上海市上海中学2017届高考数学模拟试题(9)(含解析)

上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）一、选择题：1．复平面上有圆C ：||2z =，已知1111z z -+（11z ≠-）是纯虚数，则复数1z 的对应点P （ ） A ．必在圆C 上B ．必在圆C 内部 C ．必在圆C 外部D ．不能确定2．一给定函数()y f x =的图象在下列图中，并且对任意(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +＞，n ∈N*，则该函数的图象是（ ）ABCD3．已知p ：方程20x a x b ++=有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形的包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为（ ） A．(1a BCD．a二、填空题：5．方程22121x y a a +=-+表示椭圆，则a ∈__________．6．已知(na x 的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中3x 的系数为9，常数a 的值为__________． 7．下列函数中周期是2的函数是__________①22cos π1y x =- ②sin πcos πy x x =+ ③ππtan()23y x =+④sin πcos πy x x =．8．函数13(10)x y x +=-≤＜的反函数是__________． 9．已知集合{|25}A x x =-＜＜，{|121}B x p x p =+-＜＜，AB A =，则实数p 的取值范围是__________．10．已知E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，AB 与PC 所成的角为60︒，则__________．11．设1|5|z =，2|2|z =，12||z z -=12z z =__________．12．某人有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r 根（1r n ≤≤）的概率__________．13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，BD b =，1AC c =，试用a 、b 、c 表示1BD =__________． 14．若关于xx a +的解是x m ＞，试求m 的最小值为__________．15．设点P 到点(1,0)-、(1,0)距离之差为2m ，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围__________． 16．已知椭圆222484840x y kx ky k +--+-=（k 为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线__________． 三、解答题：17．斜三棱柱ABC A B C '''-中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA '与底面相邻两边AB 、AC 都成45︒角，求此三棱柱的侧面积和体积．18．已知在ABC △中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c 向量(2cos ,sin())2C m A B =-+，(cos ,2sin())2C n A B =+，且m n ⊥．（Ⅰ）求角C 的大小．（Ⅱ）若22212a b c =+，求sin()A B -的值．19．已知z 是复数，2z i +与2zi -均为实数（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）求z 的值；（Ⅱ）求实数a 的取值范围．20.已知函数2()1f x ax bx =++（a ，b 为实数），x ∈R ．（1）若函数()f x 的最小值是(1)0f -=，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，()f x x k +＞在区间[3,1]--上恒成立，试求k 的取值范围； （3）若0a ＞，()f x 为偶函数，实数m ，n 满足0mn ＜，0m n +＞，定义函数(),0()(),0f x x F x f x x ⎧=⎨-⎩当≥当＜，试判断()()F m F n +值的正负，并说明理由．21．若数列{}n a 前n 项和为n S （*n ∈N ）（1）若首项11a =，且对于任意的正整数n （2n ≥）均有n n n n S k a kS k a k+-=-+，（其中k 为正实常数），试求出数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n a 是等比数列，公比为q ，首项为1a ，k 为给定的正实数，满足： ①10a ＞，且01q ＜＜②对任意的正整数n ，均有0n S k -＞； 试求函数()n nn n S k a kf n k S k a k+-=+-+的最大值（用1a 和k 表示） 22．已知椭圆及圆的方程分别为22221x y a b+=和222x y r +=，若直线AB 与圆相切于点A ，与椭圆有唯一的公共点B ，若0a b ＞＞是常数，试写出AB 长度随动圆半径变化的函数关系式||()AB f x =，并求其最大值．上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）答 案一、选择题： 1~4．BAAC 二、填空题： 5． 6．16 7．②③8．，（） 9． 10．711．12．13． 14． 15． 16三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是45︒，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则，，∴， ∴11(1,)(,2)22-⋃1log3x y -=13x ≤＜3p ≤322i ±21222n rn r n r C ----⨯b c a +-32(⋃AA 'AB AC 45ABBA ACCA a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB D DO AD 1A D =AO =1AO =21124V a b ==18．解：（Ⅰ）由得， 即；整理得 解得（舍）或60C =︒ 因为，60C =︒（Ⅱ）因为由正弦定理和余弦定理可得，，， 代入上式得 又因为，故 所以19．解：（Ⅰ）设（，），又，且为实数，∴，解得．∴， ∵为实数，∴，解得． ∴42z i =-．（Ⅱ）∵复数，∴，解得．即实数的取值范围是．20．解：（1）由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）在（1）的条件下，，即在区间上恒成立，由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；0m n =222cos 2sin ()02CA B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-0πC ＜＜sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2bB R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A B R ac R bc cR+-+---=-=22212a b c -=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2z i -405x -=4x =2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12ba-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞（3）∵是偶函数，∴，∴，由知、异号，不妨设，则，又由得， ，得，又，得，∴的值为正． 21．解：（1）∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时 即，∴ （2）∵，且对任意的正整数，均有 ∴∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．解：（1）设，则过的圆的切线方程为，代入，得由即 整理可得∴∵ ∴ （当且仅当∴()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥()n nn n S k a kf n k S k a k+-=+-+11111(1)n n n n n n n n n n S k a k S a k a q kf n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a kf n f n k k S a k a q k S k a k++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a kk a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b+=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r-+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x ()f x =b x a ＜＜的最大值为()f x a b上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）解 析一、选择题：1．B 根据复数的几何意义可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，把整理出最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，虚部不等于0，据此可知点轨迹．解：由可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，则， ∵是纯虚数， ∴，且，∴点的轨迹为以原点为圆心、1为半径的圆，除掉点， ∴复数的对应点必在圆内部， 故选B ．2．A 由关系式得到的数列满足，根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，的图象在上方．逐一分析不难得到正确的答案．解：由知：的图象在上方． 故选：A ．3．A 我们先论证命题：，是整数成立时，命题：有且仅有整数解是否成立，即命题命题的真假，再论证命题：有且仅有整数解时，命题：，是整数成立时是否成立，即判断命题命题的真假，然后根据弃要条件的定义易得到答案．解：，是整数时，不一定有整数解， 即命题命题为假命题，若有且仅有整数解，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易判断，是整数．即命题命题为真命题， 故是的充分不必要条件 故选：A ．4．C 根据题设，用一张正方形的包装纸将其完全包住，近似于将正四棱锥的表面展开图重新折回．因此，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易得出包装纸的对角线处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．C 1z (x,y)1111z z -+P ||2z =C 1z (,)x y 2212211(1)[(1)][(1)]12=1(1)[(1)][(1)](1)z x yi x yi x yi x y yiz x yi x yi x yi x y --+-++-+-+==++++++-++1111(1)1z z z -≠-+2210x y +-=0y ≠P (1,0)±1z P 1()n n a f a +={}n a 1n n a a +＞*n ∈N ()f x y x =1()n n n a f a a +=＞()f x y x =q a b p 20x ax b ++=p ⇒p p 20x ax b ++=q a b p ⇒q a b 20x ax b ++=p ⇒q 20x ax b ++=a b p ⇒q p q解：将正四棱锥沿底面将侧面都展开如图所示：当以为正方形的对角线时，所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小． 设此时的正方形边长为则：， 又因为， ∴， 解得：． 二、填空题：5．由椭圆的标准方程可以确定的范围．∵表示椭圆， ∴， ∴或．6．