上海自招数学专题08 方程与不等式应用题(原卷版)

中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ﹣y ＞0D ．x +y ＞02．如果1x -大于0，那么x 的取值范围是（ ） A ．1x >B ．1x <C ．0x <D ．0x >3．一元一次不等式x +1＜2的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．4．不等式﹣3x≤9的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．用配方法解方程22990x x --=，配方后得（ ） A ．2(1)99x -=B ．2(1)100x +=C ．2(1)98x -=D ．2(1)100x -=6．若关于x 的分式方程43233m xx x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．一项工程，A 独做10天完成，B 独做15天完成，若A 先做5天，再A 、B 合做，完成全部工程的23，共需（ ） A ．8天B ．7天C ．6天D ．5天8．若关于x 的方程534x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k 的和为（ ） A ．20B ．6C ．4D ．29．不等式组372378x x -≥⎧⎨-<⎩的所有整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ） A ．如果a b =，那么23a b +=+ B ．如果a b =，那么23a b -=- C ．如果2a a =，那么1a =D ．如果a bc c=，那么a b = 11．下列是一元一次方程的是（ ） A ．231x y +=B ．20x -=C ．3x +D ．11x= 12．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出的方程正确的是( ) A ．30252=+x x B ．30252=+x x C ．30252=-x x D ．30252=-x x13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同. 设2，3月份利润的月增长率为x ，那么x 满足的方程为( ) A ．B ．C ．D ．14．如图所示两个天平都平衡，则3个球体的质量等于（ ）个正方体的质量，括号内应填A ．2B ．3C ．4D ．515．若﹣3＜a ≤3，则关于x 的方程x ＋a ＝2解的取值范围为（ ） A ．﹣1≤x ＜5B ．﹣1＜x ≤1C ．﹣1≤x ＜1D ．﹣1＜x ≤516．下列变形中，正确的是（ ） A ．若a b =，则11a b +=-B ．若32a b =，则a b =C ．若2a b -=，则2a b =-D ．若44b a -=-，则a b =17．在2019年女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则根据以上信息所列方程正确的是（ ）A ．3x+2x ＝32B ．3（11﹣x ）+3（11﹣x ）+2x ＝32C ．3（11﹣x ）+2x ＝32D ．3x+2（11﹣x ）＝3218．三元一次方程组10318x y z x y x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩的解是（ ）A ．532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．352x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．542x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ．431x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩19．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A ．3瓶B ．4瓶C ．5瓶D ．6瓶20．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）A ．1316小时B ．1312小时C ．1416小时D ．1412小时二、填空题21．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为____克． 22．如果方程23252x x -+=-的解与方程72x b -=的解相同，则b =________. 23．由4x ﹣3y +6=0，可以得到用y 表示x 的式子为x =__．24．已知不等式组212(1)43x x x+>⎧⎨-+>⎩，请写出一个该不等式组的整数解___________．25．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是_____．26．若关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，则k 的取值范围是______．27．当a ＝_____时，分式32a a +-的值为－4． 28．三角形的三边长分别为7，1+2x ，13，则x 的取值范围是___ 29．25y x +=用含x 的式子表示y 为________________________．30．若关于x ，y 的二元一次方程组2630x my x y -=⎧⎨-=⎩的解是正整数，则整数m =_______．31．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的8折出售将赚55元，则成本价为______元．32．已知A ∠与的B ∠两边分别平行，且A ∠比B ∠的3倍少20°，则A ∠的大小是__________．33．已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩， （1）代数式224x y +的值是_____． （2）代数式112x y+的值是______．34．已知关于x ，y 的方程组225,234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩的解满足1x <，2y <，则m 的取值范围为______．35．已知关于x ，y 的不等式组100x x a ->⎧⎨-⎩有以下说法：①若它的解集是1＜x ≤4，则a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①若它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5；①若它有解，则a ≥2．其中所有正确说法的序号是_____．36．若关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k 的取值范围为__．37．