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矩阵的特征值与特征向量一、定义与性质：1.特征值：设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个非零列向量X使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
2.重要性质：(1)特征值与特征向量是一一对应的，即一个特征值对应一个特征向量，特征向量的倍数仍为特征向量。
(2) 设λ1，λ2，...，λn是A的n个特征值，则A的特征值的和等于A的主对角线元素之和，即λ1+λ2+...+λn=ΣAii(i=1,2,...,n)。
(3)A的特征值的积等于A的行列式值，即λ1λ2...λn=，A。
二、计算方法：1.方程法：设λ是A的一个特征值，则有，A-λE，=0，其中E是n阶单位矩阵。
将，A-λE，=0展开，可以得到一个n次的多项式，称为特征多项式。
解特征多项式，即可求得特征值。
2.特征向量法：对于方程A-λE=0，将其变形为(A-λE)X=0，其中X是一个n维列向量。
求解(A-λE)X=0可以得到特征向量。
三、应用：1.物理学中的应用：(1)量子力学中的量子态演化过程可以表示为一个特征值问题，特征值对应着能量，特征向量对应着量子态。
(2)电力系统中的节点电压和电流可以用矩阵的特征值和特征向量求解，用于电网稳定性的分析。
2.经济学中的应用：(1)马尔可夫过程中的平稳分布可通过马尔科夫矩阵的特征值和特征向量求解。
(2)输入输出模型中，矩阵表示产出与投入之间的关系，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到经济系统的稳定性和发展趋势。
3.图像处理中的应用：(1)图像压缩算法中，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行信息提取和图像压缩。
(2)图像识别中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，进行目标物体的特征提取和分类。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它们的计算方法可以通过特征多项式和特征向量方程进行求解。
在物理学、经济学和图像处理等领域都有着重要的应用，可以对实际问题进行分析和求解。
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在矩阵的研究中，特征值与特征向量是非常重要的概念。
本文将以简明扼要的方式介绍矩阵的特征值与特征向量及其在实际问题中的应用。
一、什么是矩阵的特征值与特征向量？在矩阵A中，如果存在一个非零向量v，使得Av=kv，其中k为一个实数或复数，则k为该矩阵的特征值，而v为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现的，特征向量对应于一个或多个特征值。
特征值和特征向量是描述矩阵变换特性的重要指标，在许多科学和工程应用中具有重要意义。
二、如何计算矩阵的特征值与特征向量？要计算矩阵的特征值与特征向量，我们需要解决一个特征方程，即|A-λI|=0其中A为矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
解特征方程可以得到特征值的值，然后将特征值带入原方程(A-λI)v=0中，求解得到特征向量v。
特征值与特征向量的计算在实际问题中有多种方法，例如Jacobi方法、幂法等。
三、矩阵的特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在现实世界中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 特征向量在图像处理中的应用特征向量可以用来表示图像的特征信息，例如图像识别中，利用特征向量可以提取图像的特征，从而进行图像分类、目标识别等任务。
2. 特征值与动力系统的稳定性在动力系统的稳定性研究中，特征值被用来描述系统的稳定性。
通过计算系统的特征值，可以判断系统是否稳定，并预测系统的行为。
3. 特征值与物理问题中的本征频率在物理学中，特征值与特征向量经常用来描述振动系统的本征频率与本征振动模态。
例如，通过计算结构的特征值与特征向量可以确定建筑物的地震响应。
4. 特征向量与网络分析在网络分析中，特征向量可以用来计算节点的中心性，从而衡量节点的重要性。
该方法在社交网络分析、蛋白质相互作用网络等领域中得到广泛应用。
总结：矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，具有广泛的应用价值。
矩阵特征值与特征向量的求法1. 什么是矩阵的特征值和特征向量？矩阵是线性代数中的一种重要概念，它由行和列组成的二维数组。
在矩阵运算中，特征值和特征向量是非常重要的概念。
特征值（eigenvalue）是一个标量，表示线性变换在某个方向上的缩放因子。
一个方针的特征值是该线性变换在该方向上对原始向量进行缩放或拉伸的倍数。
特征向量（eigenvector）是与特定特征值相关联的非零向量。
它表示在某个方向上进行线性变换后不改变其方向，只改变其长度。