根据的展开式中二项式系数之和为512，，得到，求出了的值，求出二项展开式的通项，令的指数为3求出的值代入通项求出展开式中的系数，解出字母的值，得到结果．解：因为的展开式中二项式系数之和为512，所以 解得所以的展开式的通项为令得 所以展开式中的系数为 所以所以7．利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．解：对于①，∴；PP 'x 22()2PP x '=()2PP a a '=+=22()2a x=x =a 22121x y a a +=-+201021a a a a -⎧⎪+⎨⎪-≠+⎩＞＞112a -＜＜122a ＜＜na x （2512n =n x r 3xa na x （2512n =9n=9a x（399219(r rrrr T aC x--+=3932r-=8r =3x 916a 9916a =16a =cos2πy x =2π12πT ==对于②，∴； 对于③； 对于④，∴． 8．本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将看做方程解出，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可，注意原函数的定义域为．解：由解得 ∵，∴∴函数（）的反函数是（） 故答案为：，（）9．由题意，由，可得，再由，，分，两类解出参数的取值范围即可得到答案解：由，可得又， 若，即得，显然符合题意若，即有得，时，有解得，故有综上知，实数的取值范围是10．取的中点，由题意可得，，或，由余弦定理，运算求得结果．解：取的中点，则由、分别是三棱锥的棱、的中点，，，与PC 所成的角为可得，，或．中，当时，由余弦定理可得当时，．11．设，，求得、以及，再根据条件求得的值，可得的值，再利用复数三角形式的运算法则求得的值． ππ)4y x =+2π1πT ==π2π2T =1sin 2π2y x =2π12πT ==13x y +=x 0x x -＜≤13x y +=1log3x x =-+10x -≤＜13x ≤＜13x y +=0x x -＜≤1log3x y =-+13x ≤＜1log3x y -=13x ≤＜A B ⋃B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅B ≠∅p A B A ⋃=B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅121p p +-≥2p ≤B ≠∅121p p +-＜2p ＞12215p p +-⎧⎨-⎩≥≤33p -≤≤23p ＜≤p 3p ≤PB H 3EH =5HF =60EHF ∠=120EF =PB H E F P ABC -AP BC 10PC =6AB =AB 603EH =5HF =60EHF ∠=120EHF △60EHF ∠=EF ==120EHF ∠=7EF =15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+1z 2z 12z z -cos()αβ+sin()αβ+12z z解：由题意得，可设，，， ，．再由，化简可得．再由同角三角函数的基本关系可得．故 12．根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上，次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有 种由古典概型的概率公式求出概率．解：根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒 所以，所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种由古典概型的概率公式得他发现用完一盒时另一盒还有根（）的概率为13．先画图，理解题意，再根据向量的加法法则和减法法则，将所表示向量用已知向量表示，即可得到结论．解： 故答案为：14．先作出的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集，利用图象，即可求的最小值．解：先作出的图象，的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集 ∵解集为（取不到等号） ∴只能是过点斜率为1的直线 把点的坐标代入得15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+15[cos isin ]5[cos()sin()]z i αααα=-=-+-22(cos sin )2[cos()sin()]z i i ββββ=-=-+-12(5cos 2cos )(5sin 2sin )z z i αβαβ-=-++12||z z -=23(5cos 2cos )(5sin 2sin )13αβαβ-++=4cos(0=5αβ+3sin()5αβ+=±125[cos()sin()]555433[cos()][cos()sin()]=[]22(cos sin )222552z i i i i z i αααβαβαβββ-+-==⨯--=⨯+-+⨯±=±+2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---r 1r n ≤≤21222n rn r n r C ----⨯1111BD BD DD BD CC BD AC AC b c a =+=+=+-=+-b c a +-y =y x a =+m y y x a =+x m ＞A A y x a =+0.5a =再将与（舍）或 即求出了交点由数形结合可知最小值为．15．先设点的坐标为，然后由点到、轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点到点、距离之差为，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过求得的取值范围．解：设点的坐标为，依题设得，即， 因此，点、、三点不共线，得 ∵ ∴因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故将代入，并解得，因为，所以， 解得即的取值范围为． 16．先判断出椭圆（为参数）表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，判断出符和条件的直线需要与直线平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，在证明对于所以的椭圆都满足条件．0.5yx =+y =0.5x =- 1.5(1.5,2)C m 32P (,y)x P x y P (1,0)-(1,0)2m 2x m P (,)x y ||2||y x =2y x =±0x ≠(,)P x y (1,0)M -(1,0)N ||||||||2PM PN MN -=＜||||||2||0PM PN m -=＞0||1m ＜＜P M N 2||m 222211x y m m -=-2y =±222211x y m m -=-2222(1)015m m x m -=-≥210m -＞2150m -＞0||m ＜m (⋃222484840x y kx ky k +--+-=k 2y x =2y x =解：椭圆（为参数）可化为 ，所以表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一组椭圆， 而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，若所求的直线与直线不平行，则必定存在椭圆与直线l 不相交， 于是，设所求直线的方程为因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于与椭圆，由得得即解得设直线与圆（为参数），相交所得的弦长为d ，则由得 所以所以直线与椭圆（同理可证，对任意，椭圆（为参数）与直线相交所得弦三、解答题：17．解：（Ⅰ）先判断斜三棱柱的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为的正三角形，面积易求，所以只需求出222484840x y kx ky k +--+-=k 222484840x y kx ky k +--+-=2y x =l 2y x =2y x b =+2y x b =+2214y x +=22214y x b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩228440x by b ++-=21212[()4]55x x x x +-=2244()41]88b b ---⨯=2b =±22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k 22248484022x y kx ky k y x ⎧+--+-=⎨=+⎩228(816)880x k x k k +-+-=22221212[()4]55[(21)4(8)]5d x x x x k k k =+-=---=22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k k ∈R 222484840x y kx ky k +--+-=k 22y x =-ABC A B C '''-AA 'AB AC 45ABBA ACCA 45a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧a高即可，利用所给线线角的大小即可求出．过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则，，∴， ∴18．（Ⅰ）先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于的方程，进而得到答案．解：由得， 即；整理得 解得（舍）或 因为，（Ⅱ）先表示出的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案．解：因为 由正弦定理和余弦定理可得，，，代入上式得又因为， 故所以．19．（Ⅰ）利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．解：设（，），又，且为实数，∴，解得． ∴，∵为实数，∴，解得．1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB DDO AD1A D=AO=1AO=21124V a b ==cos C 0m n =222cos 2sin ()02CA B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-60C =0πC ＜＜60C =sin()A B -sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2bB R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A BR ac R bc cR +-+---=-=22212a b c-=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2z i -45x -=4x =（Ⅱ）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解：∵复数，∴，解得． 即实数的取值范围是．20．（1）由已知，且，解二者联立的方程求出，的值即可得到函数的解析式． 解：由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）将，在区间上恒成立，转化成在区间上恒成立，问题变为求在区间上的最小值问题，求出其最小值，令小于其最小值即可解出所求的范围．解：在（1）的条件下，，即在区间上恒成立， 由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；（3）是偶函数，可得，求得，由，，可得、异号，设，则，故可得，代入，化简成关于，的代数式，由上述条件判断其符号即可．解：∵是偶函数，∴，∴，由知、异号，不妨设，则，又由得， ，得，又，得，∴的值为正． 21．（1）先根据，（其中为正实常数），求出，然后利用进行求解，注意验证首项；解：∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时 即，2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12ba-=-a b 10a b -+=12ba-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞[3,1]--21k x x ++＜[3,1]--21x x ++[3,1]--k ()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜0m n +＞m n 0m ＞0n ＜0m n -＞＞()()F m F n +m n ()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥1n n n a S S -=-n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-∴（2）先求出，然后根据条件判定的符号，从而确定的单调性，从而求出最大值．