中考成绩单证明-江阴市

2019年第4期中学数学教学41无锡中考“尺规作图”题特色分析及教学启示江苏省江阴市第一初级中学钟珍玖（邮编：214443）江苏省江阴市夏港实验学校刘孝瑛（邮编：214443）摘要尺规作图问题能够考查学生思维开放性和创新性.从试题对培养学生的思维品质的导向作用的视角探究试题的特色，并提出试题对教学的启示和指导价值，对在课堂教学中提高学生数学思维能力、关注数学思维品质形成及发挥数学学科的育人价值有重要的意义.关键词尺规作图题；特色；教学启示纵观全国各地的数学中考试题，因地域的不同而各具特色，如天津市的格点画图问题、北京市的阅读理解型压轴题、无锡市的尺规作图问题等都成为地区中考试题的名片和标签.历经传承和发展的这些试题凝聚了命题者的智慧，彰显了试题的特色和创新，而对这些试题特色的研究，有利于一线教师精准把握教学方向，最大限度地提高学生的思维能力.本文主要阐述无锡市数学中考尺规作图题的特色和教学启示，以期引起同行的深入探讨•1试题特色1.1作图与推理“嫁接”数学是一门培养思维能力的学科，苏联教育家托利亚尔在《数学教育学》一书中指岀：“数学教学是数学（思维）活动的教学可见培养思维能力在数学教学中的重要地位.其中，“推理能力”被规定为在数学课程中应该注重发展学生的“十个核心关键词”之一，作为数学学科初中阶段的培养目标.案例1（2018・无锡）b如图1,平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6,4）."（1）请用直尺（不带刻___________产度）和圆规作一条直线AC,它与乂轴和夕轴的正半轴图1分别交于点A和点C,且使ZABC=90\AABC 与AAOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2）问：（1）中这样的直线AC是否惟一？若惟一，请说明理由；若不惟一，请在图中画岀所有这样的直线AC,并写岀与之对应的函数表达式.分析问题（1）用几何直观法容易想到当四边形OABC为矩形时，符合题意.问题（2）由勾股定理计算岀点A和点C的坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式.此题对学生的运算能力有较高的要求，但本质上还是考查学生的逻辑推理能力和分析问题的能力，由AABC与AAOC的面积相等可知直线AC经过线段OB的中点，要使ZABC=90\则点O、A、£、C在同一个圆上，所以圆心必在OB 的垂直平分线上，则QA=B4（如图2）,设AQ, 0）,由勾股定理得/=（6—a）?+42，解得石,所以A（节，0）,同理，可求得点C的坐标，考虑特殊情形即问题（1）中的直线AC也符合题意.整个题目以推理立意，学生必须在分类的基础上，全面地考虑问题，把问题所有情形都要画岀来，要求学生思维有较强的缜密性.解决此问题思维深刻性体现在要根据条件AAEC与△AOC的面积相等迅速得岀直线AC始终经过OB中点的结论，抓住了这个本质问题进行深入细致的分析，实际上是直线AC绕OB的中点旋转，需要空间想象能力，善于运用集中思维，把思考方向集中到ZABC=90°,运用交轨法分析才能解决问题.试题以画图为依托，在限制了面积相等和直角的条件下，通过分析才能找到作图的方42中学数学教学2019年第4期向，其本质还是回归到几何图形的性质和几何图形之间的联系.1.2作图与数学活动“链接''史宁中教授认为：作为创新能力思维基础的归纳能力，是建立在实践的基础上的，更多地依赖于过程，依赖于经验的积累.《义务教育数学课程标准M2011年版）（以下简称《课标M2011年版））指岀，教师教学应使学生掌握基本数学知识和技能，体会和运用数学思想方法，获得基本的数学活动经验，并提岀了“四基”的基本理念.