2. 特征值与特征向量的定义设A为n阶矩阵，如果存在数λ和非零列向量x使得Ax = λx则称λ为矩阵A的一个特征值，称x为对应于λ的一个特征向量。
3. 求解矩阵的特征值和特征向量要求解矩阵A的特征值和对应的特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤1：求解特征方程特征方程是一个关于λ的多项式方程，可以通过以下公式得到：det(A - λI) = 0其中，A为矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
步骤2：解特征方程将特征方程化简后，可以得到一个关于λ的代数方程。
解这个方程即可得到矩阵A的特征值。
步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。
求解过程可以使用高斯消元法或其他方法。
4. 示例假设有一个2x2的矩阵A：A = [[a, b], [c, d]]我们想要求解这个矩阵的特征值和对应的特征向量。
步骤1：求解特征方程根据步骤1，我们需要计算det(A - λI) = 0。
其中，A - λI = [[a-λ, b], [c, d-λ]]det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = 0化简上述等式得到一个二次多项式关于λ：λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) = 0这就是特征方程。
步骤2：解特征方程通过求解特征方程，我们可以得到矩阵A的特征值。
步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。
高斯消元法在矩阵特征值与特征向量中的应用矩阵特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题求解中。
而高斯消元法则是一种常用的矩阵运算方法，用于线性方程组的求解。
本文将探讨高斯消元法在矩阵特征值与特征向量求解中的应用。
首先，我们需要了解矩阵特征值与特征向量的定义。
设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和一个非零n维向量X，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。
在实际问题中，我们常常需要通过求解特征值与特征向量来解决诸如线性方程组、最优化问题、图像处理等数值计算问题。
而高斯消元法则是一种可靠且高效的求解线性方程组的方法，我们可以将其应用于求解矩阵特征值与特征向量的问题中。
首先，我们将矩阵A与单位矩阵I组合成一个增广矩阵[A|I]，并通过高斯消元法将其转化为行阶梯形矩阵。
接着，我们可以通过观察行阶梯形矩阵来获得矩阵的特征值。
具体来说，我们观察行阶梯形矩阵的对角线元素（主元），它们构成了矩阵的特征值。
而特征向量可以通过回代得到。
在回代过程中，我们可以利用主元所在列的上方元素和主元所在行的元素，通过高斯消元法求解特征向量的分量值。
下面，我们通过一个具体的例子来说明高斯消元法在矩阵特征值与特征向量求解中的应用。
假设有一个3阶矩阵A，其元素为：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]首先，我们将矩阵A与单位矩阵I组合得到增广矩阵[A|I]：[A|I] = [[1, 2, 3, 1, 0, 0],[4, 5, 6, 0, 1, 0],[7, 8, 9, 0, 0, 1]]接下来，我们通过高斯消元法将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵：[[1, 2, 3, 1, 0, 0],[0, -3, -6, -4, 1, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 1]]从行阶梯形矩阵中可以看出，矩阵A的特征值为1、0和0。
接下来，我们回代求解特征向量。
由于特征值1对应的主元位于第1行第1列，我们可以通过高斯消元法求解特征向量的分量值。
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的基本概念之一，它们在科学计算、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行详细的介绍。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零n维向量x，使得Ax与x线性相关，即满足下式：Ax = λx其中，λ为非零常数，称为矩阵A的特征值；而向量x称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
从定义中可以看出，特征向量并不唯一，一个特征值可以对应多个特征向量，且特征值和特征向量是成对存在的。
二、求解特征值与特征向量的方法求解一个矩阵的特征值与特征向量可以使用多种方法，其中比较常用的有特征值问题的特征多项式法和幂法。
1. 特征多项式法特征多项式法是一种较为直观的方法，其基本思想是通过解矩阵的特征方程来求解特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程可以表示为：|A-λI| = 0其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知量。