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______．38．如果关于x 的方程x2+2ax ﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a 与b 互为倒数，那么a +b=_____．39．某车间 56 名工人，每人每天能生产螺栓 16 个或螺母 24 个，设有 x 名工人生产螺栓， 有 y 名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按 1：2 配套，所列方程组是________. 40．若分式方程2211x m x x x x x+-=++有增根，则m 的值是______.三、解答题 41．解下列方程： （1）3x +7＝32﹣2x ； （2）121224x x +--=+． 42．解方程：242111x x x++=---． 43．解方程组：（1）32528x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）234347x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩．44．某商场进货员预测某商品能畅销市场，就用8万元购进该商品，上市后果然供不应求．商场又用17.6万购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但进货的单价贵了4元，商场销售该商品时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商场共盈利多少元？ 45．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0， （1）两根相等； （2）有一根为0． 46．解方程组或不等式组：（1）20346x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 47．已知一个四位自然数N ，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N 的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到N '，规定()101N N F N '+=． 例如：4536N =，①4536+=+，①4536是“和对称数”，()45365463453699101F +==．2346N =，①2346+≠+，①2346不是“和对称数”．(1)请判断2451、3972是不是“和对称数”，并说明理由．若是，请求出对应的()F N 的值．(2)已知A ，B 均为“和对称数”，其中100010746A a b =++，1002026B m n =++（其38a ≤≤，05b ≤≤，29m ≤≤，512n ≤≤，且均为整数），令()()32k F A F B =+，当k能被77整除时，求出所有符合条件的A 的值． 48．解决以下问题:(1)221x y ±++，的算术平方根是5，求2318x y -+的立方根； (2)的值互为相反数,求a b c 、、的值. 49．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A 品牌足球共花费2880元，B 品牌足球共花费2400元，且购买A 品牌足球数量是B 品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A 品牌比B 品牌便宜12元． (1)求去年A ，B 两种足球的售价；(2)今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A ，B 两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A 品牌比去年提高了5%，B 品牌比去年降低了10%，如果今年购买A ，B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B 品牌足球?50．某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A 和B 两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A 型货车的总费用500元，B 型货车的总费用480元，每辆B型货车的运费是每辆A型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A型货车和B型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A型车和7辆B型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和B型车货各运多少吨？参考答案：1．D【分析】利用不等式的性质由已知条件可得到x+y＞0，从而得到正确选项．【详解】①3x＞﹣3y，①3x+3y＞0，①x+y＞0．故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．Ax->，即可求得x的取值范围．【分析】1x-大于0即10【详解】根据题意得：x->10x>解得：1故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，把判断一个式子的值的取值范围的问题掌握不等式的问题，这是解本题的关键．3．B【分析】求出不等式的解集，表示出数轴上即可．【详解】解：不等式x+1＜2，解得：x＜1，如图所示：故选B．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．A【详解】试题分析：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想．也考查了解一元一次不等式．先解不等式得到x≥﹣3，在数轴上表示为﹣3的右侧部分且含﹣3，这样易得到正确选项. 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 5．D【分析】把常数项-99移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x 2-2x -99=0的常数项移到等号的右边，得到x 2-2x =99 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2-2x +1=100 配方得（x -1）2=100． 故选D ．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．D【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：①分式方程43233m xx x +=+--有增根， ①3x =，去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 7．