人教版B数学选修2-1：第三章章末综合检测

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1 D ．⎝⎛⎭⎫2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B ．22C.3 D ．32【解析】 两平面间的距离d ＝|OA →·n||n|＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC1→＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A→，则abc 的值等于( ) 【导学号：15460084】A.16 B ．56C.76 D ．－16【解析】 ∵AC1→＝AB →＋AD →－A1A →＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB→＝－C1D1→B ．AB →·BC →＝0C.AA1→·B1D1→＝0 D ．AC1→·A1C→＝0 【解析】 如图，AB→∥C1D1→，AB →⊥BC →，AA1→⊥B1D1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 设BC 的中点为D ，则D (2,1,4)， ∴AD→＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝错误!＝3，即BC 边上的中线长为3. 【答案】 B8．若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A ．3B ．－3C ．－11D ．3或－11【解析】 因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B ．255C.155D ．105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC1→，AC →〉＝BC1→·AC →|BC1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105.【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B ．33C.23 D ．13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n·DC →|n||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋m AB →－n AA1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD1→)＝AD →＋12AB →＋12AA1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，0，－453，BD→＝(－3,4,0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n·PB →＝0，n·BD→＝0，得错误!即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，34，543. 又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n1·n|n1||n|＝32，∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【导学号：15460085】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】16－3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，2，C (－1,0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC→＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC→＝0，其中正确结论的序号是________． 【解析】 容易推出：SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD→，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC→＝0， 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA→为平面BAQ 的一个法向量． 又因为PC →＝(0，－2,1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ . 18.(本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA1→＝BA →＋AA1→＝BA→＋BB1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB1→·BA → ＝BB1→·BC→＝0， 所以BA1→·AC →＝(BA →＋BB1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB1→·BC →－BB1→·BA → ＝－1. 又|AC →|＝2，|BA1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19.(本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故CB→＝(3，0,0)，CP→＝(0,1,1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧CB →·n1＝0，CP→·n1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x1＝0，y1＋z1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为AP→＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧AP →·n2＝0，AB→·n2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z2＝0，3x2－y2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1,3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.20.(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥P A ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面P AB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面P AC ；(2)若直线PE 与平面P AC 所成的角的正弦值为55，求二面角A -PC -D 的余弦值．【解】 (1)证明：∵平面P AB ⊥平面ABCD ， 平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0,2,0)，E (2,1,0)，C (2,4,0)，P (0,0，λ)， ∴AC→＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，λ)，DE →＝(2，－1,0)， ∴DE →·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP→＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面P AC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面P AC .(2)由(1)知，平面P AC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2,1，－λ)，设直线PE 与平面P AC 所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0,0,2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2,2,0)，DP →＝(0，－2,2)，由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A -PC -D 的平面角是锐角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为155.21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面P AD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E -BD -C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，P A ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ， 即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b22＝0，则b ＝2a .①PD→＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a222a·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a,0)，BC →＝(a,2a,0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E -BD -C 的余弦值为66.22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE→＝(1,1,0)． (1)当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC1→＝(－2,0,2)． 所以BC1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ， 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧FE →·n＝0，FP→·n＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2 2，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-= A ．OA B ．AB C ．OCD ．AC2．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝－2，则x 的值是 A ．6 B ．5 C ．4D ．33．与向量(2,3,6)=a 共线的单位向量是A ．236(,,)777 B ．236(,,)777--- C ．236(,,)777--和236(,,)777-D ．236(,,)777和236(,,)777---4．设l 1的方向向量为a ＝(1，2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2，3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．1D ．125．已知++=0a b c ，2=a ，3=b ，4=c ，则向量a 与b 之间的夹角,<>a b 为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．以上都不对6．已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则OP =A ．111663++a b c B ．111633++a b c C ．111333++a b cD ．111366++a b c7．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(2)()DB DC DA AB AC +-⋅-0=，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为 A ．a B ．a C ．aD ．a9．已知()()()2,1,3,1,4,2,7,5,,λ=-=--=a b c 若,,a b c 三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为 A ．0 B ．357 C ．9D ．65710．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是A ．2B ．3C ．5D ．711．已知空间四个点A (1，1，1)，B (－4，0，2)，C (－3，－1，0)，D (－1，0，4)，则直线AD 与平面ABC所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°12．已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别为_________________、_________________． 14．已知向量(4,,1)k k =-a ，3(2,1,)2=-b ，若ab ，则k =_________________．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为_________________． 16．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面； ③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ． 其中不正确的命题为_________________．（填序号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{,,}i j k 是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．18．如图所示,四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,试判断与是否共线.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M ，N ，E ，F ，S 分别为1CC ，11B C ，BC ，11C D ，11A B的中点，求证：（1）直线SE ∥平面1A BD ； （2）平面MNF ∥平面1A BD ．20．如图，已知P A 垂直于正方形ABCD 所成平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且P A =AD =2．（1）求M ，N 两点之间的距离； （2）求证：MN ⊥平面PCD ； （3）求直线P A 与MN 所成的角．21．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=︒，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60︒．（1）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．设2AB =． （1）求二面角1E AC D --的大小；（2）在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=．故选C ． 2．【答案】D【解析】a ·b ＝－3＋2x －5＝－2，∴x ＝3．故选D ． 3．【答案】D 【解析】2222367=++=a ，∴与a 共线的单位向量是17±(2，3，6)，故选D ． 4．【答案】B【解析】∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由已知++=0a b c ，得+=-a b c ，则2222()2+=++⋅=a b a b a b c ，由此可得32⋅=a b ． 从而1cos ,4⋅==<>a b a b a b ．故选D ． 6．【答案】B7．【答案】B【解析】∵2()()DB DC DA DB DA DC DA AB AC +-=-+-=+，∴22(2)()()()0DB DC DA AB AC AB AC AB AC AB AC +-⋅-=+⋅-=-=， ∴AB AC =，故ABC △是等腰三角形，故选B ． 8．【答案】D【解析】由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1,则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离.显然A 1C ⊥平面AB 1D 1,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则易得平面AB 1D 1的一个法向量为n =(1,-1,1),A (a ,0,0),B (a ,a ,0),=(0,-a ,0),则两平面间的距离为d =|3|33a BA a ⋅==n n .9．【答案】D10．【答案】C【解析】因为11EF EA AA A F=++，所以222221111()2EF EA AA A F EA AA A F EA =++=+++⋅ 2221111221210211cos12005AA EA A F AA A F +⋅+⋅=++++⨯⨯⨯︒+=，所以||5EF =，即EF =5．故选C ．11．【答案】A【解析】设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =n ，∵()5,1,1AB =--，()4,2,1AC =---，由0AB ⋅=n 及0AC ⋅=n ，得50,420,x y z x y z --+=⎧⎨---=⎩ 令z ＝1，得12x =，32y =-，∴n ＝(12，32-，1)．()2,1,3AD =--， 设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则31312sin 214142AD AD θ-++⋅===⨯n n，∴θ＝30°．故选A ． 12．【答案】B【解析】过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．故选B ．13．【答案】(1，－2，1) (－5，7，7)【解析】依题意知，a ＝(－1，1，3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2，1)，a －2b ＝(－1，1，3)－2(2，－3，－2)＝(－5，7，7)． 14．【答案】2-【解析】由(4,,1)kk =-a ，3(2,1,)2=-b 及a b ，可知存在实数λ满足λ=a b ，即(4,,1)k k-=3(2,1,)2λ-，即42λ=-且kλ=且312kλ-=，解得2k=-．故填2-．15．【答案】60°【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，16．【答案】①②③④【解析】①a，b所在的直线可能重合，所以①错；②空间任意两个向量均共面，所以②错；③以空间向量的一组基底{a，b，c}为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错；④当a，b，c共面时，不成立，所以④错．故不正确的命题为①②③④．17．【解析】存在，理由如下：假设a4＝a a1＋b a2＋c a3成立，由已知可得a1＝(2，－1，1)，a2＝(1，3，－2)，a3＝(－2，1，－3)，a4＝(3，2，5)，可得(2a＋b－2c，－a＋3b＋c，a－2b－3c)＝(3，2，5)，∴22332235a b ca b ca b c+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，解得a ＝－2，b ＝1，c ＝－3，故a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3， 所以a ，b ，c 存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3．19．【解析】如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为2，则(0,0,0)D ，1(2,0,2)A ，(2,2,0)B ，(2,1,2)S ，(1,2,0)E ，(0,2,1)M ，(1,2,2)N ，(0,1,2)F ．（1）易得1(0,2,2)A B =-，1(2,0,2)A D =--， 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则11AB A D ⎧⎪⎨⎪⎩⊥⊥n n ，即11220220A B y z A D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩n n ，取1x =，得1y =-，1z =-，所以平面1A BD 的一个法向量为(1,1,1)=--n ．又(1,1,2)SE =--，所以(1,1,2)(1,1,1)0SE ⋅=--⋅--=n ， 所以SE ⊥n ，显然SE 不在平面1A BD 内，所以SE ∥平面1A BD ．20．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ．由题意易得(0,0,0)A ，(2,0,0)D -，(2,2,0)C -，(0,0,2)P ，(0,1,0)M ，(1,1,1)N -， （1）由题易得(1,0,1)MN =-，故M ，N 两点之间的距离为222||(1)012MN =-++=． （2）由题易得(2,0,2)PD =--，(0,2,0)CD =-． 因为0MN PD ⋅=，所以MN PD ⊥，即MN PD ⊥， 因为0MN CD ⋅=，所以MN CD ⊥，即MN CD ⊥， 又PDCD D =，所以MN ⊥平面PCD ．（3）由题易得(0,0,2)AP =，因为(1,0,1)MN =-，所以22222cos ,2||||2(1)1AP MN AP MN AP MN ⋅===-+<>，所以,45AP MN =︒<>，故直线PA 与MN 所成的角为45︒．21．【解析】（1）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ．又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF⊥平面EFDC ． （2）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ， 由（1）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，||GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz ．所以(1,0,3)EC =，(0,4,0)EB =，(3,4,3)AC =--，(4,0,0)AB =-．设(,,)x y z =n 是平面BCE 的法向量，则00EC EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,3)=-n ． 设m 是平面ABCD 的法向量，同理可取(0,3,4)=m ，所以219cos ,19⋅==-<>m n m n |m ||n |，易知二面角E BC A --为钝角，故二面角E BC A --的余弦值为21919-． 22．【解析】（1）设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，1112cos ,==2D ED E D E ⋅∴⋅m m m ，。