解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值。
解特征方程得到特征值后，再带入Ax = λx中，可以求解对应的特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代的方法，通过不断迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量。
算法的基本思想是：(1)选择一个任意的非零向量x0；(2)计算x1 = Ax0；(3)计算x2 = Ax1；......(4)迭代到某一步，得到xk与x(k-1)之间的变化很小时，停止迭代。
在迭代过程中，向量x逐渐趋近于特征向量，而矩阵B = A^k中的最大特征值则逐渐趋近于特征值，因此可以通过幂法来估计特征值与特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有多个重要性质。
1. 特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n；（2）特征值的和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）；（3）特征值的积等于矩阵的行列式；（4）特征值具有可交换性，即两个矩阵AB和BA具有相同的特征值。
矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，应用广泛于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法，以及其在实际问题中的应用。
一、矩阵特征值与特征向量的定义对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k 为一个标量，则称k为矩阵A的一个特征值，X为对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量的计算是一个求解矩阵特征值问题的过程，这在实际中具有很大的意义。
接下来，我们将介绍矩阵特征值与特征向量的计算方法。
二、矩阵特征值与特征向量的计算方法计算矩阵的特征值与特征向量有多种方法，其中比较常用的方法是特征值分解和特征方程。
1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵和特征值矩阵相乘的形式，即A=VΛV^-1。
其中，V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。
特征值分解的计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，其中I为单位矩阵。
（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。
（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。
（4）将得到的特征向量按行组成矩阵V，特征值按对角线组成矩阵Λ。
2. 特征方程法特征方程法是直接求解矩阵A的特征值的方法。
计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0。
（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。
（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。
在实际计算中，可以利用计算机软件或在线计算器进行特征值与特征向量的计算，提高计算的效率。
三、矩阵特征值与特征向量的应用矩阵的特征值与特征向量在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍两个常见的应用场景。
1. 矩阵对角化对于一个n阶矩阵A，若能找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
此时，Λ的对角线上的元素为矩阵A的特征值。
矩阵的特征值与特征向量矩阵在数学和物理学中扮演着重要的角色，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量，v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解是一个重要的矩阵问题。
2. 求解特征值与特征向量的方法求解特征值与特征向量的方法主要有两种：代数方法和几何方法。
代数方法：通过求解矩阵A的特征方程来确定特征值λ，然后通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解特征向量v。
其中I为单位矩阵。
几何方法：考虑矩阵A作用下的线性变换，特征向量表示在该变换下仅仅被拉伸而不改变方向的向量，特征值则表示该变换在相应方向上的拉伸倍数。
3. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：- 矩阵A的特征值的个数等于其维数。
- A的所有特征值的和等于其主对角线元素之和，即Tr(A)。
- A的所有特征值的乘积等于其行列式，即det(A)。
- 如果A是一个对称矩阵，则其特征向量构成一组正交基。