数学实验、操作、推理等数学活动是积累数学活动经验的绝佳途径，而实际教学中很多教师忽视数学学习的过程价值，尺规作图考查数学活动和探究过程，试题较好地体现了课程标准的思想.案例2（2014・无锡）（1）如图3,Rt AABC中，ZB=9Q\AB=2BC.现以C为圆心、CB为半径画弧交边AC于D,再以A为圆图3学教育的育人价值是很有益的.心,AD长为半径画弧交边AE于E.求证：走=（这个比值叫作AE与AB的黄金比）（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫作黄金三角形.请以以图4中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注）分析本题第（1）题用a B 作图操作的方法给岀已知图4条件，要求学生证明结论.题目虽然简单，但是考查了学生的符号意识，用代数方法来解决几何问题，问题“数学味”浓厚，也是解决第（2）题的基础.第（2）题是一个阅读理解类问题，取材于苏科版初中数学教材的“黄金分割、黄金比及黄金三角形”等概念，虽然教师在平时的教学中归纳了很多的基本图形，但是在新的情境下不能套用，而要求学生在操作、推理的基础上理解题意，构造岀第（1）题中的黄金比，会用第（1）题的情境解决问题，需要学生会类比、会转化、会思考，能够运用已有的知识，在新的情境下解决问题，考查思维的灵活性.问题要求学生读懂黄金分割比的构造方法，画黄金等腰三角形善于把问题转化成第（1）题，理解了黄金分割比的含义，才能使用数学模式解决问题，就是考查思维敏捷性.试题将作图与数学活动嫁接，考查学生的阅读能力，理解数学情境的能力，用数学知识和思想方法解决问题能力，是数学学习中深度思考的集中考查.1.3作图与数学实验“融合''《课标M2011年版）把创新意识放在突岀重要的位置，而数学实验是培养学生创新意思的有效途径.在教学中，很多教师仅仅满足于数学知识的教学和数学思想方法的教学，对学生创新意识的培养并没有引起足够的重视，教学还没有提高到育人的高度，而研究能够考查学生创新能力的试题对教学中培养学生的创新意识和、提高数案例3（2106・无锡）如图5,OA=2,以点A为圆心，1为半径画®A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线，垂线与®A的一个交点为连接BC.（1）线段BC的长等于（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题:①以点_为圆心，以线段_的长为半径画弧，与射线BA交于点D,使线段OD的长等于②联结OD,在OD上画岀点P,使OP的长等于誓，请写岀画法，并说明理由.分析此题也可以看作是数学实验题，难点和亮点在第（2）②题，问题的实质就是把线段OD 三等分，所以联结CD,过点A作CD的平行线即可，这是考试中考生普遍作法.也有考生是运用平行线分线段成比例定理或三角形重心性质来完成作图.当然最为简洁的作法是过点A作OD 的垂线，垂足为P,则点P就是所求作的点.问题的解法入口较宽，但都要求学生善于对数学问题进行转化，即能运用所学的知识把一条线段三等份,对问题的特征和隐含的关系进行具体的分析.不同的作法，体现了学生扎实的几何基础，强2019年第4期中学数学教学43大的几何构图能力，数形结合等数学思想高度自动化的运用能力.这样的考查方式不同于一般的证明题，已知条件来证明结论，思考方向明确，而需要学生根据已知条件自己探究到达结论的路径，需要思维灵活.多种解法能启迪学生多方向、多角度思考，体现思维的广阔性.