni=1(c i −1)2(n ∈N ∗)；19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁M N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}解：因为集合M＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，集合N＝{x|1≤x≤2}，∴∁M N＝[﹣2，1）．故选：A．2．设p：“条件A与条件B互斥”，q：“条件A与条件B互为对立事件”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分而不必要条件解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，可知“条件A与条件B互斥”，不一定有“条件A与条件B互为对立事件”，反之，由“条件A与条件B互为对立事件”，一定得到：“条件A与条件B互斥”．∴p是q的必要而不充分条件．故选：B．3．已知x与y之间的一组数据：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7则y与x的线性回归方程为y^=0.95x+a，则a的值为（）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.6解：计算x =14×（0+1+3+4）＝2， y =14×（2.2+4.3+4.8+6.7）＝4.5， 代入y 与x 的线性回归方程y ^=0.95x +a 中， 解得a ＝4.5﹣0.95×2＝2.6． 故选：D ．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=1解：由抛物线x 2＝20y ，得2p ＝20，则p ＝10． ∴抛物线x 2＝20y 的焦点坐标为（0，5），可知双曲线是焦点在y 轴上的双曲线，设其方程为y 2a −x 2b =1（a ＞0，b ＞0）．则c ＝5．又双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，∴2a ＝6，即a ＝3． ∴b 2＝c 2﹣a 2＝16．∴双曲线的标准方程为y 29−x 216=1．故选：C ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ）A ．23B ．32C ．43D ．34解：由正弦的面积公式知，S =12acsinB ，∵3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），∴3（c 2+a 2﹣b 2）＝16×12acsinB ，由余弦定理知，c 2+a 2﹣b 2＝2ac •cos B ， ∴3×2ac •cos B ＝8ac •sin B ，即tan B =sinB cosB =68=34． 故选：D ．6．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解：设正四棱锥P ﹣ABCD 的顶点P 在底面的投影为O ，则V 正四棱锥=13S 底•PO =13×（√2）2×PO =23PO ，由题意可得23PO =43，所以PO ＝2，由题意可得所求的圆柱的底面直径2R ＝BD =√2×√2， 所以R ＝1，高h =PO2=1， 所以S 圆柱表面积＝2S 底+S 侧＝2πR 2+2πR •h ＝2π×12+2π×1×1＝4π， 故选：C ．7．函数f（x）＝e|x﹣1|﹣2cos（x﹣1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．解：f（0）＝e﹣2cos1＞0，排除B，D，当x≥1时，f（x）＝e x﹣1﹣2cos（x﹣1），f′（x）＝e x﹣1+2sin（x﹣1），则当x≥2时，f′（x）＞0，即此时f（x）为增函数，排除C，故选：A．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（）A．64B．72C．96D．144解：根据题意，数字0，1，2，3，4，中有2个奇数，3个偶数，若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数，则四位数中有2个或3个偶数，分2种情况讨论：①，四位数中有3个偶数，1个奇数；因为0不能在首位，有3种情况，选取一个奇数有C21=2种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有3×2×6＝36个符合条件的四位数； ②，四位数中有2个偶数，2个奇数；若偶数中有0，在2、4中选出1个偶数，有C 21＝2种取法，其中0不能在首位，有3种情况，将其他3个数全排列，安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有2×3×6＝36个符合条件的四位数；若偶数中没有0，将其他4个数全排列，有A 44＝24个符合条件的四位数； 则一共有36+36+24＝96个符合条件的四位数； 故选：C ．9．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32解：函数g （x ）＝x ・f （x ）﹣a 的零点个数恰为2个⇔y ＝f （x ）与y =ax 有两个交点．x ≤2时，f(x)={x −2，1≤x ≤2−x ，x ＜1，2＜x ≤4时，f （x ）=−12[|x ﹣3|﹣1]．4＜x ≤6时，f （x ）=14[|x ﹣5|﹣1]． …故函数y ＝f （x ）与y =a x 的图象如下．根据图象可得a ＞0且{a 3＜12a 7＞18或a ＝﹣1， ∴78＜a ＜32，故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ √5 ． 解：由（1+2i ）z ＝3﹣4i ，得z =3−4i1+2i， ∴|z |＝|3−4i 1+2i|=|3−4i||1+2i|=5=√5． 故答案为：√5． 11．（2x √x）6展开式中常数项为 60 （用数字作答）． 解：（2x x ）6展开式的通项为T r+1=C 6r (2x)6−r 1√x)r =(−1)r 26−r C 6r x 6−3r 2 令6−3r2=0得r ＝4故展开式中的常数项C 62(2x)2√x)4=60． 故答案为6012．若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则实数m ＝ 25 ．解：根据题意，圆x 2+y 2＝m ，必有m ＞0，其圆心为（0，0），半径r =√m ， 若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则有√9+16=√m ，解可得m ＝25；故答案为：25．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为715；取出的3件产品中次品的件数X 的期望是35．解：（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ，3件产品中恰好有一件次品的概率为P （X ＝1）=C 21C 82C 103=715；（2）∵X 可能为0，1，2 ∴P （X ＝0）=C 83C 103=715， P （X ＝1）=715，P （X ＝2）=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布为：X 012P715715115则 E （X ）＝0×715+1×715+2×115=35；15514．