- 如果A是一个正定矩阵，则所有特征值大于零。
4. 特征值与特征向量在实际问题中的应用特征值与特征向量在许多实际问题中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：- 物理学：矩阵的特征值与特征向量在量子力学、振动理论、电路分析等领域中有重要应用。
- 数据分析：特征值与特征向量可用于降维、聚类以及图像处理等方面的数据分析。
- 工程科学：特征值与特征向量在结构动力学、控制系统等工程问题中有着广泛的应用。
总结：矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们不仅具有丰富的数学性质，而且在实际问题中有广泛的应用。
通过求解特征值与特征向量，我们可以深入理解矩阵所代表的线性变换的特性，并应用于解决各种实际问题。
了解并掌握特征值与特征向量的求解方法与应用将为我们在数学和科学领域的研究与应用提供有力的工具和思路。
矩阵的特征向量求法矩阵的特征向量求法是线性代数中的一个重要概念，用于解决矩阵在向量空间中的变换问题。
特征向量是指在矩阵变换下保持方向不变的向量，其对应的特征值则表示该方向上的缩放比例。
特征向量求法的过程可以通过矩阵的特征方程来实现。
一、特征向量和特征值的定义在介绍特征向量求法之前，我们先来了解一下特征向量和特征值的定义。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个常数，那么v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量和特征值的定义可以用以下等式表示：A·v= λ·v二、特征向量求法的步骤特征向量求法的步骤如下：1.求解特征方程特征方程是一个关于特征值λ的方程，由于λ是特征方程的根，所以我们需要求解该方程来得到特征值。
特征方程的表达式为：|A-λI|=0，其中A为给定的矩阵，I为单位矩阵。
2.求解特征值解特征方程得到的根即为特征值。
特征方程是一个n阶多项式方程，可以使用代数方法（如因式分解、配方法等）或数值方法（如牛顿法、二分法等）来求解。
3.求解特征向量对于每一个特征值λ，我们需要求解相应的特征向量v。
特征向量可以通过以下等式求解：(A-λI)·v=0。
将(A-λI)记为B，可以将该方程转化为线性方程组B·v=0来求解。
4.归一化特征向量得到特征向量后，需要对其进行归一化处理。
归一化是将特征向量的模长化为1的操作，可以通过将特征向量除以其模长来实现。
三、示例解析为了更好地理解特征向量求法的步骤，我们来看一个具体的示例。
假设有一个2阶矩阵A：A = [[3, 2], [1, 4]]我们需要求解特征方程：|A-λI| = |[[3-λ, 2], [1, 4-λ]]| = (3-λ)(4-λ)-2 = λ^2 - 7λ + 10 = 0解特征方程得到的根为λ1=5，λ2=2。
接下来，我们需要求解特征向量。
对于λ1=5，我们有：(A-λ1I) = [[3-5, 2], [1, 4-5]] = [[-2, 2], [1, -1]]将(A-λ1I)·v=0转化为线性方程组：-2v1 + 2v2 = 0v1 - v2 = 0解这个线性方程组得到v1=v2，所以特征向量为v1=[1, 1]。
特征值特征向量的应用
一、特征值特征向量的概念与计算方法
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在矩阵A中，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，则称k为矩阵
A的特征值，x为对应的特征向量。
计算矩阵的特征值和特征向量可以使用求解矩阵的本征方程来实现。
二、物理学中的应用
在物理学中，特征值和特征向量被广泛应用于力学、电学、光学等领域。
例如，在力学中，通过计算刚体的惯性张量的特征值和特征向量，可以得到刚体绕着主轴旋转时的角速度和角动量。
在电学中，通过计
算电路矩阵的特征值和特征向量，可以得到电路稳定性等信息。
三、图像处理中的应用
在图像处理领域中，利用矩阵分解技术求解图像的主成分分析（PCA）问题时常使用到了特征值和特征向量。
通过将图像数据转换为一个矩阵，并对其进行奇异值分解（SVD），可以得到矩阵的特征值和特征
向量，从而实现图像压缩、去噪等操作。
四、机器学习中的应用
在机器学习领域中，特征值和特征向量被广泛应用于数据降维、分类、聚类等问题。
例如，在支持向量机（SVM）算法中，通过计算数据矩
阵的特征值和特征向量，可以得到最优超平面以实现数据分类。
在聚
类算法中，通过计算数据矩阵的特征值和特征向量，可以将高维数据
降为低维空间以便进行聚类。
五、结语
总之，特征值和特征向量是一种非常重要的数学工具，在各个领域都
有广泛的应用。
掌握这些概念并能够熟练地运用它们来解决实际问题
是非常有意义的。
求矩阵的特征值和特征向量技巧-回复求解矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要内容之一，对于理解矩阵的性质和应用具有重要意义。
本文将一步一步回答关于求解矩阵特征值和特征向量的技巧和方法。
一、特征值和特征向量的定义在介绍求解矩阵特征值和特征向量的技巧之前，我们首先来了解一下它们的定义。
对于一个n×n矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征值和特征向量的定义可以通过下面的方程组表示：(A-λI)v=0，其中I 是单位矩阵。