解：∵，且对任意的正整数，均有 ∴∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．先设，则过的圆的切线方程为，将其与椭圆方程联立，得一一元二次方程，由，整理后即可得，求最大值时使用均值定理，注意等号成立的条件．解：设，则过的圆的切线方程为，代入，得由即 整理可得∴∵ ∴ （当且仅当∴的最大值为11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥(1)f n +(1)()f n f n +-()f n ()n n n n S k a kf n k S k a k+-=+-+11111(1)n n n n n n n n n n S k a k S a k a q kf n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a kf n f n k k S a k a q k S k a k++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a kk a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +==0△||()AB f r =()f x 00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b+=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r-+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x ()f x =b x a ＜＜()f x a b -。

2017年上海中学高考数学模拟试卷（9）一．选择题1．（3分）已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．B．C．D．当时，当x≥时2．（3分）已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．3．（3分）如果数列{a n}满足：首项a1=1且那么下列说法中正确的是（）A．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等比数列，偶数项a2，a4，a6，…．成等差数列B．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等差数列，偶数项项a2，a4，a6，…．成等比数列C．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列D．该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列4．（3分）点O为△ABC内一点，且存在正数，设△AOB，△AOC的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（）A．λ1：λ2B．λ2：λ3C．λ3：λ2D．λ2：λ1二．填空题5．（3分）已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是．6．（3分）已知函数的值为= ．7．（3分）已知有最大值，那么当S n取得最小正值时，n= ．8．（3分）一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为．9．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，记则的值为．10．（3分）在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为颗．（结果用n表示）11．（3分）已知复数，又，而u的实部和虚部相等，求u．12．（3分）定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是．13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；②当x＞a时，f（x）是递增函数；③f（x）=0至多有两个实数根；④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．其中正确的序号是．14．（3分）F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，，且△F1PF2的面积为1，则a的值是．15．（3分）平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是．16．（3分）已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f （m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值= ．三．解答题17．已知函数．（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．（2）设的充分条件，求实数m的取值范围．18．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．19．已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：•=k||2，（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．20．阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．21．已知一次函数f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称的图象为C，且f（f（1））=﹣1，若点在曲线C上，并有．（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求的值．2017年上海中学高考数学模拟试卷（9）参考答案与试题解析一．选择题1．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．B．C．D．当时，当x≥时【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】由题设条件及图象知，此函数是图象是先增后减，考查四个选项，研究的是比较的是两个数大小，由它们的形式知几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率，由此规律即可选出正确选项．【解答】解：由函数的图象知，此函数的图象先增后减，其变化率先正后负，逐渐变小考察四个选项，要比较的是两个数大小，由其形式，其几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率由此函数图象的变化特征知，随着自变量的增大，图象上的点与原点连线的斜率逐渐变小，当0＜x1＜x2＜1，一定有考察四个选项，应选C故选C【点评】本题考查函数的图象及图象变化，解题的关键是考查四个选项，找出问题探究的方向，再结合图象的变化得出答案，本题形式新颖，由图象给出题设，由形入数，考查了数形结合的思想及理解能力．2．已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．【考点】HW：三角函数的最值；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】先根据x的范围求出ωx的范围，根据函数f（x）在区间[]上的最小值为﹣2，可得到﹣ω≤﹣，即ω≥，然后对ω分大于0和小于0两种情况讨论最值可确定答案．【解答】解：当ω＞0时，﹣ω≤ωx≤ω，由题意知﹣ω≤﹣，即ω≥，当ω＜0时，ω≤ωx≤﹣ω，由题意知ω≤﹣，即ω≤﹣2，综上知，ω的取值范围是（﹣∪[）．故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题．考查三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点一定要强化复习．3．如果数列{a n}满足：首项a1=1且那么下列说法中正确的是（）A．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等比数列，偶数项a2，a4，a6，…．成等差数列B．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等差数列，偶数项项a2，a4，a6，…．成等比数列C．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列D．该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列【考点】8H：数列递推式．【分析】先根据首项和递推式求出前8项，然后取出奇数项根据等差数列和等比数列的定义可判定选项A、B的真假，将数列的奇数项a1，a3，a5，…，分别加4后可判定C的真假，数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后可判定D的真假．【解答】解：∵首项a1=1且∴a2=2，a3=4，a4=8，a5=10，a6=20，a7=22，a8=44该数列的奇数项1，4，10，22…既不成等差数列，也不成等比数列，故选项A、B不正确；该数列的奇数项a1，a3，a5，…，分别加4后为5，9，14，26，…，不成等比数列，故C不正确；该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后为6，12，24，48，…，构成一个公比为2的等比数列，故正确．故选D．【点评】本题主要考查了数列递推式，以及等差数列与等比数列的判定，属于中档题．4．点O为△ABC内一点，且存在正数，设△AOB，△AOC的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（）A．λ1：λ2B．λ2：λ3C．λ3：λ2D．λ2：λ1【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】本选择题利用特殊化方法解决．取正数，结合向量的运算法则：平行四边形法则得到O是三角形AB1C1的重心，得到三角形面积的关系．【解答】解：取正数，∵满足即：，∴，设，如图，则O是三角形AB1C1的重心，故三角形AOB1和AOC1的面积相等，又由图可知：△AOB与△AOC的面积分别是三角形AOB1和AOC1的面积的一半和三分之一，则△AOB与△AOC的面积之比是．即λ3：λ2故选C．【点评】本小题主要考查向量在几何中的应用、向量的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、特殊化思想．属于基础题．二．填空题5．已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是（﹣4，﹣3）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；3W：二次函数的性质．【分析】根据方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合对应二次函数性质得到，得到关于a的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：由程x2+（1+a）x+4+a=0，知对应的函数f（x）=x2+（1+a）x+4+a图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，则即即，∴﹣4＜a ＜﹣3 故答案为（﹣4，﹣3）【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，本题解题的关键是由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合二次函数图象得到．6．已知函数的值为= 0 ．【考点】3T ：函数的值．【分析】推导出f （）=alog 2+blog 3+2=4，从而得到alog 22008+blog 32008=﹣2，由此能求出f （2008）．