3章末一、选择题1．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角 [答案] B[解析] ∵AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0，∴AP →⊥平面ABCD .2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° [答案] B[解析] 如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，设高为h ，则AB ＝2h ，可得A ⎝⎛⎭⎫0，－22h ，h ，B ⎝⎛⎭⎫0，22h ，h ， B 1⎝⎛⎭⎫0，22h ，0，C 1⎝⎛⎭⎫62h ，0，0，这样AB 1→＝(0，2h ，－h )， BC 1→＝⎝⎛⎭⎫62h ，－22h ，－h ，由空间向量的夹角公式即可得到结果．3．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1棱上，且BD ＝1.若AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则α等于( )A.π3B.π4 C ．arcsin104D ．arcsin 64 [答案] D[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则A (12，0,0)，B (0，32，0)，D (0，32，1)∵OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的法向量为OB →＝(0，32，0)，又AD → ＝(－12，32，1) ∴OB →·AD →＝34，|OB →|＝32，|AD →|＝2， 由向量夹角公式知cos 〈OB →，AD →〉＝3432·2＝64， ∵α＝π2－〈OB →，AD →〉， ∵sin α＝sin(π2－〈OB →，AD →〉)＝cos 〈OB →，AD →〉＝64. ∴α＝arcsin 64. 4．如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为( )A.1314B.9114C.9128D.7812[答案] B[解析] 如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D 1AC 即为所求，即为向量AD 1→与AC→所成的角．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则由条件知|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，b·c ＝2×1×12＝1，a·c ＝2×3×12＝3，b·c ＝1×3×12＝32. ∵AD 1→＝b ＋c ，AC →＝a ＋b ， ∴|AD 1→|2＝12＋32＋2·32＝13， |AC →|2＝22＋12＋2·1＝7.∴AD 1→·AC →＝132， ∴cos 〈AD 1→，AC →〉＝9114.故选B. 二、解答题5．如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．[解析] 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)、B (0,2,0)、C (1,1,0)、D (1,0,0)、P (0,0,1)、M ⎝⎛⎭⎫0，1，12.(1)证明：∵AP →＝(0,0,1)，DC →＝(0,1,0)，故AP →·DC →＝0，∴AP ⊥DC .又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)解：∵AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，∴|AC →|＝2，PB →＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为105. (3)解：在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，NC →＝(1－x,1－y ，－z )，MC →＝⎝⎛1，0，－12， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ. 要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0， 解得λ＝45. 可知当λ＝45时，N 点坐标为⎝⎛⎭⎫15，1，25， 能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝⎝⎛⎭⎫15，1，25，BN →＝⎝⎛⎭⎫15，－1，25， 有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC .∴∠ANB 为所求二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305.AN →·BN →＝－45. ∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23. 故所求的二面角的余弦值为－23. 6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.[证明]以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为1，则有D ＝(0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，1，0)＝0(x ，y ，z )·(0，1，1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)．(1)n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n ⊥AD 1→.又AD 1⊄平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1.(2)因为n ＝(1，－1,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)，知A 1C →＝－n ，即n ∥A 1C →，所以A 1C ⊥平面BDC 1.。

章末综合测评(三) 统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法中错误的是( )A ．如果变量x 与y 之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )将散布在某一条直线的附近B ．如果两个变量x 与y 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程C ．设x ，y 是具有相关关系的两个变量，且y 关于x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a^，b ^叫做回归系数 D ．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量y 与x 之间是否存在线性相关关系【解析】 任何一组(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都能写出一个线性方程，只是有的不存在线性关系．【答案】 B2.如图1所示，有5组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最大( )图1A ．EB ．C C ．DD ．A【解析】 由题图易知A ，B ，C ，D 四点大致在一条直线上，而E 点偏离最远，故去掉E 点后剩下的数据的线性相关性最大．【答案】 A3．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，14时，变量y 的值分别为2,3,4,5，则y 与1x 的回归曲线方程为( )A.y ^＝1x ＋1B.y ^＝2x ＋3C.y ^＝2x ＋1D.y ^＝x －1【解析】 由数据可得，四个点都在曲线y ^＝1x ＋1上． 【答案】 A 4．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R 2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．【答案】 D5．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )A BC D【解析】 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．【答案】 D6．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大()A.aa＋b与cc＋dB.ac＋d与ca＋bC.aa＋d与cb＋cD.ab＋d与ca＋c【解析】当ad与bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时a a＋b与cc＋d相差越大．【答案】 A7．如图2,5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()图2A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【解析】由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．【答案】 B8．(2016·安庆一中期中)在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是()A.在此次调查中有B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D ．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【解析】 由表中数据得k ＝30×(6×9－8×7)214×16×13×17≈0.002 42<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D. 【答案】 D9．某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e (单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿B ．9亿C ．10.5亿D ．9.5亿【解析】 代入数据得y ＝10＋e ，∵|e |<0.5， ∴|y |<10.5，故不会超过10.5亿． 【答案】 C10．(2016·合肥高二检测)废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋3x ，表明( )A ．废品率每增加1%，生铁成本增加259元B ．废品率每增加1%，生铁成本增加3元C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元D ．废品率不变，生铁成本为256元【解析】 回归方程的系数b ^表示x 每增加一个单位，y ^平均增加b ^个单位，当x 为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．【答案】 C11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′【解析】 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b^＝∑i ＝16x i y i －6x －y －∑i ＝16x 2i －6x－2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b^<b ′，a ^>a ′.【答案】 C12．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 附：【解析】 2×2故K 2的观测值k ＝31×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.把选项A ，B ，C ，D 代入验证可知选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知一回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,19}，则y ＝________.【解析】因为x＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，且y＝1.5x＋45，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】58.514．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：．【解析】根据列联表中的数据，得到k＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103≈10.76.【答案】10.7615．(2016·深圳高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9.．【解析】由表知x＝30，设模糊不清的数据为m，则y＝15(62＋m＋75＋81＋89)＝307＋m5，因为y＝0.67x＋54.9，即307＋m5＝0.67×30＋54.9，解得m＝68.【答案】6816．某地区恩格尔系数Y(%)与年份x的统计数据如下表：从散点图可以看出Y与x线性相关，且可得回归方程为y＝b x＋4 055.25，据此模型可预测2017年该地区的恩格尔系数Y(%)为________．【解析】由表可知x＝2 007.5，y＝44.25.因为y＝b^x＋4 055.25，即44.25＝2 007.5b^＋4 055.25，所以b^≈－2，所以回归方程为y^＝－2x＋4 055.25，令x＝2 017，得y^＝21.25.【答案】21.25三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表.(1)①y＝0.429 4x－25.318，②y＝2.004e0.019 7x.通过计算，得到它们的相关指数分别是：R21＝0.9311，R22＝0.998.试问哪个回归方程拟合效果更好？(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？【解】(1)∵R22>R21，∴选择第二个方程拟合效果更好．(2)把x＝175代入y＝2.004e0.019 7x，得y＝62.97，由于7862.97＝1.24>1.2，所以这名男生偏胖．18．(本小题满分12分)关于x与y有如下数据：为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型y^＝6.5x ＋17.5，乙模型y^＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．【解】R21＝1－∑5i＝1(y i－y^i)2∑5i＝1(y i－y)2＝1－1551 000＝0.845，R22＝1－∑5i＝1(y i－y^i)2∑5i＝1(y i－y)2＝1－1801 000＝0.82.又∵84.5%>82%，∴甲选用的模型拟合效果更好．19．(本小题满分12分)为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在生产现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件；甲不在生产现场时，510件产品中合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响？【解】(1)2×2列联表如下：度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为k＝1 500×(982×17－493×8)2990×510×1 475×25≈13.097>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系．20．(本小题满分12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a均为大于0.1的前提下认为x与y之间有关系？【解】查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而k＝65×[a(30＋a)－(20－a)(15－a)]2 20×45×15×50＝65×(65a－300)220×45×15×50＝13×(13a－60)260×90.故k≥2.706，得a≥7.19或a≤2.04.又a>5且15－a>5，a∈Z，解得a＝8或9，故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．21．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝∑ni＝1(t i－t)(y i－y－)∑ni＝1(t i－t)2，a^＝y－－b^t.【解】(1)由所给数据计算得t＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y－＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑7i ＝1 (t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得 y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．。