学生的多种创新解法显示学生思维活跃、多谋善变，其思维具有发散性和直觉性.2教学启示2.1按弃模型教学众所周知，数学教学所承担的最为重要的任务之一就是培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力，而在实际教学中，普遍存在的问题是：很多老师认为数学教学就是解题教学，学生也形成了数学学习就是做题的观念•虽然经历了很多年的课程改革，但是学生陷入“题海”的现象并没有根本的转变，让学生记住解题模型，过分强调解题技巧，依靠大量的训练试图来提高学生的解题能力或思维水平，在数学课堂中仍然普遍存在.尺规作图作为无锡市的中考特色，虽然题型固定，但是这类试题并无模型可套用.相反，尺规作图问题能够多方向、多角度考查学生的思维能力，学生要解决这些问题，必须要有科学的思维方法，采用分析法或者综合法来解决问题.从考试的方式来看，可以是“作”与“算”结合，也可以是以理驭“作”，能很好地指导教学的教学必须把提高学生分析问题、解决问题的能力放在首位，套用模型很难应付此类考题.如案例2的第（1）问本身就是一个构造黄金分割的模型，但是问题（2）的解决并不是直接套用模型来解决问题，而是要读懂黄金等腰三角形的定义，转化为问题（1）的情形，在新情境下构造出两条比为电二的线段，从考试结果来看，学生在没有解题模型可以套用的情形下，分析和解决问题能力有待提升.2.2凸显思维方法数学是一门培养思维能力的学科，而尺规作图恰好能够考查学生思考问题的方法，展示思维的过程，强调思维的开放性、深刻性、灵活性、发散性.这些试题的出现对教师的教学提出了更高的要求，如果平时的教学就题论题，不注重思维方式的引导和培养，学生在考场中就很难适应此类试题，从无锡地区近几年的中考来看，学生在此类问题上的失分是比较严重的.从思维方式来看，一般的思维方式有：比较、分析、综合、抽象、概括等，而对于数学学科来说，归纳推理和演绎推理是最为重要的思维方式，类比和联想，一般化和特殊化的思维方法是教学中必须要教会学生使用.尺规作图问题，表面来看是作图，实际上考查的就是学生的思维方式和思维能力，很多问题都适合用分析法来解决问题，即假设图形已经做好，需要满足何种条件，再转化为基本作图来解决问题，当然对于思维能力较强的学生，用综合法也未尝不可，很多问题虽然作图的结果（结论）是一定的，但问题成立的条件却有很多，问题的开放程度高，需要有较强的逆向思维能力，如果教师平时教学没有真正重视思维能力的教学,考场失分是理所当然的事情•案例1中的第（2）题发现圆心必在OB的垂直平分线上，得出OA =BA,这是典型的运用分析法解题，即由果索因.如果学生缺少这些思维方法，思路就会受阻，思维就缺乏广阔性和灵活性，可见数学教学应把数学思维方式、方法的教学放在突出重要的位置.2.3重视核心素养随着社会和经济的发展，学生的核心素养的培养将会成为学科教学的重点，从数学学科的特点来看，可以在教学中培养学生的6大素养即:数学抽象、数学直观、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析.2011版的数学课程标准还提出了培养学生数感、符号意识、创新意识、应用意识.纵观无锡市中考数学试题的尺规作图问题,很好地契合了上述要求，如案例3第（2）题的②,从阅卷的结果来看，学生的作法就有二十多种,其中过点A作OD的垂线，就很好地体现了数形结合的思想、几何直观能力，以及强大的创新意识，思维深刻而又简洁.案例1的第（2）题，要证明直线AC的不惟一性，需要学生有较强的逻辑推理能力，试题的难度和考查点，都集中于此，就是以尺规作图为载体，考查学生的逻辑推理能力.这些试题引导教师在平时的教学中要立意高远，根据数学学科的特点，以培养思维能力为核心，落实数学核心素养，真正发挥数学学科的育人价值.（收稿日期:2019—05—05）。