已知x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41，则x +y 的最小值为 8 解：因为x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41， 所以x =41−4yy+2， 所以则x +y ＝y +41−4yy+2=−4(y+2)+49y+2+y =−6+49y+2+y +2≥−6+2√49y+2⋅(y +2)=8，当且仅当y +2=49y+2即y ＝5，x ＝3时取等号，此时x +y 取得最小值8． 故答案为：815．在△ABC 中，点M 、N 分别为CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =√5，CB ＝1，且满足3AG →•MB →=CA →2+CB →2，则BC →⋅BA →= 1 ．AG →⋅AC →= 83．解：∵M 、N 分别是CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，∴G 是△ABC 的重心，∴AG →=23AN →=13AB →+13AC →=13（CB →−CA →）−13CA →=13CB →−23CA →，又MB →=−12CA →+CB →，∴3AG →•MB →=（CB →−2CA →）•（CB →−12CA →）=CB →2+CA →2−52CB →⋅CA →，又3AG →•MB →=CA →2+CB →2，∴CB →⋅CA →=0，故BC ⊥AC ，∴AC =√AB 2−BC 2=2，∴BC →⋅BA →=BC →2=1，AG →⋅AC →=23AN →•AC →=23AC →2=83．3三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；解：（1）f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T＝π；（2）依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z；设A=[−π4，π4]，B=[−π3+kπ，π6+kπ]，易知A∩B=[−π4，π6]，∴当x∈[−π4，π4]时，f（x）在区间[−π4，π6]上单调递增，区间(π6，π4]上单调递减．17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F 为BB 1上的动点，使直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63，求DF 的长．【解答】证明：（1）如图，连接AC ，交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接EO ； ∵E 为CC 1的中点， ∴EO ∥AC 1，又∵EO ⊂平面BED ，AC 1⊄平面BED ∴AC 1∥平面BED ，（2）连接A 1B ，A 1C 1，AA 1＝2AB ＝2，E 为CC 1的中点， ∴BE =√2，A 1E =√3，A 1D =√5；∴在△A 1BE 中：BE 2+A 1E 2=A 1B 2，则△A 1BE 是直角三角形，∴A 1E ⊥BE ； 同理可证A 1E ⊥DE ； ∵BE ∩DE ＝E ； ∴A 1E ⊥平面BDE ．（3）以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 根据条件知道以下几个点坐标：B （1，1，0），E （0，1，1），D （0，0，0），A 1（1，0，2），设F （1，1，m ），设A 1F 交平面BDE 于G （x 0，y 0，z 0），连接A 1G ，EG ，则∠A 1GE 便是直线A 1F 与平面BDE 所成角；先给出所用到的几个向量的坐标：BD →=(−1，−1，0)，BE →=（﹣1，0，1），BG →=（x 0﹣1，y 0﹣1，z 0），A 1G →=(x 0−1，y 0，z 0−2)，A 1E →=(−1，1，−1)． ∵G 在平面BDE 上，∴存在一组实数λ，μ使BG →=λBD →+μBE →，带入坐标得： （x 0﹣1，y 0﹣1，z 0）＝λ（﹣1，﹣1，0）+μ（﹣1，0，1），所以得到： {x 0−1=−λ−μy 0−1=−λz 0=μ，解得：x 0+y 0+z 0＝2； ① 又∵A 1G →与A 1F →共线，∴存在实数b 使A 1G →=bA 1F →； ∴带入坐标得：（x 0﹣1，y 0，z 0﹣2）＝b （0，1，m ﹣2）； ∴{x 0−1=0y 0=b z 0−2=b(m −2)，解得：{x 0=1z 0−2=y 0(m −2)； ②由①②得：x 0=1，y 0=m−3m−1，z 0=2m−1； 又直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63；∴A 1E A 1G=√63； ∴√3√(m−1)2+(m−1)2=√63，解得：m ＝﹣3．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b1=16a1，b5是b2和b14的等比中项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求∑10i=11b i b i+1；（3）设数列{c n}的通项公式c n={1，n≠2ka k，n=2k(k∈N∗)，求∑2n i=1(c i−1)2(n∈N∗)；解：（1）∵2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），∴2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣2）（n≥2），两式相减，整理得：a na n−1=3 （n≥2），当n＝1时，有2a1＝3（a1﹣2），解得a1＝6，∴数列{a n}是以6为首项，3为公比的等比数列，a n＝6×3n﹣1＝2×3n．设数列{b n}的公差为d，∵b1=16a1=1，b5是b2和b14的等比中项，∴（b5）2＝b2•b14，即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），解得d＝0或2，∵公差不为0，∴d＝2，故b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1；（2）∵1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1），∴∑10i=11b i b i+1=12（1−13+13−15+⋯+119−121）=1021； （3）∵c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k（k ∈N *），a n ＝2×3n ，∴∑ 2ni=1(c i −1)2=∑ n i=1(a i −1)2=∑ n i=1(2×3i −1)2=∑ n i=1(4×9i −4×3i +1)＝4∑ n i=19i −4∑ n i=13i +n =12×9n +1﹣2×3n +1+n +32． 19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．解：（1）设椭圆方程为x 2a +y 2b =1，由题意，得c =√3．因为a 2﹣c 2＝b 2，所以b 2＝a 2﹣3． 又(1，√32)是椭圆上的一个点，所以1a +34a −3=1，解得a 2＝4或a 2=34（舍去），从而椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）因为P （x 0，y 0），x 0≠0，则Q （0，y 0），且x 024+y 02=1．因为M 为线段PQ 中点，所以M(x2，y 0)．又A （0，1），所以直线AM 的方程为y =2(y 0−1)x 0x +1． 因为x 0≠0，∴y 0≠1，令y ＝﹣1，得C(x1−y 0，−1)．又B （0，﹣1），N 为线段BC 的中点，有N(x2(1−y 0)，−1)．