高中数学必修五北师大版 正弦定理 课时作业(含答案)

9.1.1 正弦定理第1课时 正弦定理的概念1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为 ( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不确定2．在△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b，则A ＝( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶5∶6B ．6∶5∶2C ．6∶2∶5D ．不确定5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( ) A ．833B ．2393C ．2633D ．236．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝ .7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝ .8．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝ .9．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .10．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π6，b ＝2a cosB ．(1)求B；(2)若a＝2，求△ABC的面积．参考答案1．【答案】A【解析】∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .故选A.2．【答案】B【解析】因为b ＝30，c ＝15，C ＝26°，所以b >c >b sin C ，故此三角形有两解．故选B.3．【答案】B【解析】∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b， ∴cos A a ＝sin A a， ∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1.又0°<A <180°，∴A ＝45°.故选B.4．【答案】A【解析】由正弦定理，知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝2∶5∶6.故选A.5．【答案】B【解析】由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝13sin 60° ＝2393.故选B. 6．【答案】12【解析】∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，即1sin A ＝3sin π3. ∴sin A ＝12. 7．【答案】25【解析】由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A， 所以AB ＝sin C sin A·BC ＝2BC ＝2 5. 8．【答案】75°【解析】由正弦定理知a sin A ＝b sin B， 又a ＝14，b ＝76，B ＝60°，∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.9．解：A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A， 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝4(3＋1)． 10．解：(1)由正弦定理，得sin B ＝2sin A cos B ．∵cos B ≠0，即tan B ＝2sin A ＝1，∴B ＝π4. (2)由(1)知，在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )＝7π12. 由a ＝2，得b ＝2×2×cos π4＝2 2. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.。

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。

射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。

二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。

三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

同时，需要注意计算过程中的精度和单位。

学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。

例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。

根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。

在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第2章 1.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分)1．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝bC．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立D．在△ABC中，asin A＝b＋csin B＋sin C解析：由正弦定理知A、C、D正确，而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．答案： B2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为()A．3∶1∶1B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1解析：由已知得A＝120°，B＝C＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶1∶1.答案： D3．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由正弦定理：sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝2sin B cos C∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .答案： A4．不解三角形，确定下列判断中正确的是( )A ．a ＝4，b ＝5，A ＝30°，有一解B ．a ＝5，b ＝4，A ＝60°，有两解C ．a ＝3，b ＝2，B ＝120°，有一解D ．a ＝3，b ＝6，A ＝60°，无解解析： 对于A ，b sin A ＜a ＜b ，故有两解；对于B ，b ＜a ，故有一解；对于C ，B ＝120°且a ＞b ，故无解；对于D ，a ＜b sin A ，故无解．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析： cos C ＝13，∴sin C ＝223， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 答案： 2 36．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．解析： 由已知条件，lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ，∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理可得c 2＝a 2＋b 2.故三角形为直角三角形．答案： 直角三角形三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解析： cos B ＝2cos 2B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解析： ∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°，∴0°<A <120°，0°<C <120°且A ＝120°－C .∵a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴sin(120°－C )＋62＝2sin C ， 即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， ∴32sin C －32cos C ＝62， ∴sin(C －30°)＝22. ∵－30°<C －30°<90°，∴C －30°＝45°，∴C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝6＋24. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B . 解析： 由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得 cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32， cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝32， sin A sin C ＝34.又由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C ，故sin 2 B ＝34， sin B ＝32或sin B ＝－32(舍去)， 于是B ＝π3或B ＝2π3. 又由b 2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ，所以B ＝π3.。

§15 正余弦定理的应用时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223C ．－63 D.632．不解三角形，判断下列命题中正确的是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解3．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 为( ) A ．60° B．90° C ．120° D．150°5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则∠A ＝( )A ．30° B．60° C ．120° D．150°6．在△ABC 中，b ＝23，A ＝30°，则a 的取值范围是( ) A. [1，＋∞) B. [3，23] C. [3，＋∞) D. [1,3)二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是________．8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.9．在△ABC 中，已知∠A >∠B >∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，则c ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．11.在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，(1)求cos A的值；(2)求c的值．是否存在这样的三角形，三边是连续的三个偶数，且最大角是最小角的2倍？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由．一、选择题1．D 依题意得0°＜B ＜60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D. 2．B 选项A 中，a ＝b sin A ，只有一解；选项B 中A 为钝角且a ＞b ，故只有一解；选项C 中a ＜b sin A ，无解；选项D 中c sin B ＜b ＜c ，有两解．3．D 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理得4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4．C 由已知，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C .∴cos C ＝－12.∵∠C ∈(0°，180°)， ∴∠C ＝120°.5．A 根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2.即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．C a ＝23sin30°sin B ＝3sin B ≥ 3.(也可画图求解)二、填空题 7．垂直解析：两条直线的斜率分别是－sin A a ，bsin B .根据正弦定理，b sin A ＝a sin B ， 得－sin A a ·bsin B ＝1，即两条直线垂直．8.102解析：由tan A ＝13，得sin A ＝1010.由正弦定理得，AB sin C ＝BC sin A ，则AB ＝BC sin C sin A ＝102.9.165解析：由正弦定理sin2C a ＝sin C c ，cos C ＝a 2c ＝a 2＋42－c 28a ，把a ＝8－c 代入整理得5c 2－36c ＋64＝0，c ＝165或4(∵A >C ，∴a >c ，舍去4)．三、解答题10．由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ， ∴b ＝a ·ca，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．11．(1)由已知△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴3sin A ＝26sin2A ＝262sin A cos A ，cos A ＝63.(2)由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 即9＝(26)2＋c 2－2×26×c ×63即c 2－8c ＋15＝0，c ＝3或c ＝5.当c ＝3时，此时B ＝90°，A ＝C ＝45°，△ABC 为等腰直角三角形，但此时不满足a 2＋c 2＝b 2，故舍去，综上，c ＝5.12．存在符合题意的三角形．设此三角形三边分别n ，n ＋2，n ＋4，(n 为偶数)最小角为a .由正弦定理n sin a ＝n ＋4sin2a ，∴cos a ＝n ＋42n ，又由余弦定理cos a ＝n ＋22＋n ＋42－n 22n ＋2n ＋4，n ＋22＋n ＋42－n 22n ＋2n ＋4＝n ＋42n， 解得n ＝8，所以三边为8,10,12，可得三角形面积S ＝15 7.。