一次函数知识点总结

一次函数知识点总结 【基本要点】 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vts中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 注：这是课本对于函数 的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点： 1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=xz 中有三个变量，就不是函数；y=0中只有一个变量，也不是函数；而y=0（x＞0）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围； 2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值； 3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表示x就说明y是自变量，x是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如： Y=x2，只能说y是x的函数，就不能说x是y的函数； 4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成2y=3x-3或y2=3x-3的形式； 5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：写出下列函数中自变量x的取值范围

y=2x ___________. y=12x___________. y=24x___________. y=2x·2x___________. 3、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 5、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 6、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 7、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零 当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小． (1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 例题：1、正比例函数(35)ymx，当m 时，y随x的增大而增大. 2、若23yxb是正比例函数，则b的值是 （ ）

A.0 B.23 C.23 D.32 3、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A.0k B.1k C.1k D.1k 4、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________． 平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________． 8、一次函数及性质 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)

（2）必过点：（0，b）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

00bk直线经过第一、二、三象限 



00bk

直线经过第一、三、四象限

00bk直线经过第一、二、四象限 



00bk

直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位； 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 例题：1、若关于x的函数1(1)mynx是一次函数，则m= ，n . 2、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

3、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 . 4、若直线axy和直线bxy的交点坐标为(8,m),则ba____________.

5、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ） Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1 9、一次函数y=kx＋b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，

只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-kb，0）.即横坐标或纵坐标为0的点. 例题：1、已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ） A. x1>x2 B. x1解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。 2、若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ） A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 10、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

11、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 12、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 13、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcxba的图象相同. （2）二元一次方程组222111cybxacybxa的解可以看作是两个一次函数y=1111bcxba和y=2222bcxba的图象交点. 【考点指要】 一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！这里要强调的是以下这些公式不要随便外传！切记！ 1、一次函数解析式的几种类型 ①ax+by+c=0[一般式] ②y=kx+b[斜截式] （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0） ③y-1y=k(x-1x)[点斜式] （k为直线斜率,( 1x, 1y)为该直线所过的一个点） ④211xxxx=211yyyy [两点式] （（1x, 1y）与（2x, 2y）为直线上的两点） ⑤byax =0[截距式] （a、b分别为直线在x、y轴上的截距） 2、求函数图像的k值： 2121yyxx（（1x, 1y）与（2x, 2y）为直线上的两点） 3、求任意线段的长：221221yyxx（ （1x, 1y）与（2x, 2y）为直角坐标系任意两点） 4、求任意两点所连线段的中点坐标：（221xx，221yy） 5、若两条直线y =k1x+b1 与y=k2x+b2互相平行，那么k1= k2，b1≠b2 6、若两条直线y =k1x+b1与y=k2x+b2互相垂直，那么k1×k2=-1 7、将y=kx+b向上平移n个单位后变成y=kx+b+n；向下平移n个单位变成y=kx+b-n 8、将y=kx+b向左平移n个单位后变成y=k（x+n）+b；将y=kx+b向右平移n个单位后变成y=k（x-n）+b（任何图像的平移都遵循上加下减，左加右减的规则 ） 9、若y =k1x+b1 与y=k2x+b2关于x轴对称，那么k1+ k2=0、b1+b2=0 10、若y =k1x+b1 与y=k2x+b2关于y轴对称，那么k1+ k2=0、b1=b2 11、同理，y =k1x与y=k2x关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质 12、y=kx+b与坐标轴围成的三角形面积为kb22 13、y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k） 14、y=kx+b必过点：（0，b）和（-kb，0） 【例题讲解】 例题1：若y是x的一次函数，图像过点（－3,2），且与直线64xy交于x轴上一点，求此函数的解析式。 变式练习1：求满足下列条件的函数解析式：与直线xy2平行且经过点(1, -1)的直线的解析式； 例题2：已知直线bkxy经过),0,25(且与坐标轴所围成的三角形的面积为425，求该直线的表达式。 变式练习2：一次函数41xky与正比例函数xky2的图象都经过点（2，-1）， （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积。