二、求解特征值和特征向量的步骤求解矩阵的特征值和特征向量可以按照以下步骤进行：步骤1：求解特征方程特征方程是由矩阵A的特征值λ引出的方程。
假设矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么它们满足特征方程det(A-λI)=0。
步骤2：求解特征值解特征方程可以得到矩阵A的特征值。
通常情况下，为了方便计算，可以使用行列式的性质进行展开和化简。
步骤3：求解特征向量已知矩阵A的特征值λ后，我们可以通过求解方程组(A-λI)v=0来得到特征向量v。
具体来说，我们需要求解齐次线性方程组(A-λI)v=0的解空间。
解空间可以通过高斯消元法或者矩阵的基本行变换来求解。
在实际计算中，可以采用迭代法、幂法、反迭代法等方法来求解特征值和特征向量。
三、常见的特征值和特征向量技巧在求解特征值和特征向量的过程中，存在一些常用的技巧可以简化计算和求解过程。
1. 特征值的性质和计算特征值有一些重要的性质，比如特征值之和等于矩阵的迹，特征值之积等于矩阵的行列式。
当矩阵是对称矩阵或者厄米矩阵时，它的特征值都是实数。
对于一般矩阵，特征值可能是复数。
2. 特征向量的计算求解特征向量的时候，可以通过高斯消元法或者矩阵的基本行变换来简化计算。
对于某些特殊的矩阵，比如对称矩阵、厄米矩阵、正交矩阵等，它们的特征向量具有一些特殊的性质，比如正交性、单位性等。
毕业论文（设计）题目：矩阵特征值和特征向量的求法与应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
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图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它摘要：特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，在理论学习和实际生活中有很重要的作用.本文主要讨论并归纳总结了特征值与特征向量的相关性质以及相关求法，通过实例展示了特征值与特征向量的相关应用。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；基础解系Abstract:As an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.Key words: matrix；eigenvalue；eigenvector；system of fundamental solutions目录1 绪论 (3)1.1研究背景 (3)1.2研究现状 (3)2 特征值与特征向量 (4)2.1特征值与特征向量的定义 (4)2.2特征值与特征向量的性质 (4)3 特征值与特征向量的求法 (4)3.1矩阵特征值和特征向量的一般求法 (4)3.2乘幂法求特征值与特征向量 (5)3.3雅克比法求特征值和特征向量 (8)3.4QR法求特征值和特征向量 (11)4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (14)4.1n阶矩阵的高次幂的求解 (14)4.2矩阵特征值求解矩阵元素的应用 (15)4.3常系数线性微分方程组中求解特征值的应用 (16)4.4阻尼自由振动中特征根求解的应用 (18)总结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)1 绪论特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论学习和实际生活有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的相关性质，相关方法及相关应用.比如乘幂法，雅可比法和QR法求解矩阵的特征值和特征向量，列举了常微分齐次方程组求解特征根和特征向量等问题的一些应用.1.1研究背景矩阵是高等数学中的一个重要的基本概念之一,也是代数学的一个主要研究对象.矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该内容的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以解决物理中关于阻尼振动方面的问题，矩阵特征值与特征向量在求解数学中常微分线性方程组解方面也有其独特的应用.1.2 研究现状已有很多专家学者涉足研究该问题.郭华、刘小明在2000年《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.汪庆丽在2001年《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法.