【解答】解：∵函数，∴f （）=alog 2+blog 3+2=4，∴﹣alog 22008﹣blog 32008+2=4， 即alog 22008+blog 32008=﹣2，∴f （2008）=alog 22008+blog 32008+2=﹣2+2=0． 故答案为：0．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．已知有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n= 19 ． 【考点】8I ：数列与函数的综合．【分析】要求S n 取得最小正值时n 的值，关键是要找出什么时候a n 小于或等于0，而a n+1大于0，由，我们不难得到a 11＜0＜a 10，根据等差数列的性质，我们易求出当S n 取得最小正值时，n的值．【解答】解：∵S n有最大值，∴d＜0则a10＞a11，又，∴a11＜0＜a10∴a10+a11＜0，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，S19=19a10＞0又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又∵S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0∴S19为最小正值故答案为：19【点评】本题考查数列的函数性质，一般的{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最小值，则数列的公差d小于0；{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最大值，则数列的公差d大于0．8．一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半，进而得到各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面暴露在外面部分的面积和为1，累加后即可得到答案．【解答】解：最下边正方体的侧面积为4×1=4从下边数第二个正方体的侧面积为4×=2从下边数第三个正方体的侧面积为4×=1…即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列故Sn=当n=6时S6==而除侧面外其它面的和为1，故6个正方体暴露在外面部分的面积和为+1=故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，等比数列的前n项和，其中根据已知条件将问题转化为等比数列的前n项和问题，是解答本题的关键．解答时易忽略6个正方体暴露在外面部分不包括下底面，但包括上底面，而错解为或．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，记则的值为2+2．【考点】HK ：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先求出函数f （x ）=2sin （），求出f （1）、f （2）、f （3）、…f（8 ）的值，根据函数的周期性求出的值．【解答】解：由函数f （x ）的图象可得，此函数的周期等于8，A=2，∴ =8，ω=．把点（0，0）代入函数f （x ）的解析式可得∅=0．故函数f （x ）=2sin （）．f （1）=，f （2）=2，f （3）=，f （4）=0，f （5）=﹣，f （6）=﹣2，f （7）=﹣，f （8）=0．故 f （1）+f （2）+f （3）+…+f （8）=0．∴=+f （25）+f （26）+f （27）=0+f （1）+f （2）+f （3）=2+2．故答案为：2+2．【点评】本题主要考查函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）的周期性以及根据图象求解析式，求出函数f （x ）=2sin （），是解题的关键．10．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有 66 颗珠宝；则前n 件首饰所用珠宝总数为颗．（结果用n 表示）【考点】8B ：数列的应用．【分析】由题意可知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的值，则a 2﹣a 1=5，a 3﹣a 2=9，a 4﹣a 3=13，a 5﹣a 4=17，猜想a6﹣a5=21，从而得a6的值和a n﹣a n﹣1=4n﹣3；所以（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（a n﹣a n﹣1）=a n﹣a1求得通项公式a n，从而求得前n项和s n．【解答】解：由题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；∴a2﹣a1=5，a3﹣a2=9，a4﹣a3=13，a5﹣a4=17，a6﹣a5=21，…，a n﹣a n﹣1=4n﹣3；∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（a n﹣a n﹣1）=a n﹣a1=5+9+13+17+21+…+（4n﹣3）==2n2﹣n﹣1；∴a n=2n2﹣n，其前n项和为s n=2（12+22+32+…+n2）﹣（1+2+3+…+n）=2×﹣=．故答案为：66，．【点评】本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确求和．11．已知复数，又，而u的实部和虚部相等，求u．【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念．【分析】由条件求出u=i（a﹣bi）=b+ai，可得，解出a、b的值，即可得到u．【解答】解：∵，∴u=i（a﹣bi）=b+ai．∴，…（6分）∴a=b=1或a=b=﹣1，∴u=1+i或u=﹣1﹣i …（12分）【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，属于基础题．12．定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x ﹣y}，则z的取值范围是﹣7≤Z≤10 ．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x﹣y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x﹣y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．【解答】解：当4x+y≥3x﹣y时可得x+2y≥0则原题可转化为：当，Z=4x+y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l0：4x+y=0然后把直线l0向可行域平移则可知直线平移到C（2，2）时Z max=10，平移到点N（﹣2，1）时Z min=﹣6此时有﹣6≤z≤10当，Z=3x﹣y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l0：3x﹣y=0，然后把直线3x﹣y=0向可行域平移则可知直线平移到M（﹣2，1）时Z min=﹣7，平移到点B（2，﹣2）时，Z max=8此时有﹣7≤z≤8综上可得，﹣7≤Z≤10【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x﹣y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．13．已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；②当x＞a时，f（x）是递增函数；③f（x）=0至多有两个实数根；④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．其中正确的序号是①②④．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象关于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单调性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．【解答】解：对各个选项分别加以判别：对于①，当a=0时，f（x）=|x|x+b，可得f（﹣x）=﹣|x|x+b∴f（x）+f（﹣x）=2b，可得f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；对于②，当x＞a时，f（x）=x（x﹣a）+b，图象的对称轴为，开口向上因此在对称轴的右侧为增函数，所以当x＞a时，f（x）是递增函数；对于③，可以取a=3，b=﹣2时，f（x）=0有三个实数根：，故③不正确；对于④，当0≤x≤a时，f（x）=﹣x2+ax+b当x=时，函数的最大值为f（）=．故答案为：①②④【点评】本题以函数的奇偶性和单调性为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题，熟练掌握函数的基本性质是解决本题的关键所在．14．F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，，且△F1PF2的面积为1，则a的值是a=1或﹣．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】讨论a＞0，a＜0，运用双曲线的定义和向量垂直的条件，以及三角形的面积公式，结合勾股定理，解方程即可得到所求值．【解答】解：设P为双曲线右支上一点，当a＞0时，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=4，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为1，可得|PF1|•|PF2|=1，即有|PF1|•|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|=16a+4=20a，解得a=1；当a＜0时，双曲线即为﹣=1，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为1，可得|PF1|•|PF2|=1，即有|PF1|•|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=﹣20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|=﹣4a+4=﹣20a，解得a=﹣．综上可得a=1或﹣．故答案为：a=1或﹣．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的勾股定理和面积公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．15．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】通过讨论先判断出11个点中有一个4点共线，一个3点共线，然后利用组合的方法求出从11个点中任取三个点的方法及任取三个点能构成三角形的方法，利用古典概型的概率公式求出答案．【解答】解：若任意三点不共线，则任两点一条直线，共有直线C112=55，因为共得48条直线，少了7条，所以存在多点共线的情况，若3点共线的话则减少C32﹣1=2条，若4点共线减少C42﹣1=5条，若5点以上共线减少超过7条，所以11个点中有一个4点共线，一个3点共线，从11个点中任取三个点共有C113=165种，共线有C43+C33=5种由古典概型的概率公式得构成三角形概率是．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，关键是求出事件包含的基本事件的个数，常用的方法有：排列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法等．16．已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值= 22006+4014 ．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而求出所求．【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n+1）=2m﹣1+2n∴f（2007，2008）=22006+4014故答案为：22006+4014．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键，属中档题．三．解答题17．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数．