所以NM →=(x 02−x02(1−y 0)，y 0+1)． 因此，OM →⋅NM →=x 02(x 02−x 02(1−y 0))+y 0⋅(y 0+1)=x 024−x 024(1−y 0)+y 02+y 0=(x 024+y 02)−x 024(1−y 0)+y 0=1−(1+y 0)+y 0=0．从而OM ⊥MN ．因为|OM|=√x 024+y 02=1，|ON|=√x 024(1−y 0)2+1=√1−y 02(1−y 0)2+1=√21−y 0， 所以在Rt △MON 中，|MN|=√|ON|2−|OM|2，因此S △MON =12|OM||MN|=12√1+y 01−y 0．从而有12√1+y 01−y 0=32，解得y 0=45． 20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．解：（1）f '（x ）＝e x ﹣e x （sin x +cos x ）＝e x （1﹣sin x ﹣cos x ）=e x [1−√2(sin(x +π4)]=−√2e x [sin(x +π4)−√22]，∵x ∈[0，π2]，∴x +π4∈[π4，3π4]，∴sin(x+π4)≥√22，所以f'（x）≤0，故函数f（x）在[0，π2]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（0）＝e0﹣e0sin0＝1；f（x）的最小值为f(π2)=eπ2−eπ2sinπ2=0，所以函数f（x）的值域为[0，1]．（2）原不等式可化为e x（1﹣sin x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）…（*），因为1﹣sin x≥0恒成立，故（*）式可化为e x≥k（x﹣1）．令g（x）＝e x﹣kx+k，则g'（x）＝e x﹣k当k≤0时，g'（x）＝e x﹣k＞0，所以函数g（x）在[0，π2]上单调递增，故g（x）≥g（0）＝1+k≥0，所以﹣1≤k≤0；当k＞0时，令g'（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，且当x∈（0，lnk）时，g'（x）＝e x﹣k＜0；当x∈（lnk，+∞）时，g'（x）＝e x﹣k＞0．所以当lnk＜π2，即0＜k＜eπ2时，函数g（x）min＝g（lnk）＝2k﹣klnk＝k（2﹣lnk）＞0，成立；当lnk≥π2，即k≥eπ2时，函数g（x）在[0，π2]上单调递减，g(x)min=g(π2)=eπ2−kπ2+k≥0，解得eπ2≤k≤e π2π2−1综上，−1≤k≤e π2π2−1．（3）令ℎ(x)=e x−1+12(x−32)2−1，则ℎ′(x)=e x−1+x−32．由ℎ′(12)=e−12−1＜0，ℎ′(34)=e−14−34＞0，故存在x0∈(12，34)，使得h'（x0）＝0即e x0−1=32−x0．且当x∈（﹣∞，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．故当x＝x0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−1+12(x 0−32)2−1=−(x 0−32)+12(x 0−32)2−1=12[(x 0−32)−1]2−32=12(x 0−52)2−32，因为x 0∈(12，34)，所以12(x 0−52)2−32＞12(34−52)2−32=132＞0，故ℎ(x)=e x−1+12(x −32)2−1＞0，e x−1＞−12(x −32)2+1．。

（9）已知函数
f
(x)
x 1 1,
1 2
f
x
2,
x x
2 ，若函数
2
gx
x
f
x
a
（
a
1 ）的零点个
数为 2 ，则实数 a 的取值范围是
（A） 2 a 8 或 a 1
3
7
（B） 2 a 8
3
7
（C） 7 a 3 或 a 1
8
2
（D） 7 a 3
8
2
高三数学试卷 第 3 页 （共 8 页）（二）
BDE 所成角的正弦值是 6 ，求 DF 的长． 3
D
C
A
B
高三数学试卷 第 5 页 （共 8 页）（二）
（18）（本小题满分 15 分）
已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn 3an 2（ n N * ），数列 bn是公差不为
0
的等差数列，且满足
b1
1 6
a1
，
b5
是
b2
和
b14
·棱锥的体积公式 V 1 Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高. 3
·圆柱的体积公式 V Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合 M x x2 4 ，集合 N x 1 x 2 ，则 M N
.
（11） 2x
1 x
6
的展开式中，常数项是
.
（12）若直线 3x 4 y m 与圆 x2 y2 m 相切，则实数 m
.
（13）某批产品共 10 件，其中含有 2 件次品.若从该批产品中任意抽取 3 件，则取出的 3

2020年中考数学一模试卷一、选择题1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣142．cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×1065．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3 10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣14【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．解：原式＝﹣9×5＝﹣45，故选：B．2．cos45°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：cos45°＝．故选：D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意；故选：C．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．解：将17000用科学记数法可表示为1.7×104．故选：A．5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．故选：B．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．解：∵16＜23＜25，∴4＜＜5，故选：C．7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式＝＝，故选：A．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）【分析】联立两函数解析式解关于x、y的二元一次方程组即可得解．解：解析式联立，解得，所以，交点坐标为（3，6）．故选：A．9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），∴OC＝BA＝m，又∵BA∥CO，∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，∴B（2+m，3），故选：D．11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H【分析】由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．