数学选修2—1第三章测试题考试时间：120分钟 总分：150分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在下列命题中：①若向量a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若向量a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ． 其中正确命题的个数为 （ ）A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===则=CD ( )A ．c b a -+B.c b a --C ．c b a +--D ．c b a ++-3、已知平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A ．)1,4,27(-B ．(2，3，1)C ．(－3，1，5)D ．(5，13，－3)4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，若b a ⊥，则x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±65、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，若b a //，则m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 6、已知向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7、若斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，则AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°8、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ）A ．627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC 与平面APB所成角的余弦值为( )A ．21B ．36C ．33D ．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13、已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）²a =____________．14、已知)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为____________． 15、平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为____________．16、下列命题中：(1)0=⋅b a 则a ＝0或b ＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅；(4)若a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，则它们必垂直．其中真命题的序号是____________．数学选修2—1第三章测试题第II 卷班级： 姓名： 总分：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 123456789101112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤） 17、（满分14分）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN18、（满分14分）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求MN的长；（2）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.19、（满分14分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为AA1, AB的中点,求EF和平面ACC1A1的夹角大小.20、（满分14分）已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点.求证:(1) FC1∥平面ADE(2)平面ADE∥平面B1C1F21、（满分14分）如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中, AB= AA1=1,BC=错误！未找到引用源。

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数1＋2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.32 B.32i C.12 D.12解析：选C.1＋2i 1＋i ＝（1＋2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i 2＝32＋i 2，所以虚部是12，选C. 2.设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.(a ＋i)2i ＝[(a 2－1)＋2a i]i ＝(a 2－1)i －2a ，因为(a ＋i)2i 是正实数，所以a 2－1＝0且2a ＜0，所以a ＝－1.3.使复数z 为实数的充分而不必要条件是( )A ．z ＝zB ．|z |＝zC ．z 2为实数D ．z ＋z 为实数解析：选B.z ＝z ⇔z ∈R ；|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2；z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i ；对于任何z ，z ＋z 都是实数．4.已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选C.m 1＋i ＝m （1－i ）2＝m 2－m 2i ＝1－n i ，可以解得m ＝2，n ＝1.选C. 5.在复平面内，复数1＋i （1－i ）2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝i ＋i 2－2i 2＝－12＋12i ， ∴其对应的点位于第二象限．6.复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆解析：选C.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|.∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0，∴复数z 的对应点的轨迹为圆．7.设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·…·i 12，则z 1，z 2的关系是( )A ．z 1＝z 2B ．z 1＝－z 2C ．z 1＝1＋z 2D ．无法确定解析：选A.z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i＝i 4＝1， z 2＝i 4＋5＋6＋7＋…＋12＝i 72＝1.8.已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y 的值为( )A ．－4B ．4C ．－1D ．1解析：选A.由(x －1)i －y ＝2＋i ，得x ＝2，y ＝－2，所以(1＋i)x －y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.9.已知z ＝(2－i)3，则z ·z ＝( )A ．25B ．125C ．10D ．225解析：选B.z ·z ＝|z |2＝|(2－i)3|2＝(5)6＝125.10.在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D.CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D.11.定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3iC ．3＋iD ．－1－3i解析：选D.由已知得z i －z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i －1＋i ＝（4＋2i ）（－1－i ）2＝－1－3i. 12.已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －i ，x ∈R ，1x，x ∉R ，则f [f (2)]在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A.由函数的解析式知：f (2)＝2－i ，f [f (2)]＝f (2－i)＝12－i ＝2＋i 5＝25＋15i ，所以 f [f (2)]在复平面内的对应点位于第一象限．二、填空题(本大题共4小题，把正确答案填在题中横线上)13.计算(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝________． 解析：(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝(2－i)－(2i 2)11＝2－i －i 11＝2－i ＋i ＝2. 答案：214.若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________． 解析：∵(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2015.若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数m 的值是________． 解析：复数z 对应点的坐标为(m －1，m ＋2)，该点在直线2x －y ＝0上，得到m ＝4. 答案：416.给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；③若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是__________．(写出你认为正确的所有命题的序号)解析：①错误；②若a ＝－1，(a ＋1)i ＝0，错误；③z ＝1ii ，z 3＋1＝－i 3＋1＝i ＋1，正确． 答案：③三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.当m 为何实数时，复数z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i ，(1)当m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)当m ≠1且m ≠2时，z 是虚数．(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）（m －2）≠0，（2m ＋1）（m －2）＝0，即当m ＝－12时，z 是纯虚数． 18.已知z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i. (1)求|z |；(2)z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝6－3i －2i －15＝1－i ， ∴(1)|z |＝|1－i|＝ 2.(2)由z 2＋az ＋b ＝1＋i 得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即a ＋b ＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－2－a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4. 19.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2，6)．20.如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数；(2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．解：(1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ，∴AO →表示的复数－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋（－2）2＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.21.已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 解：(1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－2sin 2θ·i.(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)，由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12. 所以sin 2θ＝14，则sin θ＝±12. 由于θ∈(0，2π)，所以θ＝π6，56π，76，116π. 22.已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值？并求出|z |的最小值． 解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b .解得a ＝b ＝3. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。