江苏高中学校排名名单【公告】
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江苏高中学校排名名单【公告】
一、江苏高中学校名单
注：学校榜单主要依据了学校的社会知名度，中考录取分数线，高考成绩，升学走向，并通过比较学校师资力量、硬件设施、办学规模面积、建校历史、获得上级荣誉等重点学校指标综合整理而成，供您家小孩报考入学参考使用。

二、江苏省淮安中学
江苏省淮安中学创建于1904年，前身为清末丽正书院开办的淮安府中学堂。

学校校名历经江苏省第九中学、江苏省立淮安中学、两淮市第二联合中学、淮安县立初级中学、淮安县中学、淮安市中学的更迭。

2001年，经主管部门批准，启用现校名。

三、东山高级中学
宜兴市东山高级中学坐落宜城镇东山新区，创办于1994年，1998年2月被市政府命名为宜兴市重点中学。

先后被评为无锡市文明单位、无锡市常规管理先进学校、江苏省现代教育技术实验学校、江
苏省示范家长学校、江苏省德育先进学校，2005年1月，被省教育厅确认为江苏省三星级高中。

2021年中考二轮专题复习——圆一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）如图，△ABC 内接于△O ，△C=45°，AB=2，则△O 的半径为（ ）A ．1B ．C ．2 D2．（2019·江苏无锡市·）如图，点A ，B ，C 均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A ，O ，C 作△D ，E 是△D 上任意一点，连结CE ，BE ，则CE 2+BE 2的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3．（2019·江苏无锡市·）如图，在扇形AOB 中，△AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE△OA 交AB 于点E ，以点C 为圆心，OA 的长为直径作半圆交CE 于点D ．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3π-B ．3π-C ．53π-D ．53π-4．（2020·天津市第二南开中学九年级月考）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，CE ，若△CBD =32°，则△BEC 的大小为（ ）A．64°B．120°C．122°D．128°5．（2021·滦南县宋道口镇初级中学九年级期末）如图A，B，C是O上的三个点，若100∠=，则AOCABC∠等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°6．（2020·沭阳县修远中学九年级月考）如图，△ABC内接于△O，将BC沿BC翻折，BC交AC于点D，连接BD，若△BAC＝66°，则△ABD的度数是（）A．66B．44C．46D．487．（2020·安徽芜湖市·九年级月考）如图，AB为△O的直径，点C在△O上，若△C=16°,则△BOC的度数是（）A．74︒B．48︒C．32︒D．16︒8．（2017·河南九年级其他模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于△O，若直线P A与△O相切于点A，则△P AB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°9．（2020·湖州市第四中学教育集团九年级期中）如图，AB是△O的直径，DB、DE分别切△O于点B、C，若△ACE＝25°，则△D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°10．（2021·江苏九年级专题练习）如图，A，B，C是△O上三点，△ACB＝25°，则△BAO的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019·广东九年级一模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos△AOB的值是（）A．34B．710C．45D．3512．（2020·山东烟台市·九年级一模）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的△C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（）A．4932B．2518C．3225D．9813．（2019·江苏无锡市·九年级一模）如图，A、B、C、D是△O上的四个点，弧AB=弧BC,58AOB∠=︒，则BDC∠的度数是（）A．58°B．42°C．32°D．29°14．（2018·江苏无锡市·）在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m），D（n，0），且m2+n2=4，若E为CD中点．则AB+BE的最小值为（）A．3B．4C．5D．15．（2020·湖南长沙市·九年级期末）如图，已知BC是△O的直径，AB是△O的弦，切线AD交BC的延长线于D,若△D=40°，则△B的度数是（）A．40°B．50°C．25°D．115°二、解答题16．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，△ABC的三个顶点都在△O上，直径AD＝6cm，△DAC＝2△B，求AC 的长．17．（2019·江苏无锡市·）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的△O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ，AE ＝2，EC ＝1．（1）求证：△DEC△△ADC ；（2）连结DO ，探究四边形OBCD 是否是菱形？若是，请你给予证明；若不是，请说明理由； （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ，求证：CH 是△O 的切线．18．（2019·江苏无锡市·）如图，已知直线(y m m =+>交x 轴、y 轴分别于点A 、点F ，并与反比例函数y x=的图像交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），以OA 为直径作半圆，圆心为P ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，并与半圆P 交于点D ．