（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．（2）设的充分条件，求实数m的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）求出h（x）的表达式，利用图象关于点（﹣，0）对称，建立条件关系即可求t的值；（2）求出当x∈[，]，函数f（x）的值域，利用p是q的充分条件，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1=﹣cos2（x+）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t﹣），∵h（x）=f（x+t）的图象关于点（﹣，0）对称∴h（﹣）=2sin（﹣×2+2t﹣）=2sin（2t﹣）=0，即2t﹣=0+kπ，∴t=+，∵t∈（0，π），∴当k=0时，t=，当k=1时，t=．（2）∵|f（x）﹣m|＜3，∴：﹣3＜f（x）﹣m＜3，即m﹣3＜f（x）＜m+3，当x∈[，]，2x﹣∈[，]，此时2sin（2x﹣）∈[1，2]，即f（x）∈[1，2]，要使p是q的充分条件，则，即，∴﹣1≤m≤4，即实数m的取值范围是[﹣1，4]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期，对称性和最值的性质，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．18．（2017•徐汇区校级模拟）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD 与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由题设中的条件E，F为中点可得EF∥PC，由此可判断出EF与平面PAC的位置关系是平行，再根据体积相等即可求出EF到平面PAC的距离；（2）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE，由线面垂直的定义可得出无论点E在边BC 的何处两线都垂直．【解答】解：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC又EF⊄平面PAC而PC⊂平面PAC∴EF∥平面PAC．所以：点E到平面PAC的距离和EF到平面PAC的距离相等．∵PD与平面ABCD所成的角是30°，∴PD=，AC=2．设E到平面PAC的距离为h．∵V E﹣PAC=v P﹣AEC⇒•h•S△PAC=•PA•S△AEC⇒h===．所以：EF到平面PAC的距离为：．（2）∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE．又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE．∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE．即不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF成立．即命题成立．【点评】本题中涉及到点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离当垂线直接不好求时，常用体积相等来求．19．（2017•徐汇区校级模拟）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：•=k||2，（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．【考点】J3：轨迹方程；93：向量的模；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）设出P点坐标，求出向量的坐标，然后分k=1和k≠1由•=k||2得到P点轨迹；（2）把k=2代入（1）求出的轨迹方程，得到x2+y2=4x﹣3，利用向量的坐标运算求出|2+|，把x2+y2=4x﹣3整体代入后转化为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，由圆心到直线t=6x ﹣y的距离不大于圆的半径求t的范围，从而得到结论．【解答】解：（1）设P（x，y），，．当k=1时，由•=k||2，得x2+y2﹣1=（1﹣x）2+y2，整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；当k≠1时，由•=k||2，得x2+y2﹣1=k（1﹣x）2+ky2，整理得： =，表示以点为圆心，以为半径的圆．（2）当k=2时，方程化为（x﹣2）2+y2=1，即x2+y2=4x﹣3，∵2，∴，又x2+y2=4x﹣3，∴=．问题归结为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，∵点P在圆（x﹣2）2+y2=1，圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径，∴，解得12﹣．∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了向量模的求法，体现了数学转化思想方法及整体运算思想方法，属有一定难度题目．20．（2017•徐汇区校级模拟）阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，故可得解；（2）根据（1）的求解得知：阳光商场用a元钱最多能购回小于元钱的货物，而新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故可解．【解答】解：（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获得最多货物，第一次使用7000元，可得奖励券第二次使用2100元，可得奖励券第三次使用600元，可得奖励券（此时剩下奖励券30元）第四次使用200元，可得奖励券60元（此时剩下奖励券10元）最后一次使用70元，没有奖励券故共可购回7000+2100+600+200+70=9970（元）货物…6分（2）设阳光商场用a元钱最多能购回m元钱的货物，则由（1）小题知：新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故新世纪的优惠更多．…12分【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查实际问题向数学问题的转化，关键是理解题意，合理分析．21．（2017•徐汇区校级模拟）已知一次函数f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称的图象为C，且f（f（1））=﹣1，若点在曲线C上，并有．（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求的值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；8E：数列的求和．【分析】（1）设f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k2+kb+b=﹣1．因为f（x）的图象关于直线x﹣y=0的对称为C，所以曲线C为：f﹣1（x）=﹣，故f﹣1（n）﹣f﹣1（n﹣1）=．由此能够推导出f（x）的解析式及曲线C的方程．（2）由f﹣1（n）=，知=n+1，由此能够求出数列{a n}的通项公式．（3）由===﹣，知=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣，由此能够求出求的值．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），∴f[f（1）]=k2+kb+b=﹣1．①因为f（x）的图象关于直线x﹣y=0的对称为C，∴曲线C为：f﹣1（x）=﹣，∴f﹣1（n）=﹣，f﹣1（n﹣1）=﹣，f﹣1（n）﹣f﹣1（n﹣1）=．又点（n，）（n∈N*）在曲线C上，∴f﹣1（n）=②f﹣1（n﹣1）=，∴f﹣1（n）﹣f﹣1（n﹣1）=﹣=1，∴k=1，b=﹣1．∴f（x）=x﹣1，曲线C：y=x+1；（2）由②f﹣1（n）=∴=n+1，∴a n=••…••=n（n﹣1）…3•2=n!，∵a1=1，∴a n=n!；（3）∵===﹣，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣．则=（﹣）=．【点评】本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每一个空格填对得5分，不然一概得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是．2．函数的最小正周期为．3．假设复数z为纯虚数，且知足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），那么实数a的值为．4．二项式展开式中x的系数为．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．已知α为锐角，且，那么sinα=．7．依照有关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，通过x个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且知足关系式（r为常数）．假设某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，那么这人饮酒后需通过小时方可驾车．（精准到小时）8．已知奇函数f（x）是概念在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，知足f（x7）+f（x8）=0，那么x2017的值为．9．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，那么的最大值为．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，假设对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，那么的最小值为．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，不然一概得零分.11．假设空间三条直线a、b、c知足a⊥b，b⊥c，那么直线a与c（）A．必然平行B．必然相交C．必然是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能12．在无穷等比数列{a n}中，，那么a1的取值范围是（）A．B． C．（0，1） D．13．某班班会预备从含甲、乙的6名学生当选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．已知椭圆C1，抛物线C2核心均在x轴上，C1的中心和C2极点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，那么C1的左核心到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4A．B．C．1 D．215．已知y=g（x）与y=h（x）都是概念在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，那么正实数k的取值范围是（）A．B． C．D．三、解答题（此题总分值75分）本大题共有5题，解答以下各题必需在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F别离是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个核心．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）假设动点P与双曲线C的两个核心F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．18．在某海边城市周围海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是不是开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时刻为多久？