C【分析】此题是工程问题，它的等量关系是A 独做的加上A 、B 合做的是总工程的23，此题可以分段考虑，A 独做了5天，合作了（x -5）天，利用等量关系列方程即可解得． 【详解】设共需x 天． 根据题意得：5112(5)()1010153x +-+= 解得：x =6． 故选C ．8．A【分析】先解方程可得75x k=-，再根据关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数，可得51k -=±或57k -=±，从而可得答案． 【详解】解：①534x kx -=+， ①57x kx -=，即()57k x -=， 当50k -≠时， ①75x k=-， ①关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数， ①51k -=±或57k -=±，解得：4k =或6k =或2k =-或12k =， ①()4621220++-+=，①满足条件的所有整数k 的和为20. 故选A ．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 9．B【分析】解不等式组，得到关于x 的解集，再找出符合x 取值范围的整数解即可． 【详解】解：解不等式3x −7≥2得：x ≥3， 解不等式3x −7＜8得：x ＜5， 即不等式组的解集为：3≤x ＜5，符合3≤x ＜5的x 的整数解为：3，4共2个， 故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法． 10．D【分析】根据等式的基本性质进行分析判断即可．【详解】解：A 选项中，“如果a b =，那么23a b +=+”是不成立的，故不能选A ； B 选项中，“如果a b =，那么23a b -=-”是不成立的，故不能选B ；C选项中，“如果2a a=，那么1a=”不一定成立，因为a的值可能为0，故不能选C；D选项中，“如果a bc c=，那么a b=”成立，故选D.故选：D.【点睛】本题考查等式的基本性质，熟记“等式的基本性质：（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式”是解答本题的关键．11．B【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；B、是一元一次方程，故本选项正确；C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误；D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．12．C【详解】解：设甲每小时骑行x公里，根据题意得：30252=-x x.故选C．13．D【详解】试题分析：一月份获利10万元，二月份获利10(1+x)万元，三月份获利10万元，然后根据一季度的总获利得出方程.考点：一元二次方程的应用14．D【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：由图可知，2个球体的质量=5个圆柱的质量，2个正方体的质量=3个圆柱的质量，①6个球体的质量=15个圆柱的质量，10个正方体的质量=15个圆柱的质量，①6个球体的质量=10个正方体的质量，①3个球体的质量=5个正方体的质量，故选D ．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 15．A【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a ≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x ＋a ＝2，得：x ＝2-a ，①﹣3＜a ≤3，①﹣1≤2-a ＜5，即：﹣1≤x ＜5，故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a 的代数式表示x ，是解题的关键．16．D【分析】根据等式的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，若a b =，则111a b b +=+>-，故A 选项错误不符合题意；若32a b =，则23a b =，故B 选项错误不符合题意； 若2a b -=，则2a b =+，故C 选项错误不符合题意；若44b a -=-，则a b =，故D 选项正确符合题意；故选D ．【点睛】本题考查等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数等式性质不变，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式性质不变．17．C【分析】设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x ）场，根据总积分＝3×小比分获胜的场次数+2×大比分获胜场次数，即可得出关于x 的一元一次方程．【详解】解：设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，依题意，得：2x+3（11﹣x）＝32．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键. 18．A【分析】由①代入①、①消去x，解二元一次方程组得出y、z的数值，再进一步求得x的数值解决问题．【详解】10318x y zx yx y z++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩①②③，把①代入①得：y+z=5①，把①代入①得：4y+3z=18①，①×4–①得：z=2，把z=2代入①得：y=3，把y=3，z=2代入①得：x=5，则方程组的解为532xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选A．【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，注意逐步消元是解决问题的关键．19．C【详解】试题分析：因为15÷4=3余3空瓶，所以可换3瓶喝完，还剩3+3=6空瓶，拿出4空瓶换一瓶，还剩3个空瓶子，找人借一个瓶子凑齐四个喝完还剩一个再把这个瓶子还给那个人，故最多可以喝五瓶矿泉水．故选C．考点：命题．20．C【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则5x x -解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根，且符合题意．①x =20是所列方程的解．①x -5=15．①甲的工作效率是120，乙的工作效率是115， 则丙的工作效率是110． ①一轮的工作量为：1111320151060++=． ①4轮后剩余的工作量为：52216015-=． ①还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：211115201560--=． ①丙还需要工作16小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+16＝14 16小时． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21．2【分析】根据题意直接列一元一次不等式，并求解即可．【详解】解：设蛋白质的含量至少应为x 克，依题意得：0.4%500x ≥， 解得x ≥2，则蛋白质的含量至少应为2克．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 22．7 【分析】先解方程23252x x -+=-，得97x =，因为这个解也是方程72x b -=的解，根据方程的解的定义，把x 代入方程72x b -=中求出b 的值． 【详解】解：由23252x x -+=-，得2420(515),x x -=-+7所以可得97277b =⨯-= 故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元一次方程和方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．23．364y - 【详解】方程4x −3y +6=0，解得：x =364y -， 故答案为364y -． 24．0##1【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可得到答案．【详解】()212143x x x +>⎧⎪⎨-+>⎪⎩①② 解不等式①得：1x >-；解不等式①得：2x <；所以不等式组的解集为：12x -<<；则其整数解为0与1．故答案为：0（或1）．【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，正确并熟练地解一元一次不等式是解题的关键．25．m≤14【分析】一元二次方程有实数根，则①≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：由题意知，①＝1﹣4m≥0， ①m≤14， 故答案为m≤14． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，①≥0． 26．1k ≠【分析】根据一元二次方程的定义列式计算即可得解．【详解】①关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，①10k -≠，①1k ≠，故答案为：1k ≠．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．27．1【分析】根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：由题意得：342a a +=--， 去分母得，()342a a +=-- ,解得，1a =，经检验1a =是分式方程的解，故答案为：1【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．28．3＜x ＜6【详解】试题分析：根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得13-7＜ 1+2x ＜20，解得3＜x ＜6 .考点：三角形三边之间的关系点评：该题考查了三角形三边之间的关系，已知三角形的两边长，可以求第三边的范围，即两边之差＜第三边长＜两边之和.29．y=-2x+5【分析】把x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：方程y+2x=5，解得：y=-2x+5．故答案为：y=-2x+5．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．30．0，3，4，5【分析】先解方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．【详解】解：2630x myx y-=⎧⎨-=⎩①②由①得：x＝3y ①，把①代入①得：6y−my＝6，①y＝66-m，①x＝186-m，①方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩的解是正整数，①6−m＞0，①m＜6，并且66-m和186-m是正整数，m是整数，①m的值为：0，3，4，5．故答案是：0，3，4，5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．31．185【分析】设每件服装标价为x元，再根据无论亏本或盈利，其成本价相同，列出方程，求出x的解，最后根据成本价=服装标价×折扣，即可得出答案．【详解】解：设每件服装标价为x元，根据题意得：0.5x+35=0.8x-55，解得：x=300．则每件服装标价为300元，成本价是：300×50%+35=185（元），故答案为：185．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．32．10°或130°【分析】根据A ∠与B ∠两边分别平行，由A ∠比B ∠的3倍少20°列方程求解即可得到答案．【详解】①A ∠比B ∠的3倍少20°，①A ∠=3B ∠- 20°，①A ∠与B ∠两边分别平行，①①A 与①B 相等或互补，①当A ∠=B ∠时，得到①A =3①A - 20°，①①A =10°；①当①A +①B =180°时，得到①A =3(180°-①A )-20°，①①A =130°，故答案为：10°或130°．【点睛】此题考查平行线的性质，解一元一次方程，能正确理解两边分别平行的两个角的关系是解题的关键．33． 17 54± 【分析】（1）令224n x y m xy +==，，将原方程组可化为关于m 、n 的二元一次方程组，进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出25x y +=±，再将112x y+通分进行计算即可． 【详解】（1）令224n x y m xy +==，，原方程组可化为3247236m n m n -=⎧⎨+=⎩， 解得172m n =⎧⎨=⎩， 即221724x y xy +==，，故答案为：17；（2）222(2)4178254x y x y xy +=+=+=+，25x y ∴+=±1125224x y x y xy +±∴+==，故答案为：54±． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，完全平方公式的变形，异分母分式相加等，熟练掌握知识点并运用整体代入法是解题的关键．34．823m -<< 【分析】先解出方程组的解，再根据解的情况列出关于m 的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：225234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩①② ①+①得：x =-1-m ，将x =-1-m 代入①中，得：y =342m -， ①该方程组的解满足1x <，2y <， ①113422m m --<⎧⎪⎨-<⎪⎩， 解得：823m -<<． 