（1）若B 、C 的横坐标分别为x 1、x 2，且x 2-x 1=5，求m 的值；（2）判断线段DE 的长是否随m 的改变而改变，若不随m 的改变而改变，请求出DE 的长；若随m 的改变而改变，请说明理由；（3）记点C 关于直线DE 的对称点为C ′，当四边形CDC ′E 为菱形时，直接写出C 的坐标和m 的值．19．（2020·广东惠州市·九年级其他模拟）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O 于点D，过点B作BE PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．(△)求证：AB=BE；(△)连结OC，如果，△ABC=60°，求OC的长．20．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，AB为△O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作△O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC△DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．21．（2019·山西九年级专题练习）如图，CD是△O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：△CAD=△BDC；（2）若BD=23AD，AC=3，求CD的长．22．（2020·江苏无锡市·九年级一模）已知：如图，AB是△O的直径，DM切△O于点D，过点A作AE△DM，垂足为E，交△O于点C，连接AD．（1）求证：AD是△BAC的平分线；CD ，半径为5，求CE的长．（2）连接CD，若2523．（2020·南京市竹山中学九年级期中）如图，△ABC中，△O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，△DBC＝△BAC．（1）证明BC与△O相切；（2）若△O的半径为6，△BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．24．（2020·江苏无锡市·九年级一模）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作△POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．△试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；△是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．25．（2020·江苏无锡市·九年级一模）如图，AB是△O的直径，点C是△O上一点，AC平分△DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为D，CE平分△ACB，交△O于E．（1）求证：PC与△O相切；（2）若AC=6，tan△BEC=23，求BE的长度以及图中阴影部分面积．26．（2020·江苏无锡市·九年级一模）（1）如图1，在△O中，AB是直径，弦EF△AB，在直径AB下方的半圆上有一个定点H（点H不与点A，B重合），请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出劣弧EF的中点P，并在直线AB上画出点G，使直线AB平分△HGP．（保留作图痕迹，不写作法）（2）尺规作图．．．．：如图2，已知线段a、c，请你用两种不同的方法作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．（保留作图痕迹，不写作法）27．（2017·陕西九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分△ABC交AE于点M，经过B，M两点的△O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为△O的直径．（1）求证：AE与△O相切；（2）当BC＝4，cos C＝13时，求△O的半径．28．（2020·江苏无锡市·）如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，323），AC平分△OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，△P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE△AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为△P的切线；（2）求△P的半径．29．（2020·无锡市天一实验学校九年级一模）如图，△ABC的点A，C在△O上，△O与AB相交于点D，连接CD，△A＝30°，DC．（1）求圆心O到弦DC的距离；（2）若△ACB+△ADC＝180°，求证：BC是△O的切线．30．（2020·霍林郭勒市第五中学九年级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH△AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求EF FD的值；（3）若EA ＝EF ＝1，求圆O 的半径． 31．（2019·江苏无锡市·九年级一模）如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作CE AB ∥，与过点A 的切线相交于点E ，连接AD .（1）求证：AD AE =；（2）若10AB =，AC =AE 的长.32．（2019·江苏盐城市·九年级二模）如图，AB 为△O 的直径，AC 为△O 的弦，AD CD ⊥，且BAC CAD ∠=∠．（1）求证：CD △O 的切线；（2）若1AD =，2CD =，求△O 的半径．33．（2020·甘肃九年级二模）如图，AB 为△O 的直径，C 为△O 上一点，△CAB 的角平分线AD 交△O 于点D ，过点D 作DE△AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若△CAB=60°，，求AC的长．