章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】 A2.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A.2－3iB.2＋3iC.3＋2iD.3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】 A3.若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是()【导学号：37820051】A.2B.3C.4D.5【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为42＋（－3）2＝5.【答案】 D4.已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝25（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i，故选D.【答案】 D5. “m ＝1”是“复数z ＝(1＋m i)(1＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 z ＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i ＋m i －m ＝(1－m )＋(1＋m )i ，若m ＝1，则z ＝2i 为纯虚数；若z 为纯虚数，则m ＝1.故选C.【答案】 C6.设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A.实轴上B.虚轴上C.直线y ＝±x (x ≠0)上D.以上都不对【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在复平面上的对应点在直线y ＝±x (x ≠0)上. 【答案】 C7.设复数z 满足1－z 1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( )A.0B.1C. 2D.2【解析】 ∵1－z1＋z＝i ， ∴z ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，∴|z ＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C8.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z －i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9.若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎨⎧sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1， ∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】 D10.当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值是( )A.1B.－1C.iD.－i 【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】 D11.在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A.3＋iB.3－iC.1－3iD.－1＋3i【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (－2，1)，O (0，0)，∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )， 则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1，2). ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2， ∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，∴第四个顶点C 的坐标为(－1，3). 【答案】 D12.复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】 由于|z |＝2，所以（x －2）2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2，0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形（图略）易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.) 13. i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________. 【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0，1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －214.复数z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________.【解析】 ∵z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1，0)，Q (2，1)，∴PQ →＝(3，1)，即PQ →对应的复数为3＋i. 【答案】 3＋i 15.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于___________________________________________.【解析】 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝（3＋2i ）（－1－2i ）（－1＋2i ）（－1－2i ）＝15－85i.【答案】 15－85i16.复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________.【导学号：37820052】【解析】 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝（a －2）2＋（a ＋1）2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92， 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值.【解】 ∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， ∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，∴⎩⎨⎧x 2＋x －2＝4，x 2－3x ＋2＝20，∴x ＝－3.18.(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m1－i －2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数.【解】 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数.(2)当⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数.19.(本小题满分12分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3（1－i ）2＋i＝3－i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（a ＋2）＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.20.(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【导学号：37820053】【解】 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积. 【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. ∴点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 即△ABC 的面积为1.22.(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.【解】 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，∴⎩⎨⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴复数z 对应的点Z 的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值， ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值且|z |min ＝ 2.。

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各命题中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x ≥0B ．如果x <5，则x <2C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，x 2＋1≠0解析：选D.A 中，若x 取负数，x ≥0不成立，故A 错；B 中，若取x ＝4<5，x <2不成立，故B 错；C 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 错；D 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故x 2＋1≠0成立．2.“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.函数f (x )＝x 2－2ax ＋3的对称轴为直线x ＝a ，若函数在区间[1，＋∞)上递增，则a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的充分不必要条件．3.已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧q解析：选D.因为当x ∈(－∞，0)时，2x >3x，所以命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以¬p 为真命题，所以(¬p )∧q 为真命题．4.以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 解析：选D.双曲线x 24－y 212＝－1即y 212－x24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D.渐近线方程为：y ＝±12x ，∴b a ＝12，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴e ＝52.故选D.6.已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段解析：选A.∵P 为MF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 7.下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 均为0”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题； ③“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题；④“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④解析：选C.①的逆命题为“若实数x 、y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，是正确的；∵“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”是正确的，∴它的逆否命题也正确．8.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点M 是准线l 上的点，且|MF |＝4(如图)，则线段MF 与抛物线的交点的横坐标为( )A ．3 B.13C.12D.14解析：选B.易得∠MFO ＝60°，那么直线MF 的方程为y ＝－3(x －1)，代入y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，则x ＝13，或x ＝3(由题图舍去)．9.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成角的余弦值是( )A ．－15 B.15C.265D.25解析：选B.取DD 1的中点H ，连接AH ，设正方体的棱长为2，则在△AEH 中，AH ＝AE ＝5，HE ＝22，所以cos ∠EAH ＝5＋5－82×5＝15.10.已知点M 是抛物线y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.由题意可知，焦点坐标为F (0，1)， 准线方程为l ：y ＝－1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义， 得|MF |＝|MH |.∴|MA |＋|MF |＝|MH |＋|MA |，当C 、M 、H 、A 四点共线时，|MA |＝|MC |－1，|MH |＋|MC |有最小值，于是，|MA |＋|MF |的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.11.在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.33C.21060D.21030解析：选D.∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 设AB ＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0. 设OP ＝h ，则P (0，0，h )，∵PA ＝2a ，∴h ＝72a ＝142a .∴OD →＝⎝⎛⎭⎫－24a ，0，144a .可以求得平面PBC 的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，77，∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.12.设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1 D. 5解析：选C.双曲线方程化为x 24a －y2a＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ，①由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ，②又∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1.二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.条件甲：“k <－66或k >66”；条件乙：“kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立”，则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中需删除的一部分是________．解析：当k ＝0时，kx 2－2x ＋6k ＝－2x ，不满足题意，当k ≠0时，若kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. 所以命题甲的条件中需删除的一部分是k >66. 答案：k >6614.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是________．解析：由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，b 2a 2＝2·ca，即c 2a 2－2ca－1＝0.∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 答案：1＋ 215.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|为________．解析：根据题意知A 点为直线y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2与抛物线y 2＝2px 的两个交点中横坐标较大的那个，联立方程组求出x 1＝16p ，x 2＝32p ，故点A 坐标为⎝⎛⎭⎫32p ，3p ，则|OA →|＝94p 2＋3p 2＝212p . 答案：212p16.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：建系如图，则M (1，12，1)，N (1，1，12)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25答案：25三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知p ：方程x 2k －4＋y 2k －6＝1表示双曲线，q ：过点M (2，1)的直线与椭圆x 25＋y 2k＝1恒有公共点，若p ∧q 为真命题，求k 的取值范围．解：由p 得：(k －4)·(k －6)<0，∴4<k <6，由q 得：⎩⎪⎨⎪⎧225＋12k ≤1，k ≠5，∴k >5.又p ∧q 为真命题，则5<k <6，所以k 的取值范围是(5，6)．18.已知p ：x 2－6x －27≤0，q ：|x －1|≤m (m >0)，若q 是p 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由p 得－3≤x ≤9， 由q 得－m ＋1≤x ≤m ＋1， ∵q 是p 的必要而不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－31＋m ≥9得m ≥8. 又因为m ＝8时命题成立． ∴实数m 的取值范围是m ≥8. 19.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为DD 1、BD 、BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥平面AB 1C ；(2)求EF 与CG 所成的角的余弦值．解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，G (2，2，1)．(1)证明：EF →＝(1，1，－1)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)， ∵EF →·AC →＝0，∴EF ⊥AC ， ∵EF →·AB 1→＝0，∴EF ⊥AB 1，又AC ∩AB 1＝A ，∴EF ⊥平面AB 1C .(2)∵CG →＝(2，0，1)，∴cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1515，所以EF 与CG 所成的角的余弦值为1515.20.已知抛物线C ：y 2＝ax 的焦点与双曲线x 22－y 221的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点A (2，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线C 交于M 、N 两点，判断∠MON 是否为直角．若∠MON 为直角，请给出证明；若不是直角，请说明理由．解：(1)∵双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2，0)，可知抛物线的焦点为(2，0)，故a4＝2，∴a ＝8.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)依题意，直线的斜率为tan π4＝1，∴直线方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝x －2，消去y 得x 2－12x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则可知x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4. 又OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－12， ∴OM →·ON →≠0，∴OM ⊥ON 不成立，即∠MON 不是直角．21.如图，正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求直线AB 与平面EBC 所成角的大小； (3)求锐二面角A -BE -C 的大小．解：依题可知，CA ，CB ，CD 两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz ，设正方形边长为1，则AC ＝BC ＝1.C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，0，1)，E (1，0，1)， M ⎝⎛⎭⎫12，0，12.(1)证明：AM →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12， CB →＝(0，1，0)，CE →＝(1，0，1)， ∴AM →·CB →＝0，AM →·CE →＝0，∴AM →⊥CB →，AM →⊥CE →， ∴AM ⊥CB ，AM ⊥CE 且CB ∩CE ＝C ， ∴AM ⊥平面EBC .(2)由(1)知AM →为平面EBC 的一个法向量，AB →＝(－1，1，0)，设所求角大小为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝12，∴直线AB 与平面EBC 所成的角的大小为30°.(3)设m ＝(x ，y ，z )为平面AEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0m ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，z ＝0.取m ＝(1，1，0)，则|cos 〈AM →，m 〉|＝12，所以锐二面角A -BE -C 的大小为60°.22.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，解得c ＝ 2.由a 2＝b 2＋c 2，得b ＝1.∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由已知|m |1＋k2＝32，可得m 2＝34(k 2＋1)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. Δ＝(6km )2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，(*)∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k 2.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（k 2＋1）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（k 2＋1）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6 ＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.经检验，k ＝±33满足(*)式．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上可知|AB |max ＝2，∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取最大值S ＝12×2×32＝32.。