故答案为：823m -<<． 【点睛】本题考查解二元一次方程组的应用、解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法，正确解出x 、y 值是解答的关键．35．①①①【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．【详解】解：解不等式x ﹣1＞0得，x ＞1；解不等式x ﹣a ≤0得，x ≤a ，故不等式组的解集为：1＜x ≤a ．①①它的解集是1＜x ≤4，①a ＝4，故本小题正确；①①a ＝1，x ＞1，①不等式组无解，故本小题正确；①①它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5，①4≤a ＜5，故本小题正确；①①它有解，①a ＞1，故本小题错误．故答案为：①①①．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键. 36．13k <<【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k 的不等式组，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：解方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩得：13x k y k=-⎧⎨=-⎩， 关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数， ∴1030k k ->⎧⎨->⎩， 解得：13k <<，故答案为：13k <<．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k 的不等式组是解此题的关键．37．22x -≤<【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：23113x x -<⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x ＜2，解不等式①得，x ≥-2所以，不等式组的解集为：22x -≤<故答案为：22x -≤<．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）．38．±2．【分析】根据根的判别式求出△=0，求出a 2+b 2=2，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：①关于x 的方程x 2+2ax-b 2+2=0有两个相等的实数根，①①=（2a ）2-4×1×（-b 2+2）=0，即a 2+b 2=2，①常数a 与b 互为倒数，①ab=1，①（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=2+2×1=4，①a+b=±2，故答案为±2．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 2+b 2=2和ab=1是解此题的关键．39．5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【分析】此题中的等量关系有：①生产螺栓人数+生产螺母人数=56人；①每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，那么螺栓要想与螺母的数量配套，则螺栓数量的2倍=螺母数量．【详解】解：根据生产螺栓人数+生产螺母人数=56人，得方程x+y=56；根据螺栓数量的2倍=螺母数量，得方程2×16x=24y ．列方程组为：5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩故答案为5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．40．1-或2【分析】根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，先把分式方程去分母化为整式方程，再通过使最简公分母不为0确定增根的可能值，将其代入整式方程即可算出m 的值.【详解】解：①2211x m x x x x x+-=++， ①()2221x m x -=+，①221m x x =--. ①2211x m x x x x x+-=++有增根， ①0x =或=1x -.当0x =时，2211m x x =--=-；当=1x -时，2212m x x =--=.①m 的值为1-或2.故答案为：1-或2【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 41．（1）x ＝5；（2）x ＝4．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可;（2）去分母，然后移项，合并同类项，系数化成1即可.【详解】解：（1）移项合并得：5x ＝25，解得：x ＝5；（2）去分母得：2x +2﹣4＝8+2﹣x ，移项合并得：3x ＝12，解得：x ＝4．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键.42．13x = 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：242111x x x ++=--- 整理，得：421(1)(1)1x x x x +-=-+-- 方程两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得4﹣（x +1）（x +2）=﹣（x 2﹣1），整理，得，3x =1， 解得1x=3． 经检验，1x=3是原方程的根．①原方程的解是1x=3．【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程，结果要检验.43．（1）32x y =⎧⎨=-⎩；（2）34x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可．（2）去分母后，加减法消元解方程.【详解】解：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得，4x﹣2y＝16①，①+①得，7x＝21，解得x＝3，把x＝3代入①得，2×3﹣y＝8，解得y＝﹣2，所以，方程组的解是32xy=⎧⎨=-⎩；（2）方程组可化为4324347x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，①×4得，16x+12y＝96①，①×3得，9x﹣12y＝﹣21①，①+①得，25x＝75，解得x＝3，把x＝3代入①得，3×3﹣4y＝﹣7，解得y＝4，所以，方程组的解是34xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．