限时速解训练五 函数概念与性质 (建议用时40分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| 解析：选B.y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1和y＝2－|x|在(0，＋∞)上都是减函数，故选B. 2．若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴方程是( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 解析：选A.∵f(2x＋1)是偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1. 3．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e－x 解析：选D.因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝x为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
4．已知函数f(x)＝ 2x，x＜0，fx－1＋1，x≥0，则f(2 016)＝( ) A．2 014 B.4 0292 C．2 015 D.4 0352 解析：选D.利用函数解析式求解．f(2 016)＝f(2 015)＋1＝…＝f(0)＋2 016＝f(－1)＋2 017＝2－1＋2 017＝4 0352，故选D. 5．已知f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2＋3，则f(7)＝( ) A．－5 B．5 C．－101 D．101 解析：选A.f(x＋2)＝－f(x)，令x＝x＋2，有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，知函数的周期是4；再令x＝1，有f(3)＝－f(1)，而f(1)＝5，故f(7)＝f(3)＝－f(1)＝－5. 6．若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则实数a的取值范围是( ) A．(0,1) B．(1,3) C．(1,3] D．[3，＋∞) 解析：选B.因为函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则有a＞1且6－2a＞0，解得1＜a＜3，故选B.
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专题一函数与导数、不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程练习理一、选择题1.(2016·临沂模拟）下列函数中，既是奇函数，又在区间(－1，1）上单调递减的函数是( ）A.f（x）＝sin xB.f（x）＝2cos x＋1C.f（x)＝2x－1D.f(x)＝ln 1－x 1＋x解析由函数f(x)为奇函数排除B、C,又f（x)＝sin x在（－1,1）上单调递增，排除A，故选D.答案D2.（2015·湖南卷）设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x),则f(x)是( ）A。
奇函数，且在(0，1)上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C。
偶函数，且在(0，1）上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x）＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x）,故函数f（x）为奇函数，又f(x）＝ln错误!＝ln错误!,由复合函数单调性判断方法知,f（x）在(0，1）上是增函数，故选A。
答案A3。
已知二次函数f（x)＝x2－bx＋a的部分图象如图所示，则函数g(x）＝e x＋f′（x）的零点所在的区间是( )A.(－1,0）B.(0，1）C。
专题一 函数与导数、不等式 第1讲 函数图象与性质及函数与方程练习 理一、选择题1.(2016·临沂模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(－1，1)上单调递减的函数是( )A.f (x )＝sin xB.f (x )＝2cos x ＋1C.f (x )＝2x－1D.f (x )＝ln 1－x1＋x解析 由函数f (x )为奇函数排除B 、C ，又f (x )＝sin x 在(－1，1)上单调递增，排除A ，故选D. 答案 D2.(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B.奇函数，且在(0，1)上是减函数 C.偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A. 答案 A3.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝e x＋f ′(x )的零点所在的区间是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)解析 由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x ＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x ＋2＞0，即g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，故选B. 答案 B4.(2016·西安八校联考)函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )解析 由3x－1≠0得x ≠0， ∴函数y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，可排除A ； 当x ＝－1时，y ＝（－1）313－1＝32＞0，可排除B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝45，但从D 中函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C. 答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由以上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B. 答案 B 二、填空题6.(2016·浙江卷)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，因此a b ＝(b 2)b ＝b2b＝b a，∴a ＝2b ，b 2＝2b ，又b ＞1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 2 7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 8.(2016·海淀二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x－1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x－a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围. 解 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个为正实数的零点.当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1的图象是抛物线，且与y 轴的交点为(0，1)，由f (x )有且仅有一个正实数的零点，则得：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1m ＞0，Δ＝0或②x ＝1m＜0，解①，得m ＝1；解②，得m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}. 10.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)， 所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ， 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点. 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3]. 11.已知函数f (x )＝ex －m－x ，其中m 为常数.(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围；(2)当m ＞1时，判断f (x )在[0，2m ]上零点的个数，并说明理由. 解 (1)f ′(x )＝ex －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m＜1，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m＞1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值. 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1].(2)由(1)知f (x )在[0，2m ]上至多有两个零点，当m ＞1时，f (m )＝1－m ＜0. ∵f (0)＝e －m＞0，f (0)f (m )＜0， ∴f (x )在(0，m )上有一个零点. ∵f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ， ∵当m ＞1时，g ′(m )＝e m－2＞0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (m )＞g (1)＝e －2＞0，即f (2m )＞0. ∴f (m )·f (2m )＜0，∴f (x )在(m ，2m )上有一个零点.∴故f(x)在[0，2m]上有两个零点.。