19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得概念域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）假设f（x）=2x﹣x2，试判定f（x）是不是为M1中的元素，并说明理由；（2）假设，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）假设（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．由n（n≥2）个不同的数组成的数列a1，a2，…a n中，假设1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），那么称a i与a j组成一个逆序，一个有穷数列的全数逆序的总数称为该数列的逆序数．如关于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1，…a1的逆序数．2017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每一个空格填对得5分，不然一概得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是（0，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判定．【分析】依照充分必要条件的概念求出a的范围即可．【解答】解：假设“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．2．函数的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x 的最小正周期为=π，故答案为：π．3．假设复数z为纯虚数，且知足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），那么实数a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，得==，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=．那么实数a的值为：．故答案为：．4．二项式展开式中x的系数为10．【考点】二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．，【解答】解：设二项式展开式的通项为T r+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，那么T r+1令10﹣3r=1得r=3，∴二项式展开式中x的系数为=10．故答案为：10．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，那么制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，那么2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．已知α为锐角，且，那么sinα=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的大体关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，那么sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．依照有关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，通过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且知足关系式（r为常数）．假设某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，那么这人饮酒后需通过8小时方可驾车．（精准到小时）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先求出e r=，再利用89•e xr＜20，即可得出结论．【解答】解：由题意，61=89•e2r，∴e r=，∵89•e xr＜20，∴x≥8，故答案为8．8．已知奇函数f（x）是概念在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，知足f（x7）+f（x8）=0，那么x2017的值为4019．【考点】数列与函数的综合．【分析】设设x7=x，那么x8=x+2，那么f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f （x+1）=0=f（0），x7=﹣1．设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）．取得通项x n=2n﹣15．由此能求出x2020的值．【解答】解：设x7=x，那么x8=x+2，∵f（x7）+f（x8）=0，∴f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，∴f（x+1）=0=f（0），即x+1=0．∴x=﹣1，设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）=2n﹣15∴x2017=2×2017﹣15=4019．故答案为：40199．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，那么的最大值为12．【考点】向量在几何中的应用．【分析】成立坐标系，设M （），那么=（），，【解答】解：如图成立平面直角坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），三角形ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣2）2=，设M （），那么=（），，，故答案为：12．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，假设对任意实数x均有f（x）•g （x）≤0，那么的最小值为4．【考点】大体不等式．【分析】依照对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当x=y=时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，不然一概得零分.11．假设空间三条直线a、b、c知足a⊥b，b⊥c，那么直线a与c（）A．必然平行B．必然相交C．必然是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的概念即可得出，假设直线a、b、c 知足a⊥b、b⊥c，那么a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如下图：a⊥b，b⊥c，a与c能够相交，异面直线，也可能平行．从而假设直线a、b、c知足a⊥b、b⊥c，那么a∥c，或a与c相交，或a与c异面．应选D．12．在无穷等比数列{a n}中，，那么a1的取值范围是（）A．B． C．（0，1） D．【考点】数列的极限．【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．【解答】解：在无穷等比数列{a n}中，，可知|q|＜1，那么=，a1=∈（0，）∪（，1）．应选：D．13．某班班会预备从含甲、乙的6名学生当选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】依照题意，分2种情形讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情形数量，由加法原理计算可得答案．【解答】解：依照题意，分2种情形讨论，假设只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情形；假设甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情形，那么不同的发言顺序种数192+144=336种，应选：A．14．已知椭圆C1，抛物线C2核心均在x轴上，C1的中心和C2极点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，那么C1的左核心到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由表可知：抛物线C2核心在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），那么有=2p （x≠0），将（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，），即可求得椭圆方程，求得核心坐标，即可求得C1的左核心到C2的准线之间的距离．【解答】解：由表可知：抛物线C2核心在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），那么有=2p （x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．那么核心坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C1的标准方程为+y2=1；由c==，左核心（，0），C1的左核心到C2的准线之间的距离﹣1，应选B．15．已知y=g（x）与y=h（x）都是概念在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，那么正实数k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】根的存在性及根的个数判定．【分析】问题转化为g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象取得关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，即g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，如图示：，结合图象得：，解得：＜k＜log32，应选：C．三、解答题（此题总分值75分）本大题共有5题，解答以下各题必需在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F别离是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连接A1C1，由E，F别离是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步取得EF∥A1C1，可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；（2）直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解．【解答】解：（1）连接A1C1，∵E，F别离是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，那么EF∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．在△A1C1B中，由AB=a，AA1=2a，得，，∴cos∠A1C1B=，∴异面直线BC1与EF所成角的大小为；（2）．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个核心．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）假设动点P与双曲线C的两个核心F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）设M（x，y），，左核心，通过利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围．（2）写出P点轨迹为椭圆，利用，|PF1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，和大体不等式求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）设M（x，y），，左核心，=…=（）对称轴，…（2）由椭圆概念得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…由大体不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…18．在某海边城市周围海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是不是开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时刻为多久？