34．（2020·江阴市临港实验学校）已知：如图，已知△O是△ABC的外接圆，AB为△O的直径，AC＝6cm，BC＝8cm.(1)求△O的半径；(2)请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧．．CAB．．．上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC 面积的最大值.三、填空题35．（2019·江苏无锡市·）如图，△O的半径为4，A、C两点在△O上，点B在△O内，4 tan3ACB∠=，AB△AC，若OB△OC，那么OB的长为__________．36．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）37．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是_____.38．（2021·江苏九年级专题练习）如图，直线l与半径为2的△O相切于点A，P是△O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB△l，垂足为B，连接PA．设PA PB=m，则m的取值范围是__________．39．（2021·江苏九年级专题练习）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB，点P在以AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．40．（2020·宜兴外国语学校九年级一模）如图，四边形ABCD内接于△O，OC△AD，△DAB＝60°，△ADC ＝106°，则△OCB＝_____°．41．（2020·曲阜市息陬乡春秋中学九年级月考）如图，△ABC中，△C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的△O和AB、BC均相切，则△O的半径为___．42．（2020·竹溪县实验中学九年级其他模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．43．（2020·四川成都外国语学校高新校区九年级月考）如图，已知△O的半径为3cm，点A、B、C把△O三等分，分别以OA、OB、OC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为____．44．（2020·沭阳县修远中学九年级月考）如图，已知△O的半径是2，点A，B在△O上，且△AOB＝90°，动点C在△O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是_______．45．（2020·江苏无锡市·九年级月考）如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若△CPA=20°，则△A=___________．46．（2020·山东省青岛第二十六中学）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为．参考答案1．D2．C3．D4．C5．D6．D7．C8．A9．A10．D11．D12．C13．D14．B15．C16．3cm．17．解：（1）C是劣弧BD的中点，CAD CDE∴∠=∠，又DCE DCA∠=∠，DEC ADC∴△∽△；（2）由（1）得DC EC AC DC=，2313DC AC EC∴=⋅=⨯=，BC DC∴==AB是O的直径，90ACB∴∠=︒．22222312 AB AC CB∴=+=+=，AB∴=OD OB BC DC ∴====∴四边形OBCD 是菱形；（3）连接OC 交BD 于G ，四边形OBCD 是菱形，OC BD ∴⊥且OG GC =，又已知OB BH =，△BG 是△OHC 的中位线，△BG CH ，90OCH OGB ∴∠=∠=︒，CH ∴是O 的切线．18．（1）m =（2）不改变，DE =（3）C ⎛ ⎝⎭，m =19．(△)证明见解析；(△)OC =. (△)连接OD ，△PD 切O 于点D ，△OD PD ⊥．△BE PC ⊥，△OD BE ，△ADO E ∠=∠，△OA OD =，△OAD ADO ∠=∠，△OAD E ∠=∠，△AB BE =．20．（1）证明见解析；（2）2√3.解：（1）连接OD，BD△DM切△O于点D，△OD△MD，△AE△DM，△OD△AE，△△ODA=△EAD，△OD=OA，△△ODA=△DAB，△△EAD=△BAE，即AD是△BAC的平分线；23．（1）证明见解析；（2）6π－（1）证明：连接BO并延长交△O于点E，连接DE,△BE是直径，△△EDB＝90°，△△E＋△EBD＝90°△＝，△△E＝△A又△△DBC＝△BAC，△△DBC＝△E△△DBC＋△EBD＝90°，△△EBC＝90°，△BC△EB.又△OB是半径（B在△O上），△BC与△O相切. 24．（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：△四边形POBQ为平行四边形，△PQ△OB，PQ=OB．又△OB=OA，△PQ=AO．又△PQ△OA，△四边形PQOA为平行四边形，△P A△QO，P A=QO．又△M、N分别为OQ、AP的中点，△OM=12OQ，PN=12AP，△OM=PN，△四边形OMPN为平行四边形．△OP=OA，N是AP的中点，△ON△AP，即△ONP=90°，△四边形OMPN为矩形；（2）△△四边形OMPN为矩形，△S矩形OMPN=ON·NP=ON·12AP，即S矩形OMPN=S△AOP．△△AOP的底AO为定值，△当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP 的面积取得最大值，△t=90÷15=6秒，△当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．此时，PQ与半圆O相切．理由如下：△此时△POB=90°，PQ//OB，△△OPQ=90°，△PQ与半圆O相切；△当点Q在半圆O上时，△四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，△四边形POBQ为菱形，△OB=BQ=OQ=OP=PQ，△△POQ=△BOQ=60°，即：△BOP=120°，△此时，t=120°÷15°=8秒，当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．