岳嵘在2005年《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及1k个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在2009年《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在2006年《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.2 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义定义：设R 是n 阶方阵，如果存在数0λ和n 维非零向量α，使得αλα0=R 成立，则称0λ为R 的特征值，α是R 的对应特征值0λ的特征向量.2.2 特征值与特征向量的性质性质 1 如果21,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当02211≠+x k x k 时,02211≠+x k x k 仍是R 的属于特征值0λ的特征向量.性质 2 如果n λλλ,,,21 是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则n x x x ,,,21 线性无关.性质 3 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交.3 特征值与特征向量的求法3.1矩阵特征值和特征向量的一般求法设0λ是n 阶方阵的特征值，α是属于0λ的一个特征向量，则αλα0=A ，将αλ0改写成()αλE 0，由上式可得()θλ=-A E 0，这表明，α是齐次线性方程组()θλ=-X A E 0 （11.2）的一个非零解.方程组（11.2）的系数矩阵00=-A E λ （11.3）定义11.2 设()ij a A =是阶方阵，含有未知量λ的矩阵A E -0λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ2122221112110 （11.4）称为矩阵的特征多项式. 一般的，n 阶方阵()ij a A =的特征多项式（11.4）等于()()A a a a A E n n nn n 112211-+++++-=-- λλλ，它是关于λ的一个n 次多项式. 由（11.3）可见，矩阵的特征值是的特征多项式的一个根.进一步，我们可以证明定理11.1 设A 是n 阶方阵，则0λ是A 的特征值，α是属于0λ的特征向量的充分必要条件是:0λ是A 的特征多项式A E -λ的根，α是齐次线性方程组()θλ=-X A E 0的一个非零解.根据定理11.1，我们得到求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法如下：（1）计算A 的特征多项式A E -λ；（2）求多项式A E -λ的全部根：n λλλ,,,21 ，这就是A 的特征值；（3）对每个特征值i λ，求出齐次线性方程组()θλ=-X A E i 的一个基础解系t ηηη,,,21 ，这是属于i λ的线性无关的特征向量.于是，A 的属于的全部特征向量是t t c c c ηηη+++ 2211，其中t c c c ,,,21 是不全为零的任意一组数.例 求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2521A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式 ()()432521+-=+---=-λλλλλA E所以A 的特征值是4,321-==λλ.对于31=λ，解齐次线性方程组()θ=-X A E 3，即 ⎩⎨⎧=+-=-.055,0222121x x x x 得一个基础解系 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α， 所以属于3的全部特征向量是11αc （1c 是任意非零常数）.对于42-=λ，解齐次线性方程组()θ=--X A E 4，即⎩⎨⎧=--=--.025,0252121x x x x得一个基础解系 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=522α，所以属于-4的全部特征向量是22αc . 3.2 乘幂法求特征值与特征向量乘幂法是计算矩阵的按模最大值特征值及相应特征向量的方法，若辅以相应的收缩技巧，则可以逐次计算出该矩阵的按模由大到小得全部特征值及相应的特征向量.方法描述设n n R A ⨯∈为单构阵（仅有两个互异正特征根的矩阵），其特征值),,2,1(n i i =λ按模的下降次序排列为n λλλ≥≥> 21（2.1）相应的n 个线性无关特征向量是n x x x ,,,21乘幂法的基本思想是任取一非零向量n R z ∈0，通过逐次左乘以矩阵A 构造出一向量序列： ,3,2,1,1==-k Az z k k （2.2）由假设 ∑==ni i i x z 10α ，（2.3），其中R n ∈≠αααα,,,,0211 （有时由于0z 任选，有可能使01=α，但由于计算有舍入误差，计算若干步后会使得k z 在1x 方向上的分量不为零，故不妨一开始就设01≠α）此时（2.2）又可写为∑∑==+===n i i kn i i i k i k i i k k x x x z A z 1211110))((λλααλλα （2.4） 由于n λλλ≥≥> 21，若记∑==n i i k i i k x 21)(λλαε，则立即知θε→k （零向量）()∞→k ，则按方向收敛于1x .另外，若记k z 的第i 个分量()i k z ，则有()()()()()()i k i i k i i k i k x x z z εαεαλ++=++1111111 故当∞→k 时，()()11λ→+i k i k z z（2.5） 于是可以将乘幂法的基本原理总结如下：任取初始向量n R z ∈0，若A 的特征值分布满足n λλλ≥≥> 21，相应的特征向量形成完备特征向量系，则序列0z A k 按方向收敛于1x .