解：∵将△ABC沿直线BC折叠，∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，∵AH⊥A'B，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，∴∠A'BC＝∠HAA'，又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，∴△BHE≌△AHA'（AAS），∴BE＝AA'，∴BE＝2AC，故选：B．12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，分a＞0、a＜0分别求解即可；②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解；③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，即可求解．解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，当a＞0时，x＝﹣＞0，解得：a＜﹣3，无解；当a＜0时，x＝﹣＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0；故①正确，符合题意；②ax2+bx+3＝2，即ax2+bx+1＝0，△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，故方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根，正确，符合题意；③抛物线y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3，当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，故③正确，符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．故填a2．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于2．【分析】利用平方差公式计算．解：原式＝3﹣1＝2．故答案为2．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．解：∵九年一班共35名同学，其中女生有17人，∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝，故答案为：．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为y＝x+1．【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于y＝x，∴k＝1，∴这个一次函数的解析式为y＝x+b．把点（3，4）代入得，4＝3+b，解得b＝1，所以这个一次函数的解析式为y＝x+1，故答案为y＝x+1．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形EGFH为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得AC、GF的长，从而得出OC、OH的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性质得出比例式，计算即可求得OM的长．解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD为对角线，∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°，∴AC⊥BD，又∵EF⊥GH，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠BOF，在△AOG和△BOF中，，∴△AOG≌△BOF（ASA）．∴BF＝AG＝2，OG＝OF，同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG．∴OF＝OH＝OE＝OG，又∵EF⊥GH，四边形EGFH为正方形，∵BF＝AG＝2，FC＝4，∴BC＝6，即正方形ABCD的边长为6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OC＝3，∵AG＝2，∴BG＝6﹣2＝4，在Rt△BFG中，由勾股定理得：GF＝＝2，∴小正方形的边长为2．∵GH为小正方形的对角线，∴GH＝×2＝2，∴OH＝，在△OHM和△OCH中，∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°，∴△OHM∽△OCH，∴＝，∴＝，∴OM＝．故答案为：．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为15；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）取格点O，L，连接OB 交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可．（Ⅱ）取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．解：（Ⅰ）S△ABC＝×5×6＝15，故答案为15．（Ⅱ）如图，正方形ADEF即为所求．故答案为：取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：，（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为25；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．解：（1）根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图，∵＝1.61，∴这组数据的平均数是1.61．∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.65，∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.60，有∴这组数据的中位数为1.60，（Ⅲ）能．∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前10名；∵1.65m＞1.60m，∴能进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．【分析】（Ⅰ）如图①，连接AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C的度数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB的度数；（Ⅱ）如图②，连接OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52°，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案．解：（Ⅰ）如图①，连接AD．∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．∵∠ABC＝52°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵＝，∴∠DFB＝∠DAB＝38°．（Ⅱ）如图②，连接OD．在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°，∴∠BED＝∠B＝52°，∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．又在△BOD中，OB＝OD，∴∠BDO＝∠B＝52°，∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°．