第三章空间向量与立体几何(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )①＋＋＋；②＋＋＋＋；③＋＋；④－＋＋.．②③．①②．①④．②④解析：①中，原式＝＋＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；②中，原式＝(＋＋＋)＋(＋＋)＝；③中，原式＝，不符合题意；④中，原式＝(－)＋(－)＝.故选.答案：．已知向量＝()，＝(，，)分别是直线，的方向向量，若∥，则( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝解析：∵∥，∴∥，则＝＝，∴＝，＝.答案：．在下列四个命题中，真命题为( )．已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一地写成＝＋＋．若，，三向量两两不共线，则空间任意一个向量总可以写成＝＋＋．若，，不共面，则空间任意一个向量总可以唯一地写成＝＋＋．若，，三向量两两不共线，则＋＋＝的充要条件是＝＝＝解析：对于空间作为基底的三向量，，必须要有限制，即不共面，故正确．答案：．若两点(－－)，(，＋－)，当取最小值时，的值等于( )．－．解析：＝(－－，－＋)，则＝＝＝.故当＝时，取最小值．答案：．已知(，－)，(，－)，(，－)，则与的夹角为( )．°．°．°．°解析：＝()，＝(－)，＝，＝，·＝，∴〈，〉＝＝，∴〈，〉＝°.答案：．已知向量＝，＝，则平面的一个法向量是( )．(，－)．(－，－)．(－，－，－)．(－，－)解析：设平面的法向量＝(，，)，则(\\(·(,\(→))＝，·(,\(→))＝，))即(\\(＝－()，＝()，))令＝，则＝(，－)，由于(－，－)＝－(，－)，可知选项符合．答案：．已知空间三点()，(－)，(，－)．若＝，且分别与，垂直，则向量为( )．()．(－，－，－)或()．(，－)或(－，－)．(－，－，－)解析：设＝(，，)，＝(－，－)，＝(，－)，则(\\(＋＋＝，,－－＋＝，－＋＝，))解得＝()或(－，－，－)．答案：．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则·的值为( )．解析：如下图，＝(＋)，＝，·＝(·＋·)。

一、选择题1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒∠=∠=，若2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±2．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±3．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ．23B ．2C ．34D ．34．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．5．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A B ．15C ．14D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ）A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．39．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C．(6π-D ．54π 10．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-11．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）ABCD12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在xM 在C 上，且12MF MF ⊥，MC 的方程为（ ）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________．16．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 17．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线()31y x =-对称，则a =_____.18．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________．19．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，已知两个顶点A 、D 为双曲线W 的两个焦点，其余四个顶点都在双曲线上，则双曲线W 的离心率为________________；20．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=； （Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F 32a b =，其中A 为左顶点，O 为坐标原点．（1）求椭圆离心率e 的值；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线相切，圆心C 在直线1x =上，且//OC AP ，求椭圆方程．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B 3AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.25．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值. 26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据2132MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF NMF NS S=，然后用面积公式将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出ba的值，进而可得渐近线方程. 【详解】∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴212F N NF =， ∴122F N F N =，∴122MF NMF NS S=．∵111||sin 302MF NSMF MN ︒=⋅⋅⋅，221||sin 302MF NS MF MN ︒=⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，∴ 则124,2MF a MF a ==．在12MF F △中，由余弦定理得，222224164812c a a a a =+-=，故223c a =，∴222b a =，∴ba=，故所求渐近线方程为y =， 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.2．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则2NP b ==，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值． 【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．4．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，212PF FF =，A 为1PF中点，21AF PF ∴⊥， 圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PFF F PF c a -=-=， 1112AF PF a c ∴==+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2222112AF AF F F ∴+=，即()22244a a c c ++=，整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：53e =或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为53.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.9．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1125225O l d -==，圆C 面积的最小值为22545ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.10．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12， 所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．C解析：C 【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.12．C解析：C 【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =， 由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=， ∴24tan tan 21()b b b a a BOA BOF b a a+∠==∠=-， 整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．故答案为：2【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.15．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin 10PF F ∠=，12cos 10PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos 5PF F F PF F =∠=，21212sin 5PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C 的离心率为c a =【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.17．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)31y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)31y x =-对称， 所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ， 003122y x a， 且MN 与直线垂直，0031y x a， 联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去）， 3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.18．1【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得再由三角形面积公式可得结果【详解】因为是椭圆的两个焦点点在椭圆上且满足所以所以则的面积等于故答案为：1【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质意在考查学生灵活应解析：1 【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=， 所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=， 则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.19．【分析】利用余弦定理求得由双曲线的定义可得的值由此求出的值【详解】解：设正六边形的边长为1中心为以所在直线为轴以为原点建立直角坐标系则在中由余弦定理得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的 1【分析】利用余弦定理求得AE ，由双曲线的定义可得2a AE DE =- 的值，由此求出e 的值． 【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为O ，以AD 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立直角坐标系，则1c =，在AEF ∆中，由余弦定理得22212cos120112()32AE AF EF AF EF =+-︒=+--=，3AE ∴=，231a AE DE =-=-，312a -∴=， 131312c e a∴===+-， 故答案为：31+．【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，计算2a AE DE =- 的值是解题的关键．20．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是 解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程． 【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =． 所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a = 所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立， 若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=， 整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而20000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ． 联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-． 由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）12；（2）22413y x +=．【分析】（1）由已知等式结合222a b c =+可得离心率ca； （2）由（1）可得椭圆方程为2222143x y c c+=，写出直线l 方程，与椭圆方程联立可求得交点P 坐标，由//OC AP ，求得C 点坐标，这样由圆与x 轴相切得半径，再由圆与直线l 相切，可求得c ，从而得椭圆方程． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c由2222b a b c ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得12c e a == （2）由（1）知2,a c b ==故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意(),0F c -，则直线l 的方程为()34y x c =+ 点P 的坐标满足()222214334x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简得到2276130x cx c +-=解得1=x c 或2137cx =-(舍) 代入到l 的方程解得132y c =，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭由圆心C 在直线1x =上，可设()1,C t因为(),2,0OC AP A c -∥，故3212ct c c=+，可得12t=因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为12R = 又由圆C 与l相切，圆心到直线的距离12d =，可得12c =所以，1,a b ==椭圆的方程为22413y x +=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，求椭圆方程，只要知道关于,,a b c 的齐次等式即可求得离心率，用参数c 写出椭圆方程和直线方程，求出交点P 的坐标，从而可得圆心坐标，利用直线与圆相切是解题关键．24．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以⎧=⎪⎪=2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-.所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积. 25．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案. 【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=， 因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=， 所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -，则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭，当87x时，PD7=. 因为圆D17=.所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证； （2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解. 【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---， 即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立， 得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△故有122S S = 【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。