44．在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【分析】盈利=总售价-总进价，应求出某商品的数量．总价明显，一定是根据单价来列等量关系．本题的关键描述语是：“单价贵了4元”；等量关系为：第一次的单价=第二次的单价-4．【详解】设商场第一次购进某商品x件，则第二次购进某商品2x件，根据题意得：8000017600042x x-＝．160000=176000-8x解这个方程得：x=2000．经检验：x=2000是原方程的根．商场利润：（2000+4000-150）×58+58×0.8×150-80000-176000=90260（元）．答：在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．45．（1）k＝10；（2）k＝1．【分析】（1）方程由两个相等的根，则△＝0；（2）有一个根是0，则两根之积为0．【详解】解：（1）△＝36﹣4（k-1）＝40-4k，①两根相等，①①＝0，即k＝10；（2）①有一根为0，①0∆≥，即10k≤，由根与系数的关系可得，k﹣1＝0，①k＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键．一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．46．（1）63xy=⎧⎨=-⎩；（2）13x-≤<【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】（1）解：20 346 x yx y+=⎧⎨+=⎩①②方程①可化为2x y=-①把①代入①，得解得y=-3把y=-3代入①，得x=()236-⨯-=所以原方程组的解为：63x y =⎧⎨=-⎩（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得1x ≥-解不等式①得3x <所以不等式组的解集为13x -≤<将其在数轴上表示如下：【点睛】本题两个小题分别考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，根据相关题目要求按步骤求解是解题的关键47．(1)3972不是“和对称数”，2451是“和对称数”，理由见解析，()F N 值为66(2)A 的值为3746，4756，6776，5766，7786，8796【分析】（1）根据“和对称数”的定义，即可求解；（2）根据题意分别表示出()(),F A F B ，再由()()32k F A F B =+，k 能被77整除，并结合a ，m 的取值范围进行分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：3972不是“和对称数”，①3924+≠，①3972不是“和对称数”．2451是“和对称数”，①2451+=+，。

自主招生数学全真模拟试卷(八)一．填空题1.若质数p 、q 满足25360p q --=，则样本p 、q 、9、16的中位数是_______2.在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB=7，AC=8，则BC=_______.3.已知a 、b 、c 、d 满足22(29),(29)a c d b c d =+=-，则d 的值为_______.4.设n 为正整数，且3n +1、5n -1均为完全平方数，给出以下两个命题：①7n +13必为合数；②8(17n 2+3n )必为两个完全平方数的和.其中正确的是______(填序号)5.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高，△ABC 的三边长a 、b 、c 均为正整数，BD=27，则cosB=_______.6.在△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高AD 与高BE 相交于点H ，若AB=1，则四边形CDHE 的面积为________.7.已知平面内点P 到等边△ABC 的三边所在直线l 1、l 2、l 3的距离为6、9、12，则△ABC 的边长的可能值有_______个.8.已知Rt △ABC 和Rt △ADC 有公共的斜边AC ，M 、N 分别为边AC 、BD 的中点，若∠BAC=30°，∠CAD=45°，MN=1，则AC 的长为________.二．解答题9.正三角形ABC 中有一点P ，满足AP=3，BP=4，CP=5，求三角形ABC 的面积.10.已知抛物线与y 轴交于点P ，与x 轴交于不同点A 、B ，且，求所有b 的可能值的乘积.11.已知a 、b 、c 、d 均为实数，且a+b+c+d =4,a+b+c+d =,求a 的最大值.12.有一块三角形的活动场地，边AB=20，B=60，C=75，AD 是一条石灰线且AD ⊥BC 于点D ，悠悠从点D 出发，经过边AB 上一点及AC 上一点，最后回到D 处，求悠悠走的最短路程.参考答案1.由03652=--q p 得155155)6)(6(⨯=⨯=⨯==-+q q q q p p ，故有；q p p =-=+6,56；56,6=-=+p q p ；q p p 56,16=-=+；16,56=-=+p q p 解得(p,q )=(-1,-7)(舍去)，(11,17)、(-5,511-)(舍去)、(7，513)(舍去)，故样本为11、17、9、16，其中位数是13.52.如下图延长CA 至点D ，使AD=AB ，连接BD ，BCD 为等腰三角形，作BECD 于点E ，DE=CE=215，故AE=21，得BC=1053.设(a,b )=d′,a=d′a 1,b=d′b 1,(a 1,b 1)=1,已知条件中的两式相除得292922-+=d d b a 则29292121-+=d d b a 设d +29=t a 21,d -29=t b 21即有58))((1111=-+t b a b a ，)()(1111b a b a -+、同奇偶知t=2,2911=+b a ,111=-b a ,故a 1=15,b 1=14,d =4214.设,132a n =+215b n =-(a 、b 为正整数)则7n+13=9(3n+1)-4(5n-1)=)23)(23()2()3(22b a b a b a -+=-，故3a-2b 为正整数.若3a-2b=1,则27n+9=22)12()3(+=b a ，即)2(4272-+=b b n ，故4|n ，不妨设n=4k,则5n-1=20k-1不为平方数，矛盾.因此3a-2b ≥2；故7n+13为合数，结论①正确；又2222)()2(]15)13(4][15)13[()317(8ab b a n n n n n n ++=-++-++=+,故结论②正确；故正确的序号为①②5.