25．（1）见解析；（2）BE，13264Sπ-=阴影．（1）如图，连结OC，△AC平分△DAB，△△DAC=△CAO，△OC =OA，△△ACO=△CAO，△△ACO =△DAC，△OC△AD，△AD△PD，则△D=90°，△△OCP=△D=90°，△OC△PC，即PC与△O相切；26．解：（1）如图1所示，点P、点G即为所求；（2）方法一：如图2所示，Rt△ABC即为所求；方法二：如图3所示，Rt△ABC即为所求．27．(1) 连接OM，则OM＝OB，如图所示：△△OBM=△OMB△BM平分△ABC△△OBM=△EBM△△OMB=△EBM△OM△BE△△AMO=△AEB而在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线△AE△BC△△AMO=△AEB=90°△AE与△O相切.(2) 在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线△BE=12BC=2,△ABC=△ACB△在Rt△ABC中cos△ABC=cos△ACB=2AB=13△AB=6设△O的半径为r,则AO=6-r △OM△BC△△AOM△△ABE△OM AO BE AB即r6-r = 26△r=3 228．（1）证明：连接CP ， △AP=CP ，△△PAC=△PCA ，△AC 平分△OAB ，△△PAC=△EAC ，△△PCA=△EAC ，△PC△AE ，△CE△AB ，△CP△EF ，即EF 是△P 的切线；（2）由（1）知，PC△AB ，△△OPC△△OAB ，△ ,PC OP AB OA= △A （-8，0），B （0，323）， △OA=8，OB=323，=403， △ 84083PC PC -=，△PC=5，△△P 的半径为5．29．解：（1）连接OD ，OC ，过O 作OE △OC 于E ，△△A＝30°，△△DOC＝60°，△OD＝OC，CD，△△OCD是等边三角形，△OD＝OC＝CD，△OE△DC，△DE，△DEO＝90°，△DOE＝30°，△OE＝2△圆心O到弦DC的距离为：2（2）由（1）得，△ODC是等边三角形，△△OCD＝60°，△△ACB+△ADC＝180°，△CDB+△ADC＝180°，△△ACB＝△CDB，△△B＝△B，△△ACB△△CDB，△△A＝△BCD＝30°，△△OCB＝90°，△BC是△O的切线．30．（1）连接OD，如图1，△OB=OD，△△ODB是等腰三角形，△OBD=△ODB△，在△ABC 中，△AB=AC，△△ABC=△ACB△，由△△得：△ODB=△OBD=△ACB，△OD△AC，△DH△AC，△DH △OD ，△DH 是圆O 的切线；（2）如图2，在△O 中，△△E =△B ，△由（1）可知：△E =△B =△C ，△△EDC 是等腰三角形，△DH △AC ，且点A 是EH 中点，设AE =x ，EC =4x ，则AC =3x ，连接AD ，则在△O 中，△ADB =90°，AD △BD ，△AB =AC ，△D 是BC 的中点，△OD 是△ABC 的中位线，△OD △AC ，OD =12AC =32x ，△OD △AC ，△△E =△ODF ，在△AEF 和△ODF 中，△△E =△ODF ，△OFD =△AFE ，△△AEF △△ODF ，△EF AE FD OD =，△32AE x OD x = =23，△EF FD =23； （3）如图2，设△O 的半径为r ，即OD =OB =r ，△EF =EA ，△△EF A =△EAF ，△OD △EC ，△△FOD =△EAF ，则△FOD =△EAF =△EF A =△OFD ，△DF =OD =r ，△DE =DF +EF =r +1，△BD =CD =DE =r +1，在△O 中，△△BDE =△EAB ，△△BFD =△EF A =△EAB =△BDE ，△BF =BD ，△BDF 是等腰三角形，△BF =BD =r +1，△AF =AB ﹣BF =2OB ﹣BF =2r ﹣（1+r ）=r ﹣1，在△BFD 和△EF A 中，△△BDF =△EF A ，△B =△E ，△△BFD △△EFA ，△EF BF FA DF =，△111r r r +=-，解得：r 1=12+，r 2=12（舍），综上所述，△O的半径为12+．31．（1）证明：△AE 与△O 相切，AB 是△O 的直径，△△BAE=90°，△ADB=90°，△CE△AB ，△△E=90°，△△E=△ADB ，△在△ABC 中，AB=BC ，△△BAC=△BCA ，△△BAC+△EAC=90°，△ACE+△EAC=90°，△△BAC=△ACE ，△△BCA=△ACE ，又△AC=AC ，△△ADC△△AEC （AAS ），△AD=AE ；（2）解：设AE=AD=x ，CE=CD=y ，则BD=（10-y ），△△AEC 和△ADB 为直角三角形，△AE 2+CE 2=AC 2，AD 2+BD 2=AB 2，AB=10，AE=AD=x ，CE=CD=y ，BD=（10-y ）代入得： 22210)280(100y x y x -⎧+=⎨+=⎩， 解得：84x y =⎧⎨=⎩, 所以AD ＝8.32．（1）如图：连接BC ，OC△OA OC =OAC OCA ∴∠=∠，且CAD OAC ∠=∠ △OCA CAD ∠=∠△AD CD ⊥△90CAD ACD ∠+∠=︒△90OCA ACD ∠+∠=︒OC CD ∴⊥且OC 为半径CD ∴是O 的切线（2）AD CD ⊥，1AD =，2CD =AC ∴=， AB 是直径△90ACB ∠=︒90ACB ADC ∠=∠=︒，BAC CAD ∠=∠ △ACD ABC ∆∆∽∴ AD AC AC AB= 5AB ∴=.△△O 的半径为52. 33．证明：（1）连接OD ，如图，△OA=OD ，△△OAD=△ODA ，△AD 平分△CAB ，△△CAD=△OAD ，△△CAD=△ODA ，△OD△AC ，△DE△AC ，△DE△OD ，△DE 是△O 的切线；（2）连接BD ，则△ADB=90°， △△CAB=60°，AD 平分△CAB ， △△CAD=△DAB=30°，△AB=12，连接OC ，则OC=OA=6， △△CAB=60°，△AC=OA=OC=6．34．（1）△O 的半径为5cm ；（2）S △PBC ＝32． 35．4336．5π37．24π38．01m ≤≤39．.440．46°41．67． 42．24446．83π-。