相邻两次迭代向量1+k z 与k z 的对应向量的比值收敛于1λ.现在考察（2.4），当11>λ时，0z A k 的分量的模会随着k 的增大而无限变大，而当11<λ时，0z A k 的分量的模会随着k 的增大而无限变小，为防止这两种情况对实际计算的影响，即防止实际计算中出现上溢与下溢现象.计算中应适当规范化，于是有实际计算中使用的乘幂法：(1)任取规范化初始向量0z ，（即0z 的模最大的分量()0max z 为1，以后不再说明）.(2)1-=k k Az y (3)()k k y m max = (4)kkk m y z =关于乘幂法（2.6），我们有定理4.8 设n n R A ⨯∈有完备特征向量系，特征值分布满足（2.1）：n λλλ≥≥> 21，则对任取的规范化初始向量0z ，按迭代格式（2.6）构造的序列k z 和k m 分别收敛于()11max x x 和1λ.例 用乘幂法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20101350144A 的按模最大特征值和相应的特征向量.解： 取迭代初始向量为T x )1,1,1()0(=，按格式（2.6）计算，结果列表如下：由上表，得A 的按模最大特征值为-5，相应的特征向量为()T1,1,0.3.3雅克比法求特征值与特征向量雅克比 ()Jacobi 方法是求实对称矩阵全部特征值及对应的特征向量的方法.它也是一种迭代法，其基本思想是把对称矩阵A 经一系列正交相似变换约化为一个近似对角阵，从而该对角阵的对角元就是A 的近似特征值，由各个正交变换阵的乘积可得对应的特征向量.考虑n 阶矩阵的情况：设矩阵n n R A ⨯∈是对称矩阵，记A A =0，对A 作一系列旋转相似变换，即),2,1(1 ==-k P A P A Tk k k k其中() ,2,1=k A k 仍是对称矩阵，k P 的形式)()()()(k ij k ij k jjk ii P P P P -==也就是 θθsin ,cos )()()()(-=-===k qp k pq k qq k pp p p p pq p j i p p k ij k ii ,,01)()(≠==对任何角θ，可以验证：k P 是一个正交阵，我们称它是()j i ,平面上的旋转矩阵，相应地把变换（2.16）称为旋转变换；k P 和Ｉ仅在()i i ,、()j j ,、()j i ,和()i j ,上不同，1-k k A P 只改变1-k A 的第p 行，第q 行的元素，k k k P A P 1-只改变A 的第p 行、q 行、p 列、q 列的元素；k A 和1-k A 的元素仅在第p 行（列）和第q 行（列）不同，它们之间有如下的关系：qp i a a a a a a a a k qi k iq k ip k iq k pi k iq k ip k ip ,cos sin sin cos )()1()1()()()1()1()(≠⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+=----θθθθ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=+-=++=---------)sin (cos cos sin cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 22)1()1()1()(2)1()1(2)1()(2)1()1(2)1()(θθθθθθθθθθθθk pq k qq k pp k pq k qq k pq k pp k qq k qq k pq k pp k pp a a a a a a a a a a a a 我们选取k P ，使得0)(=k pq a ，因此需使θ满足)1()1()1(22tan ----=k qqk ppk pqaaa θ常将θ 限制在下列范围内44πθπ≤≤-如果0)1()1(=---k qq k ppa a ，当0)1(>-k pq a 时，取4πθ=；当0)1(<-k pq a 时，取4πθ-=实际上不需要计算θ，而直接从三角函数关系式计算θsin 和θcos ，记()⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=-=-----)1()1()1()1()1(2sgn k ijk jj k ii k jik ii a a a x a a y 则yx =θ2tan 当4πθ≤时，有下面三角恒等式：22222tan 112cos 1cos 2yx y +=+==-θθθ于是2221cos 2y x y ++=θθcos 始终取正值，关于θ2sin 的计算有几种方法，最简单的一种是利用公式θθ22cos 1sin -=，这个方程有一个缺点，当θ2cos 接近于1时，θ2cos 1-的有效位数就不多了，为避免这个缺点，采用下面公式计算θsin222cos 2tan cos sin 22sin y x x +=⋅==θθθθθ由于k A 的对称性，实际上只要计算k A 的上三角元素，而下三角元素由对称性获得，这样即节省了计算量，又能保证k A 是严格对称的。