(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能是实数也可能是虚数D ．纯虚数解析：选B.由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数．2．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|A B→|＝( )A.2B ．2C.10D ．4解析：选B.由题意知OA →＝(1,1)，OB →＝(1,3)∴AB →＝OB →－OA →＝(0,2)，∴|AB →|＝2.3．使复数为实数的充分而不必要条件是( )A ．z ＝zB ．|z |＝zC ．z 2为实数D ．z ＋z 为实数 解析：选B.z ＝z ⇔z ∈R ；|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2；z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i ；对于任何z ，z ＋z 都是实数．4．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.5．|z |＝1，要使1－i ＋z 的模最大，则z 等于( )A.22＋22i B ．－22＋22i C ．－22－22i D.22－22i 解析：选D.设ω＝1－i ＋z ，则z ＝ω－(1－i)．又|z |＝1，∴|ω－(1－i)|＝1，∴ω对应的点在以1－i 对应的点为圆心，以1为半径的圆上．如图，由平面几何知识知|ω|的最大值为2＋1，此时ω＝(2＋1)(22－22i)＝1＋22－(1＋22)i ， ∴z ＝22－22i.6．在复平面内，复数1＋i(1－i )2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵1＋i (1－i )2＝1＋i －2i ＝i ＋i 2－2i 2＝－12＋12i ，∴其对应的点位于第二象限．7．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆解析：选C.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|.∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0，∴复数z 的对应点的轨迹为圆．8．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 解析：选D.z 100＋z 50＋1＝(－1－i 2)100＋(－1－i 2)50＋1＝(1－i )100250＋(1－i )50225＋1＝(－2i )50250＋(－2i )25225＋1＝－i.9．设集合A ＝{z |z ∈C 且1＜|z |≤10}，则在下列四个复数中，不属于A 的复数的是() A ．z 1＝cos60°＋isin30°B ．z 2＝cos30°＋isin60°C ．z 3＝10cos60°＋(10sin30°)iD ．z 4＝10cos60°＋(10sin60°)i解析：选A.由于z 1＝cos60°＋isin30°＝12＋12i ，∴|z 1|＝22＜1，所以z 1∉A . 10．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·…·i 12，则z 1，z 2的关系是( )A ．z 1＝z 2B ．z 1＝－z 2C ．z 1＝1＋z 2D ．无法确定解析：选A.z 1＝i 4(1－i 9)1－i ＝i 4(1－i )1－i＝i 4＝1， z 2＝i 4＋5＋6＋7＋…＋12＝i 72＝1. 11．已知z ＝(2－i)3，则z ·z ＝( )A ．25B ．125C ．10D ．225解析：选B.z ·z ＝|z |2＝|(2－i)3|2＝(5)6＝125.12．定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．－1－3i解析：选D.由已知得z i －z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i －1＋i ＝(4＋2i )(－1－i )2＝－1－3i. 二、填空题(本大题共4小题．把正确答案填在题中横线上)13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________．解析：∵(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2014．已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部的最大值为__________，虚部的最大值为__________．解析：z 1·z 2＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)．实部为cos θsin θ＋1＝1＋12sin2 θ≤32，所以实部的最大值为32；虚部为cos θ－sin θ＝2sin(π4θ)≤2，所以虚部的最大值为 2. 答案：32 2 15．已知f (z )＝|1＋z |－z 且f (－z )＝10＋3i ，则复数z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则－z ＝－x －y i ，由f (－z )＝10＋3i ，得|1＋(－z )|－(－z )＝10＋3i ，|(1－x )－y i|－(－x ＋y i)＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧ (1－x )2＋y 2＋x ＝10，－y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3. 答案：5－3i16．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是__________．(写出你认为正确的所有命题的序号)解析：①错误；②不符合实数不等式的性质，错误；③若a ＝－1，(a ＋1)i ＝0，错误；④z ＝1i＝－i ，z 3＋1＝－i 3＋1＝i ＋1，正确． 答案：④三、解答题(本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得 a 2＋b 2＝1.由(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，得3a －4b ＝0，且4a ＋3b ≠0. 由⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35，∴z ＝45－35i 或－45＋35i. 18．复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0、z 、z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解：z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i) ＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4. ①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1. ② 又∵z 对应的点在第一象限，∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1. 故所求的值为a ＝－3，b ＝－1.19．已知z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根(a ，b ∈R )．(1)求a ，b 的值；(2)结合根与系数的关系猜测方程的另一个根，并给予证明．解：(1)把z ＝i －1代入z 2＋az ＋b ＝0，得－(a －b )＋(a －2)i ＝0，∴a ＝2，b ＝2.(2)由根与系数的关系可设方程的另一个根为z 2，∴i －1＋z 2＝－2，∴z 2＝－1－i ，把z 2＝－1－i 代入方程得左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴z 2＝－1－i 是方程的另一个根．20．是否存在实数x ，使得(x ＋3i)3＝log2124成立？如果存在，求出x 的值；如果不存在，说明理由．解：∵(x ＋3i)3＝log 2124＝－8，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3i －23＝1， ∴x ＋3i －2＝1或ω或ω⎝⎛⎭⎫其中ω＝－12＋32i . 若x ＋3i －2＝1，则x ∉R ； 若x ＋3i －2＝ω＝－12＋3i 2，则x ∉R ； 若x ＋3i －2＝ω＝－12－3i 2，则x ＝1. 综上，存在实数x 且x ＝1.21．已知两个复数集合M ＝{z |z ＝cos θ＋(4－m 2)i}，N ＝{z |z ＝m ＋(λ＋sin θ)i}(m ，θ∈R )，且M ∩N ≠∅，求实数λ的取值范围．解：∵M ∩N ≠∅，则集合M ，N 中至少有一个相等元素，即有cos θ＋(4－m 2)i ＝m ＋(λ＋sin θ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝m ，4－m 2＝λ＋sin θ，则λ＝4－cos 2θ－sin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ－122＋114.sin θ∈[－1,1]，由二次函数区间最值求法可知，当sin θ＝12时，λmin ＝114；当sin θ＝－1时，λmax ＝5，所以λ∈[114，5]． 22．已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值； (2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值？并求出|z |的最小值． 解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b . 解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．与向量＝(，－)平行的一个向量的坐标是( )．(－，－)．【解析】＝(，－)＝－.【答案】．两平行平面α，β分别经过坐标原点和点()，且两平面的一个法向量＝(－)，则两平面间的距离是( )．．【解析】两平面间的距离＝＝.【答案】．已知(，－，－)，(－)，(，－)，()，令＝，＝，则＋为( )．(，－) ．(－，－)．(，－) ．(，－，－)【解析】＝＝(－，－)，＝＝(－)，∴＋＝(－，－)．【答案】．在平行六面体-中，若＝＋＋，则的值等于( )【导学号：】．．－【解析】∵＝＋－＝＋＋，∴＝，＝，＝－，∴＝－.【答案】．在棱长为的正方体-中，下列结论不正确的是( )＝－．·＝·＝．·＝【解析】如图，∥，⊥，⊥，故，，选项均正确．【答案】．已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“·＝，且·＝”是⊥α的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】若⊥α，则垂直于α内的所有直线，从而有·＝，·＝.反之，由于，是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】．已知△的三个顶点为()，(，－)，()，则边上的中线长为( )．．．．【解析】设的中点为，则()，∴＝(－，－)，∴＝＝，即边上的中线长为.【答案】．若向量＝()，＝(，－)，且与的夹角的余弦值为，则＝( )．．－．－．或－【解析】因为·＝()·(，－)＝－＋＝＋，且与的夹角的余弦值为，所以＝，解得＝或－(舍去)，故选.【答案】.如图，在长方体-中，＝＝，＝，则与平面所成的角的正弦值为( )。

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1. 【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B ．22 C. 3 D ．3 2【解析】 两平面间的距离d ＝|OA →·n ||n |＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA→，b ＝CB→，则a ＋b 为( ) A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc的值等于( )【导学号：15460084】A.16B ．56 C.76 D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－A 1A →＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→B ．AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0 D ．AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B。

章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) .若(＋)＋(－)＝＋(，∈，是虚数单位)，则，的值分别等于( )，，－.－，，－【解析】(＋)＋(－)＝－＝＋，所以＝，＝－.【答案】.若复数＝(－)(是虚数单位)，则＝( )＋－－＋【解析】∵＝(－)＝－＝＋，∴＝－.【答案】.若(＋)＝＋(，∈)，则复数＋的模是( )【导学号：】【解析】由(＋)＝＋，得－＋＝＋，解得＝，＝－，所以复数＋的模为＝.【答案】.已知复数满足(－)＝，则＝( ).－－.－＋－＋【解析】由(－)＝，得＝＝＝＋，故选.【答案】.“＝”是“复数＝(＋)(＋)(∈，为虚数单位)为纯虚数”的( ).充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件【解析】＝(＋)(＋)＝＋＋－＝(－)＋(＋)，若＝，则＝为纯虚数；若为纯虚数，则＝.故选.【答案】.设∈，若为纯虚数，则在复平面上的对应点落在( ).实轴上.虚轴上.直线＝±(≠)上.以上都不对【解析】设＝＋(，∈)，∵＝－＋为纯虚数，∴∴＝±，即在复平面上的对应点在直线＝±(≠)上.【答案】.设复数满足＝，则＋＝( )【解析】∵＝，∴＝＝＝－，∴＋＝－＝.【答案】.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若·＋＝，则＝( )＋－.－＋.－－【解析】设＝＋(，∈)，由·＋＝，得(＋)(－)＋＝(＋)，即(＋)＋＝＋，由复数相等的条件得得∴＝＋.【答案】.若＝θ＋θ(为虚数单位)，则使＝－的θ值可能是( )【解析】＝( θ＋θ)＝(θ－θ)＋θθ＝θ＋θ＝－，∴θ＝，θ＝－，))∴θ＝π＋π(∈)，∴θ＝π＋(∈)，令＝知选.。