【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）成立直角坐标系，…，那么城市A（0，0），当前台风中心，设t 小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意成立方程组，能求出10小时后，该台风尚未开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【解答】解：（1）如图成立直角坐标系，…那么城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，现在台风的半径为60+10t，10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，∵r＜|PA|，…∴10小时后，该台风尚未开始侵袭城市A．…（2）由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，假设城市A受到台风侵袭，则，∴300t2﹣10800t+86400≤0，即t2﹣36t+288≤0，…解得12≤t≤24…∴该城市受台风侵袭的持续时刻为12小时．…19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得概念域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）假设f（x）=2x﹣x2，试判定f（x）是不是为M1中的元素，并说明理由；（2）假设，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）假设（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判定f（x）∉M1．（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，取得对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，别离求解最小值即可．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（2）由…∴，…故a＞1．…（3）由，…即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当1≤k＜3时，．…综上：…20．由n（n≥2）个不同的数组成的数列a1，a2，…a n中，假设1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），那么称a i与a j组成一个逆序，一个有穷数列的全数逆序的总数称为该数列的逆序数．如关于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1，…a1的逆序数．【考点】数列的求和．【分析】（1）由{a n}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可得逆序数．（3）在数列a1，a2，…a n中，假设a1与后面n﹣1个数组成p1个逆序对，那么有（n﹣1）﹣p1不组成逆序对，可得在数列a n，a n﹣1，…a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣p n．【解答】解：（1）∵{a n}为单调递减数列，∴逆序数为．（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．当k为奇数时，逆序数为；当k为偶数时，逆序数为．（3）在数列a1，a2，…a n中，假设a1与后面n﹣1个数组成p1个逆序对，那么有（n﹣1）﹣p1不组成逆序对，因此在数列a n，a n﹣1，…a1中，逆序数为．。

上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）答 案一、填空题 1．0 2．0 3．5 4．4 5．()(24)a a a a ---，，6．837．1924 8．129．11()0)({}-∞-+∞，，10．11．24 12．8.413．cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++ 二、选择题 14-17．DDAB 三、解答题18．解：（1）∵222cos π()cos ()11sin(2)26x f x x x x x x =-∈∈=+-=-+R R ，w w w w w w ．由于它的最小正周期为π，故2ππw=，∴1w =．故π1sin(2(6))f x x -+=．（2）∵]π[0x ∈，， ∴ππ13π2[]6x +∈，．列表如下：如图：19．解：（1）设i z a b =+（a ，b R ∈且0b ≠）则i z a b =-∵||21510|z z +=+∴|()|2152i (+10)i|a b a b ++-∴2275a b +==∴||z =（2）设i z c b =+（c ，b ∈R 且0b ≠）假设存在实数a 使z aa z+∈R 则有2222()R z a c ac b ab a z a c b a c b +=++-∈++ ∴220b ab a c b-=+ ∵0b ≠∴a =由（1=∴a =±20．解：（1）11B C C A ⊥证明如下： 在平面1BA 内，过1B 作1B D AB ⊥于D ， ∵1BA ABC ⊥侧面平面，∴1B D ABC ⊥平面，1B BA ∠是1BB 与平面ABC 所成的角，∴1π2ππ33B BA ∠=-=，连接1BC ， ∵11BB CC 是菱形，∴11BC B C ⊥，1CD A B ⊥平面，1B D AB ⊥， ∴1B C AB ⊥， ∴11B C ABC ⊥平面， ∴11B C C A ⊥．（2）解：由题意及图，11111222423B ACC A B A AC A ABC V V V ---===⨯答：四棱锥11B ACC A -的体积为221．解：（1）210110%0.(1)2.8y n n n n n =+++∈N *， （2）由20.2 1.810 1.1%n n n p +≤⨯，得0.2 1.8%10 1.1nn p +≥⨯， 令0.2 1.810 1.1n nn a +=⨯，由11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，得12n ≤≤， ∴122%11p a a ≥==， ∴20011p ≥． 22．解：（1）∵当2b =，4m =-时，()()f x g x ≥恒成立，∴2225804||28()30x x x c x x x x x ⎧-+-≥⎪≥=⎨---<⎪⎩，---，，由二次函数的性质得74c ≥-．（2）2()||32x b x --=-，即2(||)1b x x -=+有四个不同的解，∴2()(1)0xb x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解， 由根的分布得1b ≥且514b <<， ∴514b <<． 23．解：（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩即220020ax ax x ax -+= ∴222200440a x a x ∆=-= ∴l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点00()N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣ 则22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣ ∴22242220000000ax by b y ax abx y -+-+> ∴22001by ax +>∴00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）同理可得此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y l l l l +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l 上，即01011ax x by y +=，整理得12222001112()10ax by ax by l +-++-= 同理得关于2l 的方程，类似．即1l 、2l 是222200211(0)1ax by ax by l +-++-=的两根 ∴120+=λλ．上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）解 析一、填空题1．【考点】3Q ：函数的周期性；3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，又根据()f x 是以2为周期的周期函数得()()2f x f x +=，取1x =-可求出()1f 的值．【解答】解：∵()f x 是以2为周期的周期函数， ∴1(1)()f f =-， 又函数()f x 是奇函数， ∴()(111)()f f f -=-=， ∴()(0)11f f =-= 故答案为：02．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果． 【解答】解：∵1(1)(1)1(1)111(1)(1)222bi bi i b b i b b i i i i ++-++-+-===+++-， ∵实部和虚部互为相反数，∴11022b b +-+=， ∴202b =，∴0b =， 故答案为：03．【考点】DC ：二项式定理的应用．【分析】由题意可得(122)Tr Cnr x r rCnrxr +==分别令3r =，1r =可得含3x ，x 项的系数，从而可求 【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，(122)Tr Cnr x r rCnrxr +== 令3r =可得含3x 项的系数为：38Cn ，令1r =可得含x 项的系数为12Cn ∴31882Cn Cn =⨯ ∴5n = 故答案为：54．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设2z x y =+，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线2z x y =+，过可行域内的点2(1)A ，时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件126x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，在坐标系中画出可行域三角形，A （1，2），（4，2），C （1，5）， 则目标函数2z x y =+的最小值为4． 故答案为：4．5．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0||3x a a <+<-，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集． 【解答】解：因为0a <，则关于x 的不等式3||1ax a>+，所以不等式0||3x a a <+<-， 根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到a -的距离大于0并且小于3a -， 可知不等式的解集为：()()24a a a a -⋃--，，． 故答案为：()()24a a a a -⋃--，，． 6．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF 1F 2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P 点纵坐标． 【解答】解：根据椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，12||6F F =， 令内切圆圆心为O则1212121212|||1(2|||)PF F POF POF OF F PF r PF r S S S S F F r =++++=△△△△=1212||||11(||)28PF PF F F +⋅=+=又∵12121||23PF F F F yP yP S ⋅==△． 所以38yp =，83yp =．故答案为83．7．【考点】8E ：数列的求和；6F ：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n 项和记为S n ，再求它们的极限．【解答】解：当2n k =时，221111[1()][1()]9924111149nnSn --=+-- 当21n k =+时，1221111[1()][1()]9924111149nn Sn +--=+-- ∴lim21193824n n S −−→∞=+=故答案为1924． 8．