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章末检测
一、填空题
1． 已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则平面α、β
的位置关系为________．
2． 已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为________． 3．
如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，则用向量a ，
b ，
c 可表示向量BD 1→
＝______________.
4． 已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →
，
则λ＝________.
5． 已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标
是________．
6． 平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面
β所成二面角的大小为______．
7． 若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关
系式成立的是________．(填序号)
①cos θ＝n·a
|n||a | ②cos θ＝|n·a||n||a |
③sin θ＝n·a
|n||a | ④sin θ＝|n·a||n||a |
8． 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →
＝0，则△BCD 是________三角形．(填“锐角”、“直角”、“钝角”) 9． 在以下命题中，不．
正确的个数为________． ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →
，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |.
10．法向量为n ＝(1，－1,1)的平面α过点M (1,2，－1)，则平面α上任意一点P 的坐标(x ，
y ，z )满足的方程为____________．
11．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面
A 1ECF 成60°角的对角线的数目是________．
12．
如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为________．
13．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中
点，则AE →·AF →
的值为____________． 14．
如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________． 二、解答题 15．
已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中点，问向量P A →、MB →、MD →
是否可以组成一个基底，并说明理由． 16．
如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在
AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝1
2FC 1，试证明ME ∥NF .
17．
如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.
18．已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，F为A1B1的中点．求二面角A—BF—D的余弦值．
19．如图，
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝26，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
20．
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
答案
1．α∥β 2．90° 3．－a ＋b ＋c 4．－2 5．(5,0,2) 6．60°或120° 7．④ 8．锐角
9．4 10．x －y ＋z ＋2＝0 11．4 12．2 13．1
4a 2 14．60°
15.
解 P A →、MB →、MD →
不可以组成一个基底，理由如下： 连结AC 、BD 相交于点O ， ∵ABCD 是平行四边形，
∴O 是AC 、BD 的中点，
在△BDM 中，MO →＝12
(MD →＋MB →
)，
在△P AC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12
P A →，即P A →＝MD →＋MB →，即P A
→
与MD →、MB →
共面． ∴P A →、MB →、MD →
不可以组成一个基底． 16．证明 由平行六面体的性质
ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E → ＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A → ＝－12AB →－AD →－13AA 1→，
NF →＝NB →＋BC →＋CF → ＝12AB →＋AD →＋13CC 1→ ＝12AB →＋AD →＋13AA 1→， ∴ME →＝－NF →
，又M ，E ，N ，F 不共线，
∴ME ∥NF . 17．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)， P (0,1，m )，C (0,1,0)，
D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．