第三章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心.A.1 B∴x=1,y=z x+y+z=2,故选C.2.已知i,j,k为单位正交基底,a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于()B.-5C.-3D.-1=(3,2,-1),b=(1,-1,2),故5a=(15,10,-5),3b=(3,-3,6),∴5a·3b=45-30-30=-15.3.已知向量a b=(x,1,2),其中x>0,若a∥b,则x的值为()A.8B.4C.2D.1∥b⇔存在λ∈R使a=λb⇔4.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是() ABCDD中的三个系数M与点A,B,C一定共面.5.若a,b,c是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是()A.(a·b)c=(b·c)aB.若a·b=-|a|·|b|,则a∥bC.若a·c=b·c,则a∥b·a=b·b,则a=ba·b)c是与c共线的向量,(b·c)a是与a共线的向量,a与c不一定共线,故A项为假命题;若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,所以a∥b,故B项为真命题;若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能得出a∥b,故C项为假命题;若a·a=b·b,则|a|=|b|,a与b方向未必相同,故不能得出a=b,所以D项为假命题.6.若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值A.2B.-2C.-2<a,b>解得x=-2或x7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形A.相交B.垂直C.不垂直D.成60°角⊥平面ABCD.8.下面命题中,正确的命题有()①若n1,n2分别是不同平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,b,c是α内两个不共线的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1个B.2个D.4个9.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()AC.10.已知向量n=(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到α的距离为()AC又n与α垂直,所以P到α的距离故选B.(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,A1M与DN所成的角的大小为90°.°12.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H(x,y,z),满足BH⊥OA,则x=,y=,z=.∵BH⊥OA,∴(x,y-1,z-1)·(-1,1,0)=0.又OH∥OA,∴(x,y,z)=k(-1,1,0),联立解得x=|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则a·c+b·c+a·b=.a·c+b·c+a·b=x,则2x=(a+b)·c+(b+c)·a+(c+a)·b=-|c|2-|a|2-|b|2=-3,解得x=a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为.|a|=|b|,所以平行四边形为菱形.又a+b=(4,1,3),a-b=(0,-3,1),|a+b||a-b|所以S15.给出命题:①在▱ABCD中②在△ABC中,△ABC是锐角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,以上命题中,正确命题的序号是.满足向量运算的平行四边形法则,故正确;·cos A>0⇒∠A<90°,但∠B,∠C无法确定,△ABC是否是锐角三角形无法确定,故错误;③符合梯形中位线的性质,故正确.(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长..∴==1+22+32+2·cos·cos·cos=14+2×1×2cos 90°+2×1×3cos 60°+2×2×3cos 60°=23,∴AC117.(8分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则sin θ=|cos<n即直线AD与平面MBC所成角的正弦值18.(9分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,P A⊥底面ABCD,且P A=AD=DC(1)证明平面PAD⊥平面PCD;(2)求AC与PB所成角的余弦值;(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值.PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,所以可以以A为坐标原点,AD长为单位长度,建系使用向量求解.(1,建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C (1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M.∵=(0,0,1),=(0,1,0),=0,∴AP⊥DC.又由题设知:AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD内,故面PAD⊥面PCD.(2(1)可=(1,1,0),=(0,2,-1),∴||=,||=,=2,∴cos<,>==.由此得AC与PB所成角的余弦值.(3MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,=λ,=(1-x,1-y,-z),=,∴x=1-λ,y=1,z=λ.要使AN⊥MC,只=0,即x-z=0,解得λ=.可知当λ=,N点坐标,能=0.此时,=,=,=0.=0,=0,得AN⊥MC,BN⊥MC.∴∠ANB为所求二面角的平面角.∵||=,||=,=-,∴cos<,>==-.故所求的二面角的余弦值为-.。