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A 被选中的情况和城市A 未被选中的情况都找出来，即可得到城市A 被选中的概率． 【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的情况有：ACE ACF ACG ACH ADF ADG ADH AEG AEH AFH 、、、、、、、、、，共10种．则城市A 未被选中的情况有：BDF BDG BDH BEG BEH BFH CEG CEH CFH DFH 、、、、、、、、、，共10种．故城市A 被选中的概率为：101=10+102， 故答案为：12． 9．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设1y 22y kx =-+，画出函数1y k 的取值范围．【解答】解：根据题意设1y 22y kx =-+， 当0k =时，方程只有一个解0x =，满足题意； 当0k ≠时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当1k ->或1k -<-时，直线2y kx =-+与y = 综上，满足题意k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-． 故答案为：11()0)({}-∞-⋃+∞⋃，，．10．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP ：正弦定理．【分析】由题意可得：|||AC BC =，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，根据海仑公式得：22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|||AC BC =，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，所以设22a p +=所以根据海仑公式得：S = 所以22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，当212a =时，即当a =ABC 的面积有最大值，并且最大值为故答案为11．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P Q R S ，，，四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥， 且底面四边形ABCD 为边长是6的正方形，侧棱PD ABCD ⊥平面，6PD =∴1666723P ABCD V =⨯⨯⨯=四棱锥﹣∵棱长为12的正方体体积为1212121728⨯⨯= ∵17282472=， ∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体． 故答案为2412．【考点】4R ：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设()A x ax ，，函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，得出点A 到直线y x =的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式及()A x ax ，在函数1y x=的图象上得到18.4a =≈即可． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设()A x ax ，，∵函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，∴||AB =，⇒点A 到直线y x =，x=⇒2ax x =﹣，① 又()A x ax ，在函数1y x=的图象上，⇒1ax x =，②由①②得：12x x -=⇒1x x=，∴11)2-=，⇒18.4a =≈ 故答案为：8.4．13．【考点】F3：类比推理；LL ：空间图形的公理． 【分析】由题意可得：cos cos (0||||AB B AC C BC AB AC l ⋅+=，即BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直，设D 为BC的中点，则2OB OCOD +=，可得cos cos (||||AB B AC C DP AB AC +=λ，即可得到0BC DP ⋅=，进而得到点P 在BC 的垂直平分线上，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：cos cos (||||0||||AB B AC CBC BC BC AB AC l ⋅+=-+=∴BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直 设D 为BC 的中点，则2OB OCOD +=， 所以cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++， 所以cos cos (||||AB B AC C DP AB AC l +=，因为BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直所以0BC DP ⋅=， 又∵点D 为BC 的中点，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 的轨迹会通过△ABC 的外心． 故答案为：cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++． 二．选择题14．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA ：余弦函数的单调性．【分析】可把A B C D ，，，四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D 项的符合题意．【解答】解：cos2y x =在区间π[0]2，上是减函数，πsin )6π([0]3y x =+，上单调增，在ππ[]32，上单调减，故排除A ．πsin )4π([0]4y x =+，在π[0]4，单调增，在ππ[]42，上单调减，故排除B ．πsin )3π([0]6y x =+，在π[0]6，单调增，在ππ[]62，上单调减，故排除C ．(πsin )2y x =+在区间π[0]2，上也是减函数，故选D ．15．【考点】HP ：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC 和AB ，最后三边相加整理即可得到答案． 【解答】解：根据正弦定理sin sin BC ACA B =，sin sin(120)BC AB A B =-∴sin sin BC AC B B A ==，sin(120)s 3cos in B A CB B AB B =-= ∴△ABC的周长为π3cos 36sin 3)6(B B B B ++=++故选D ．16．【考点】IH ：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M 、N 在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a 与c 的关系，从而可判定点)(1P c a ，，1()Q b c，和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点)(1M a b ，和)(1N b c ，都在直线l ：1x y +=上∴11a b +=，11b c += 则11b a =-即1111a c+=-化简得11c a +=∴点)(1P c a ，在直线l 上而11b c +=则1()Q b c，在直线l 上故选A ．17．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①；12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②；①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，1214n n n n a a +++-=，同理，得114n n n na a ++-=，整理，得12211n n n a a a ++=+，1{}an是等差数列． 由此能求出1297111...a a a ++． 【解答】解：1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，∴1214n n n na a +++-=， 同理，得114n n n na a ++-=， ∴12111n n n n n n n n a a a a ++++--=-， 整理，得12211n n n a a a ++=+， ∴1{}an 是等差数列． ∵114a =，215a =，∴等差数列1{}an 的首项是114a =，公差2111541d a a =-=-=，14(1)13nn n a =+-⨯=+． ∴12971119796 (974150442)a a a ⨯++=⨯+⨯=． 故选B ．18．【考点】HK ：由(n )si y A x w j =+的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数π1sin(2())6f x x w =-+，再由它的周期等于π求出1w =，故π1sin(2(6))f x x =-+．（2）由]π[0x ∈，，可得ππ13π2[]666x +∈，，列表作图即得所求． 19．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z a bi =+(a ，b R ∈且0b ≠)则z a bi =-代入条件||21510|z z +=+然后根据复数的运||z 的值（2）对于此种题型可假设存在实数a 使z aR a z+∈根据复数的运算法则设（z c bi =+（c ，b R ∈且0b ≠））可得2222()z a c ac b ab R a z a c b a c b +=++-∈++即220b ab a c b -=+再结合0b ≠和（1）的结论即可求解．20．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B 1C 与C 1A 垂直，可在平面BA 1内，过B 1作1B D AB ⊥于D ，证明11B C ABC ⊥平面，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，111122B ACC A B A AC A ABC V V V ---==，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可； 21．【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）210110%0.2( 1.8)N *y n n n n n =+++∈， （2）由20.2 1.8101.1%n n n n p +≤⋅，得0.2 1.8%10 1.1nn p +≥⨯，令0.2 1.810 1.1nn n a +=⨯，由此能求出p 的最小值． 22．【考点】3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）将2b =，4m =-代入函数解析式，根据()()f x g x ≥恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c 的取值范围；（2）将3c =-，2m =-代入函数解析式得2()||1x b x =+﹣有四个不同的解，然后转化成2()(1)0x b x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b 的取值范围．23．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，由根的差别式能得到l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点)00(N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣．由22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣，能求出00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y l l l l +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l上，得222220011111()0ax by ax by l +-++-=．由此能求出120l l +=．。