∵OD＝OF，∴∠F＝∠ODF＝24°．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27，AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，CB＝≈＝45.0，答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°．得出AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝DM ＝，进而得出答案；（Ⅱ）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC ＝OB，得出OE＝DC．证出OE∥DC．即可得出结论；（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，证△OBE是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出AG＝，得出CG＝+2，进而得出答案．解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°．∴AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，如图①所示：则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，∴OM＝AO﹣OM＝﹣，∴D（﹣，）．（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：在Rt△AOB中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，∴OE＝BE＝AE．又∠ABO＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴OE＝OB，∴∠BOE＝60°，∴∠EOA＝30°，由旋转性质，DC＝OB，∴OE＝DC．∵α＝60°，∴∠OAD＝60°，由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠OFA，∴OE∥DC．∴四边形OECD是平行四边形．（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝60°，∴∠AEG＝∠OEB＝60°，在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝，∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×＝，∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；（Ⅱ）点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解；（III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可．解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；∴顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m＝；（III）①当a+1＜1时，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1﹣（正值舍去）；②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；③当a≥1时，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；综上，a的值为1﹣或2+．。

天津市2020年〖人教版〗高三数学试卷下学期一模试卷创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校，则下列结论成立的{}Q 5,7=，()(){}360,x x x x P =--≤∈Z 已知集合 .2是（ ）Q ⊆P. A Q P =P . B Q Q P =. C{}Q 5P =. D ，()a b c λ+⊥为实数且λ若 .()4,3c =-，()1,0b =，()1,2a =已知向量 .3）（λ=则 A. 14B. 12C. 1D. 2的a 的充分不必要条件，则q 是p ，且x a ≤:q ，条件2x ≤:p 若条件 .4取值范围是（ ）A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a ≥-D. 2a ≤-5. 某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ） A. 32833π+ B. 3233π+ C.433π+ D.43π+ 6. 已知点(),x y M 的坐标满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，N 点的坐标为()1,3-，点O为坐标原点，则ON ⋅OM 的最小值是（ ） A. 12B. 5C. 6-D. 21-7. 将函数2sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ ）0ω>的图象分别向左. 向右各平移4π个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（ ） A. 12B. 1C. 2D. 48. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ） A. 13B. 12C. 11D. 109. 已知(),x y P 是直线40kx y ++=（ ）0k >上一动点，PA 是圆C:2220x y y +-=的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为（ ） A. 3B.212C. 22D. 210. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),2-∞-B. (),0-∞C. ()0,2D. ()2,0-二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ） 11. 函数()()21log 2f x x =-的定义域为.12. 某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：①()cos f x x =；②()1f x x=；③()lg f x x =；④()2x x e e f x --=，则可以输出的函数的序号是.13. 已知曲线sin cos y a x x =+在0x =处的切线方程为10x y -+=，则实数a 的值为.14. 已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且2F AK =A ，则F ∆A K 的面积为.15. 关于方程1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，给出下列四个命题：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-，其中所有正确命题的序号是.三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）16. （本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130/g km 的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲. 乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：/g km ）.