设d c a =),(不妨设,,00d c c d a a ==其中1),(00=c a ,由射影定理知BC 2=BD ·BA ，即c a 272=，从而有c da 2720=，即有02027c da =，所以27|20a ，解得a 0=1或3若a 0=1，则12022-=-=c d a c b 不是正整数，矛盾.若a 0=3，则92022-=-=c d a c b ，设2209e c =-所以)4,5(),(0=e c ,所以cosB=536.因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，故∠ACB=75°，△ABC 是锐角三角形，高AD 与BE 的垂足分别在BC 、AC 上，易知AE=BE=22，BD=21，AD=23，同时△AEH ≌△BEC 得AEH BCE S S ∆∆=，8341S S S S S ABD ABE BDH AEH CDHE -=-=-=∆∆∆∆7.设正△ABC 的高为h ，点P 到△ABC 三边的距离分别为h 1、h 2、h 3，如图，当P 在I 中时，h=h 1+h 2+h 3=27；当P 在Ⅱ中时，h=h 1+h 2-h 3，有3种可能值；当P 在Ⅲ中时，h=h 1-h 2-h 3<0，无可能值.因此，这样的△ABC 有4个不同边长.8.分两种情形：(1)当点B 、D 位于直线AC 的同侧时，如图①，连接DM 、BM ，则MD=MB=AC,DM ⊥AC ；从而△BCM 是等边三角形，故∠DMB=∠DMC-∠BMC=30°；在△DMB 中，根据三线合一得MN ⊥BD ，∠BMN=∠DMB=15°，由2cos15°-1=426+,得cos15°=,故AC=)26(2-(2)当点B 、D 位于直线AC 的两侧时，如图②，有∠DMD=∠BMC+∠DMC=150°，则AC=)26(2+综上，AC=)26(2-或)26(2+9.如图，以AP 为边向外作等边△APP′，连接BP′，易知△ABP′≌△ACP ，易知P′B=5，P′P=3，故∠BPP′=90°，而∠APP′=60°，故∠APB=150°；过点B 作BE ⊥AP 于点E ，得BE=2，PE=23，AB 2=25+123，故S △ABC =94325+10.①当A 、B 均在y 轴左侧时，因为a>0,△>0,所以点P 在x 轴上方，设A(-k,0)B(-2k,0)P(0,3k)将三点代入c bx ax y ++=2得b=29.②当A 、B 均在y 轴右侧时，同理得b=29-③当A 、B 在y 轴异侧时(注意2|OB ||OA |=时，点P 在x 轴下方),仿照①②分别得b=23或b=-23，从而乘积为1672911.构造函数)()(232222d c b x d c b x y +++++-=因0)()()(222≥-+-+-=d x c x b x y 且图像是开口向上的抛物线，则0)(12)(42222≤++-++=∆d c b d c b 即0)316(3)4(22≤---a a 解得20≤≤a ，故a 的最大值是2.12.如图作点D 关于AB 的对称点D 1，关于AC 的对称点D 2，连接D 1D 2分别交AB 、AC 于点E 、F ，则DE+EF+DF 就是悠悠走的最短路程.理由如下：在AB 上任取一点E′,在AC 上任取一点F′，连接DE′、E′F′、F′D 、E′D 1、F′D 2、AD 1、AD 2，易知E′D=E′D 1，ED=ED 1，F′D=F′D 2，FD=FD 2，故DE+EF+FD=D 1E+EF+FD 2=D 1D 2由两点之间线段最短可知D 1D 2≤DE′+E′F′+F′D 2，DE+EF+FD=D 1E′+E′F′+F′D 2当E 与E 重合且F 与F 重合时取等号，所以DE+EF+FD ≤DE′+E′F′+F′D ，因此DE+EF+FD 就是最短路程.AD=10，D 1D 2=106，故最短路程为106.。

专题08 数学归纳法与极限专题点拨1．数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并利用假设证明当n＝k＋1时命题也成立，这两步缺一不可，要完整地书写．用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题等．2．数列的极限的四则运算，特别是掌握只有在数列{a n}和{b n}的极限存在的条件下，才有四则运算，且数列运算性质是针对有限项数列运算的性质，不能推广至无限项．数列的三个基本极限：lim n→∞c＝c，lim 1n＝0，limn→∞q n＝0(|q|＜1)，它们是极限运算的基础，但是要区别，如果q是收敛的等比数列的公比时，0＜|q|＜1.计算数列极限的类型也有两种：一是根式型；二是分式型，它们都有自己的运算特点．无穷等比数列各项和的公式S＝a11－q，可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时关键是找出等比数列的首项和公比，然后代入公式计算．真题赏析1．(2016·上海)已知无穷等比数列的公比为q，前n项和为S n，且S n＝S.下列条件中，使得2S n<S(n∈N*)恒成立的是( )A．a1>0, 0.6<q<0.7B．a1<0, －0.7<q<－0.6C．a1>0, 0.7<q<0.8D．a1<0, －0.8<q<－0.72．(2016·上海)对于无穷数列{a n}与{b n}，记A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝b n，d∈N*，n∈N*}，若同时满足条件：∈{a n}，{b n}均单调递增；∈A∩B＝∈且A∈B＝N*，则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．(1)若a n＝2n－1，b n＝4n－2，判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列，并说明理由；(2)若a n＝2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列，求数列{b n}的前16项的和；(3)若{a n}与{b n}是无穷互补数列，{a n}为等差数列且a16＝36，求{a n}与{b n}的通项公式．例题剖析【例1】已知数列{}n a 满足：*211007(1)2018(1)()n n n na n a n a n N ++=-++∈，且11a =，22a =，若1limn n na A a +→∞=，则A = ．【例2】在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋯⋯+=，则1a 的取值范围是【例3】观察下列式子：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …根据上述规律，第n 个不等式应该为________．【变式训练】数列{2n －1}的前n 项1，3，7，…，2n －1组成集合A n ＝{}1，3，7，2n －1(n ∈N *)，从集合A n 中任取k (k ＝1，2，3，…，n )个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k (若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记S n ＝T 1＋T 2＋…＋T n ，例如当n ＝1时，A 1＝{1}，T 1＝1，S 1＝1；当n ＝2时，A 2＝{1，3}，T 1＝1＋3，T 2＝1×3，S 2＝1＋3＋1×3＝7，试写出S n ＝________． 