初中历史教师述职报告10篇初中历史教师述职报告1回忆一学期工作，本人深刻体会到，教师工作非常辛苦，不仅担负着教书的工作，更担负着育人的重担。

教师是学生班集体的教育者、组织者和领导者，也是学校教育工作主力军。

下面对几个方面作点小结：一、思想政治方面：本人能积极参加政治学习，关心国家大事。

遵守工作纪律，团结同事，热心帮助同事；教育目的明确，态度端正，钻研业务，工作踏实，关爱学生，有奉献精神。

二、教学方面：1、备课作为一个新教师，积极参加教研室组织的教研活动，在师傅和各位同事的指导下进行备课，勤于听课学习，领会精神实质。

然后根据教学要求，认真备课，写好教案。

备课时认真钻研教材、教参，学习好大纲，虚心向同事老师学习、请教。

力求吃透教材，找准重点、难点。

为上好课，本人常上网查资料，博采众长。

为了学生能更直观地感受所学的知识内容，本人尽量将课程形象化。

复习阶段，本人把每一单元的词语、重点内容记在备课本上，为的就是让学生有个清晰的复习印象。

2、上课上好课的前提是做好课前准备。

认真讲课，力求抓住重点，突破难点。

运用多种教学方法，从学生的实际出发，注意调动学生学习的积极性和创造性思维，使学生有举一反三的能力。

培养学有困难生的学习兴趣，简单的问题常找学困生答复。

巡视时，注意对学困生的辅导。

课后及时做授课后记，找出缺乏。

3、辅导本人利用课间对学生个别辅导，耐心讲解，及时查漏补缺。

并能积极与家长联系，及时沟通情况，使家长了解情况，以便双方配合辅导。

辅导学困生，本人常在课后进行适量的辅导，重在培养他们的学习信心。

4、作业根据减负的要求，本人把每天的作业经过精心地挑选，适当地留一些有利于学生能力开展的、发挥主动性和创造性的作业。

三、职业道德：德育是学校工作中的重中之重，而德育工作的秘诀就是"爱"。

师爱，它凝结着教师无私奉献的精神。

师爱，没有私利与目的，却有种巨大的力量，能在很大程度上激发学生的学习兴趣和激情。