经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120x =乙/g km .()1求表中x 的值，并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；()2从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是多少？17. （本小题满分12分）已知函数()f x a b =⋅，其中()2cos ,3sin 2a x x =-，()cos ,1b x =，R x ∈.()1求函数()y f x =的单调递减区间；()2在C ∆AB 中，角A . B . C 所对的边分别为a . b . c ，()1f A =-，7a =()3,sin m =B 与()2,sinC n =共线，求边长b 和c 的值.18. （本小题满分12分）如图，CD AB 是正方形，D E ⊥平面CD AB .()1求证：C A ⊥平面D B E ； ()2若F//D A E ，D 3F E =A ，点M 在线段D B 上，且1D 3BM =B ，求证：//AM 平面F BE .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a . n S 满足()()12n n t S t a -=-（t 为常数，0t ≠且1t ≠）.()1求数列{}n a 的通项公式；()2设()()3log 1n n n b a S =-⋅-，当13t =时，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知函数()x f x e =，()2g x ax bx c =++（ ）0a ≠.()1若()f x 的图象与()g x 的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b 和c 的值；()2若1a c ==，0b =，试比较()f x 与()g x 的大小，并说明理由.21. （本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（ ）0a b >>的离心率为32，右焦点到直线y x =的距离为3. ()1求椭圆E 的方程；()2已知点()2,1M ，斜率为12的直线l 交椭圆E 于两个不同点A . B ，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，①若直线l 过椭圆E 的左顶点，求此时1k ，2k 的值；②试猜测1k ，2k 的关系，并给出你的证明.()()110 150120 140，，，，()()120 150140 150，，，，…………10分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km ”为事件A ,MFDCBAEG则7()0.710P A ==， 所以至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是0.7. ………12分 17.解：（1）2()=2cos 321cos 23212cos(2)3f x x x x x x π=+=++， (3)分令2223k x k ππ≤+≤π+π，解得)63k x k k πππ-≤≤π+∈Z （，所以()f x 的单调递减区间为 )63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（. ………6分 （2）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴cos 213A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<，∴23A ππ+=，即3A π=，…………8分∵7a =，由余弦定理得()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=. ……①因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =， 由正弦定理得23b c =，……②………11分 解①②得3b =，2c =. …………12分18. （1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………2分因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又=BD DE D , 从而AC ⊥平面BDE . ……………5分 （2）解：延长EF DA 、交于点G , 因为DE AF //，AF DE 3=，所以13GA AF GD DE ==,…………7分因为13BM BD =，所以13BM BD =,所以13BM GA BD GD ==，所以//AM GB ,……10分 又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以//AM 平面BEF . …………12分19. 解：（1）由(1)(2)n n t S t a -=-，及11(1)(2)n n t S t a ++-=-，作差得1n n a ta +=，即数列{}n a 成等比数列，11n n a a t -=，当1n =时，11(1)(2)t S t a -=-，解得12a t =，故2n n a t =. …5分（2）当13t =时，123nn a =⋅（），113n n S -=， ()()32log =31n n n n nb S a -=-⋅,………8分2324623333n n n T =++++, 234+112462 33333n n n T =++++,作差得234+1+1+122222221223+113333333333n n n n n n n n n T +=++++-=--=-， 所以323223n n n T +=-⋅.………12分21. 解：（1）设椭圆的右焦点( 0)c ，，由右焦点到直线y x =的距离为36c =3，ca ∴=3，解得228,2ab ==，所以椭圆E 的方程为22182x y +=. …………4分（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:22l y x =+，联立方程组22122182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121202220x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或， 故122121,22k k --=-=. ………7分 ②猜测：120k k +=. 证明如下：………8分设直线在y 轴上的截距为m ,所以直线的方程为12y x m =+.由2211282x y y x m ⎧=+⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩,得222240x mx m ++-=. 设11(,)A x y . 22(,)B x y ,则122x x m +=-，21224x x m =-. ………10分 又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--. 又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以1221(1)(2)(1)(2)y x y x --+-- 故120k k +=. ………14分创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校。