章末综合测评 (一 )计数原理(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．(2016 ·川一中检测银)C109＋C108等于()A．45B．55C．65D．以上都不对【分析】C910＋ C810＝ C110＋ C210＝ 55，应选 B.【答案】B2．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报此中的一个小组，则不一样的报名方法共有 ()A．10 种B．20 种C．25 种D．32 种【分析】 5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报此中的一个小组，则不一样的报名方法共有25＝32 种，应选 D.【答案】D3．在 (x2＋3x＋2)5的睁开式中 x 的系数为 ()A．140B．240C．360D．800【分析】由(x2＋ 3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知 (x＋ 1)5的睁开式中 x 的系数45445所以原式为 C5，常数项为 1，(x＋2)的睁开式中 x 的系数为 C5·，常数项为 2.2中 x 的系数为 C54·5＋ C54·4＝ 240.22【答案】B4．某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不一样的项目，且在同一个城市投资的项目不超出2个，则该外商不一样的投资方案有 ()A．16 种B．36 种C．42 种D．60 种【分析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有A43＝ 24 种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市222种，则共有 361 个项目，有 C3·4·2＝36C A＋24＝60 种．【答案】 D5．(2016 ·广州高二检测)5 人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有() A．18 种B．24 种C．36 种D．48 种【分析】第一把除甲乙以外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的地点能够交换，故甲乙的地点有 2 种可能，最后，把甲乙及此中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全摆列是A33＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为 C.【答案】C6．对于 (a－b)10的说法，错误的选()项是A．睁开式中的二项式系数之和为 1 024B．睁开式中第 6 项的二项式系数最大C．睁开式中第 5 项和第7 项的二项式系数最大D．睁开式中第 6 项的系数最小【分析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D也是正确的，因为睁开式中第 6 项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】C7.图 1(2016 潍·坊高二检测 )如图 1，用五种不一样的颜色给图中的 A， B，C，D，E，F 六个不一样的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不一样的涂色方法共 ()A．1 240 种B．360 种C．1 920 种D．264 种【分析】因为A和E或F能够同色，B和D或F能够同色，C和D或E能够同色，所以当五种色都，法有C31C21A 55种；当五种色四种41433，法有 C53× ×4种；当五种色三种，法有C5× ×3种，所以不C 3 A 2 A同的涂色方法共C13C12A 55＋C45C13×3×A 44＋ C35×2×A 33＝ 1 920.故 C.【答案】C8．某算机商铺有 6 台不一样的品牌机和 5 台不一样的兼容机，从中 5 台，且起码有品牌机和兼容机各 2 台，不一样的方法有() 【学号：97270029】A．1 050 种B．700 种C．350 种D．200 种【分析】分两： (1)从 6台不一样的品牌机中3 台和从 5 台不一样的兼容机中 2 台；(2)从 6 台不一样的品牌机中 2 台和从 5 台不一样的兼容机中 3 台．3223【答案】C9． (1－ 3x)9＝a0＋ a1x＋ a2x2＋⋯＋ a9x9， |a0|＋ |a1|＋|a2|＋⋯＋ |a9|的()A．29B．49C．39D．59【分析】因为 a0，a2，a4， a6，a8正， a1， a3，a5，a7，a9，故令 x＝－ 1，得 (1＋ 3)9＝a0－a1＋a2－ a3＋⋯＋ a8－a9＝ |a0＋ 1 ＋⋯＋9 ，故B.||a ||a |【答案】B10．(2016 ·山西大学附中月考 )假如一条直与一个平面平行，那么称此直与平面构成一个“平行面”，在一个方体中，由两个点确立的直与含有四个点的平面构成的“平行面”的个数是 ()A．60B．48C．36D．24【分析】在方体中，每一条棱都有两个面(面或底面)和一个角面(不在同一个面上的一相互平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36 个“平行面”，每一条面角，都有一个面与它平行，可成12 个“平行面”，所以“平行面”的个数 36＋12＝48，故 B.11．(2016 ·吉林一中高二期末 )某同学忘了自己的QQ 号的后六位，但得QQ号后六位是由一个 1，一个 2，两个 5 和两个 8 成的，于是用六个数随意排成一个六位数，入，那么他找到自己的QQ 号最多次数()A．96B．180C．360D．7206【分析】由 6 个数字成的六位数个数 A 62＝180，即最多次数2A A180.故 B.【答案】 B12． (1＋x)n＝a0＋a1x＋⋯＋a n x n，若 a1＋ a2＋⋯＋ a n＝63，睁开式中系数最大是 ()A．15x3B．20x3C．21x3D．35x3【分析】令 x＝0，得 a0＝1，再令 x＝ 1，得 2n＝ 64，所以 n＝6，故睁开式中系数最大是T4＝C36x3＝20x3.故 B.【答案】B二、填空 (本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分．将答案填在中的横上 )13．某科技小有女同学 2 名、男同学 x 名，从中出 3 名去参加展．若恰有 1 名女生入的不一样法有20 种，科技小中男生的人数________．【分析】由意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514． (1.05)6的算果精准到0.01 的近似是________．【分析】(1.05)6＝ (1＋0.05)6＝ C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋⋯＝1＋0.3＋ 0.037 5＋ 0.002 5＋⋯≈ 1.34.15． (2015 山· 高考 )察以下各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；⋯⋯照此律，当 n∈N*，012n－ 1C2n－1＋C2n－1＋ C2n－1＋⋯＋C2n－1＝________.【分析】察每行等式的特色，每行等式的右端都是的形式，底数均，指数与等式左端最后一个合数的上相等，故有012C2n－1＋C2n－1＋C2n －1＋⋯4＋ C2n n－－11＝ 4n－1.【答案】n－1 416． (2014 安·徽高考 ) a≠0，n 是大于 1 的自然数，1＋a x n的睁开式a0＋a1x＋ a2x2＋⋯＋ a n x n.若点 A i(i，a i )(i ＝0,1,2)的地点如 2 所示， a＝________.2【分析】由意知 A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故 a0＝1，a1＝3，a2＝ 4.x n r xr1C n由 1＋a的睁开式的通公式知T r＋1＝C n a(r ＝0,1,2，⋯， n)．故a＝3，C2na2 ＝4，解得a＝3.【答案】3三、解答 (本大共 6 小，共 70 分．解答写出文字明、明程或演算步 )C n x＝C n2x，．本小分10分)已知x＋ 111x－1求 x，n 的 . 【学号：17 (，C n＝3C n 97270030】【解】x n－ x2x或 x＝2x(舍去 )，∴ n＝3x.∵ C n＝C n＝ C n，∴ n－x＝2xx＋111 x－1由 C n＝3 C n，得n！！＝11n！x＋！ n－ x－ 3 ·x－！n－x＋！，整理得3(x－1)！(n－ x＋ 1)！＝ 11(x＋1)！(n－ x－ 1)！，3(n－x＋1)(n－x)＝ 11(x＋1)x.将 n＝ 3x 代入，整理得 6(2x＋1)＝11(x＋1)，∴x＝5，n＝3x＝ 15.18． (本小分12 分)利用二式定理明： 49n＋16n－1(n∈N* )能被 16整除．【明】49n＋ 16n－1＝ (48＋ 1)n＋ 16n－1＝C0n·48n＋C1n·48n－1＋⋯＋ C n n－1·48＋C n n＋ 16n－1＝16(C0n·3×48n－1＋C n1·3×48n－2＋⋯＋C n n－1·3＋n)．所以 49n＋16n－1 能被 16 整除．19． (本小分 12 分)一个口袋内有 4 个不一样的球， 6 个不一样的白球，(1)从中任取 4 个球，球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个球 2 分，取一个白球 1 分，从中任取 5 个球，使分不少于 7 分的取法有多少种？【解】(1)将拿出 4 个球分红三状况：4①取 4 个球，没有白球，有C4种；31②取 3 个球 1 个白球，有 C4C6种；22③取 2 个球 2 个白球，有 C4C6种，故有 C44＋C34C16＋C24C26＝115 种．(2)取 x 个球， y 个白球，x ＋ y ＝ 5， 0≤x ≤4，x ＝2，x ＝3，x ＝ 4，故y ＝3或或2x ＋y ≥7， 0≤y ≤6，y ＝2y ＝ 1.所以，切合 意的取法共有2 33 24 1C 4 6＋C 4 6＋C 4 6＝ 186 种．CCC20．(本小 分 12 分 )(2x －1)10＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋⋯ ＋a 10x 10，求以下各式的 ：(1)a 0 ＋a 1＋a 2＋ ⋯＋a 10；(2)a 6 .【解】(1)令 x ＝1，得 a 0＋a 1＋ a 2＋⋯＋ a 10＝ (2－1)10＝1.6r10－r·－r r－ r 10－ r 10－ r，所以(2)a 6 即 含 x 的系数， T r ＋1＝C 101) ＝C 10 ·(2x)( (1) 2x当 r ＝ 4 ， T 5＝C 410(－1)426x 6＝13 440x 6，即 a 6＝13 440.21．(本小 分 12 分 )有 3 名男生、 4 名女生，在以下不一样条件下，求不一样的摆列方法 数．(1)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(2)全体站成一排，甲不站排 也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必 站在一同；(4)全体站成一排，男生互不相 ．【解】(1)共有 A 77＝5 040 种方法．(2)甲 特别元素．先排甲，有 5 种方法，其他 6 人有 A 66种方法，故共有 5×A 66＝ 3 600 种方法．(3)(捆 法 )将女生当作一个整体，与 3 名男生在一同 行全摆列，有 A 44种方法，再将 4 名女生 行全摆列，有 A 44种方法，故共有 A 44×A 44＝576 种方法．(4)(插空法 )男生不相 ，而女生不做要求，所以 先排女生，有 A 44种方法，再在女生之 及首尾空出的 5 个空位中任 3 个空位排男生，有 A 53种方法，故共有 A 44×A 35＝1 440 种方法．22．(本小 分 12 分 )已知会合 A ＝ { x|1<log 2x<3，x ∈N * } ，B ＝{4,5,6,7,8} ．(1)从 A ∪B 中拿出 3 个不一样的元素 成三位数， 能够 成多少个？(2)从会合 A 中拿出 1 个元素，从会合 B 中拿出 3 个元素，能够 成多少个无重复数字且比4 000 大的自然数？【解】由 1<log 2x<3，得2<x<8，又x ∈N* ，所以x3,4,5,6,7，即 A ＝{3,4,5,6,7} ，所以 A ∪B ＝ {3,4,5,6,7,8} ．从3个三位数．A ∪B 中拿出 3 个不一样的元素，能够构成 A 6＝120(1)(2)若从会合 A 中取元素 3，则 3 不可以作千位上的数字，31 3有 C ··＝ 180 个知足题意的自然数；C A134若不从会合 A 中取元素 3，则有 C 4C 4A 4＝ 384 个知足题意的自然数．。

第三章质量评估检测时间:120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若A,B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（)①错误!＋2错误!＋2错误!＋错误!；②2错误!＋2错误!＋3错误!＋3错误!＋错误!；③错误!＋错误!＋错误!；④错误!－错误!＋错误!－错误!。

A．①②B．②③C．②④D．①④解析：①中，原式＝错误!＋2错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!，不符合题意;②中，原式＝2（错误!＋错误!＋错误!＋错误!)＋(错误!＋错误!＋错误!）＝0;③中，原式＝错误!,不符合题意；④中，原式＝（错误!－AD，→)＋(错误!－错误!)＝0。

故选C。

答案：C2．已知向量a＝(2，4，5)、b＝(3,x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2,则（)A．x＝6，y＝15 B．x＝3,y＝错误!C．x＝3,y＝15 D．x＝6，y＝错误!解析：∵l1∥l2,∴a∥b,则错误!＝错误!＝错误!,∴x＝6,y＝错误!.答案：D3．已知空间三点O(0，0，0)，A（－1，1,0）,B（0，1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为（) A．(－2，2，0）B．(2,－2,0)C.错误!D.错误!解析：由错误!＝（－1，1,0）,且点H在直线OA上，可设H（－λ，λ，0），则错误!＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴BH，→·错误!＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1,0）＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝错误!，∴H错误!，故选C.答案:C4．已知A（2，－5,1），B（2，－2,4),C（1,－4，1)，则AB，→与错误!的夹角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析:错误!＝(0，3，3），错误!＝(－1，1,0),｜错误!｜＝3错误!,｜错误!｜＝错误!，错误!·错误!＝3，∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!，∴〈错误!，错误!〉＝60°。