【例4】已知n 为正整数，试比较n 2与2n 的大小．【变式训练】已知f n (x )＝(1＋x )n ，n ∈N *.(1)若g (x )＝f 4(x )＋2f 5(x )＋3f 6(x )，求g (x )中含x 2项的系数；(2)若P n 是f n (x )展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列，且a 1a 2…a n (a n＋1－1)＝a n ＋1＋1，试用数学归纳法证明：P n (a 1a 2…a n ＋1)＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )．巩固训练一、填空题1.无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且20152016201723S S S +=，则无穷等比数列{}n a 的各项和为2.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n ==+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=g3.已知数列{}n a 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列，n S 是其前n 项和， 则2limnn nS a →∞= ．4.若二项式7(2)a x x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()nn a a a a →∞+++⋯+=5.若数列{}n a 的前n 项和2*321()n S n n n N =-++∈，则lim3nn a n→∞= ．二、选择题6.数列{}n a 满足()*,21,2n k n n k a k N a n k=-⎧=∈⎨=⎩，设()12212n n f n a a a a -=++++L ，则()()20132012f f -=( ) A. 20122B.20132C.20124D. 201347.设，，在中，正数的个数是( ) A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 三、解答题 8.是否存在常数，使等式对一切正整数成立？证明你的结论.25sin 1πn n a n =n n a a a S +++=Λ2110021,,,S S S Λ9.若和分别表示数列和前n 项的和，对任意正整数，，．(1)求数列的通项公式；(2)设有抛物线列，，…，，…抛物线()的对称轴平行于y 轴，顶点为，且通过点，求点且与抛物线相切的直线斜率为，求极限．10.(2019·浦东新区三模)已知数列{a n }满足a n+1=−a n 2+2a n ,n ∈N ∗,且0<a 1<1．(1)求证：0<a n <1；(2)令b n =lg(1−a n ),且a 1=910,试求无穷数列{1b n}的所有项和；(3)求证：n ∈N ∗,当n ≥2时,2(a 13+a 23+a 33+⋯+a n 3)−(a 12a 2+a 22a 3+⋯+a n−12a n +a n 2a 1)<n ．新题速递1．(2020•闵行区一模)计算：23lim 13(21)n n n →∞=++⋯+- ．2．(2020•奉贤区一模)计算：32lim21n n n →∞-=+ ．3．(2020•浦东新区一模)222lim 31n n n →∞=+ ．4．(2020•静安区一模)计算lim(10.9)n n →∞-= ．5．(2020•普陀区一模)132lim 31n nn n +→∞+=+ ．6．(2020•青浦区一模)已知数列{}n a 中，11a =，111(*)2n n n a a n N -+-=∈，则lim n n a →∞= ．7．(2020•杨浦区一模)已知数列{}n a 的通项公式为*1(2)()1()(3)2n n nn a n N n -⎧⎪=∈⎨⎪⎩„…，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞= ．8．(2020•松江区一模)在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞++⋯+=，则1a 的取值范围是 ．。

自主招生真题方程与方程组1（2014交附）方程组21731423142172x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为________．2（2014上中）设1p 、2p 、1q 、2q 为实数，则12122()p p q q =+，若方程甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定3（2014复附）如果关于x 的方程()221210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是________．4（2011华二）已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =________．5（2014复附）已知273a a =-，273b b =-，且a b ≠，则22b a a b +=________．6 (2014复附) 方程1122111x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为________．7（2104复附）已知x 、y 、z 为实数，且5x y z ++=，3xy yz zx ++=则z 的取值范围为________．8 (2014复附)设1232007,,,,x x x x 为实数，且满足 123200712320071232007123200620071x x x x x x x x x x x x x x x x x =-=-==-=， 则2000x 的值是 .9（2013上中）若方程()()k x x =--4122有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k =________．10（2013华二）对于满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ，令x y最大，则这个最大值为________．11（2011华二）关于x 、y的方程组1x y x y x y -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有________组解．12（2013复附）已知⎩⎨⎧=+=++661722xy y x y x xy ，求432234y xy y x y x x ++++的值。