第三节 绝对值的应用-学而思培优
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第三节 绝对值的应用
一、课标导航
二、核心纲要
1.灵活应用绝对值的基本性质
|;|||||)3(;||||)2(;0||)1(222b a ab a a a a ⋅===≥);0(|
|||||)4(=/=b b a b a |;|||||)5(b a b a +≤+ .||||||||||||)6(b a b a b a +≤-≤-
2．化简绝对值：去绝对值的符号法则⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=)0().0(0)0(||αa a a a a
3．运用绝对值的几何意义解题：从数轴上看，a 表示的是数a 对应瀚点到原点的距离;b a -表示数a 、数b 对应的两点间的距离。
4.零点分段法的一般步骤
(1)求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点．
(2)分段：在数轴上标出所求的零点，零点将数轴分为若干个区段，使得在每个区段内各个绝对值符号内的部分的正负能够确定．
(3)在各区段内分别进行化简．
(4)将各区段内的情况综合起来，得到问题的答案．
5．数学思想
(1)分类讨论：在化简绝对值时，如果绝对值里的符号不明确的情况下要进行分类讨论．(2)数形结合：绝对值几何意义的应用通常用数形结合的思想解题，
本节重点讲解：一个 方法(零点分段法），两个意义（绝对值的代数、几何意义），两个思想（分类讨论、数形结合）．
三、全能突破
基 础 演 练
1．若a 是有理数，则a a --||一定是( )
A.零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数
2．如果,02|2|=-+-x x 那么x 的取值范围是( )
2.≤x A 2.≥x B 2.=x C D ．任意实数
3．互不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果c a c b b a -=-+-，那么点
A 、
B 、
C 在数轴上的位置关系是( )
A ．点A 在点
B 、
C 之间 B ．点B 在点A 、C 之间
C ．点C 在点A 、B 之间
D ．以上三种情况均有可能
4．若,3|1|=+x 则=x
5．已知,1||,3||==b a 且,||a b b a -=-那么=+b a
6．代数式||15y x +-的最大值是 ，当此代数式取最大值时，x 与y 的关系是
7．若,||23,0m x x x =+<则m 0.
8．设有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图1—3—1所示，化简.||||||b c c a a b -+++-
9．已知,1||-=m
m 化简：.|2||1|---m m 能 力 提 升
10．设,1-<x 化简||2|2|2---x 的结果是( )
x A -2. x B +2. x C +-2. x D --2.
11.设x 是实数（包括有理数和无理数），.|1||1|++-=x x y 下列四个结论，正确的是( )
A ．y 没有最小值
B ．只有一个x 使y 取到最小值
C ．有有限个x （不只一个）使y 取到最小值
D ．有无穷多个x 使y 取到最小值
12．若a x x ≥-++|4||2|恒成立，则a 的取值范围为( )
6.>a A 6.<a B 6.≥a C 6.≤a D
13．设a 、b 同时满足
;1|1|)2(2-=-+-b b b a ①.0|4|=-a ②那么=ab
14．若4|31||54|2+-+-+x x x 的值恒为常数，则此常数的值为
15．设a 、b 、c 为非零有理数，且.0||,||,0||=-==+⋅c c ab ab a a 化简：
.||||||||c a b c b a b -+--+-
16．有理数a 、b 、c 均不为零，且,0=++c b a 设b
a c c a
b
c b a +++++||||||的最大值是x ，最小值是y ，试求代数式2012992+-xy x 的值.
17.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图1-3-2所示，点A 、B 在数轴上分别对应的数为a 、b ，则A 、B 两点间的距离表示为.||||b a AB -=
根据以上知识解题：
(1)数轴上表示z 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果,2||=AB 那么x 为
(2)若|2||1|-++x x 取最小值时，相应的x 的取值是 ，此时最小值是
(3)若|3||2||1|-+-++x x x 取最小值时，相应的x 的取值是 ，此时最小值是
(4)设,d c b a <<<则||||||||d x c x b x a x -+-+-+-的最小值为
(5)如图1-3-3所示，在一条数轴上依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，使
这5台机床到供应站P 的距离总和最小，则供应点P 应建在什么位置？最小值为多少？
18．阅读材料：
我们知道⎪⎩
⎪⎨⎧⋅<-=>=)0(),0(0)0(||x x x x x x 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数
式|2||1|-++x x 时，可令01=+x 和,02=-x 分别求得2,1=-=x x （称-1，2分别为
|2||1|-+x x 与的零点值），在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重 复且不易遗漏的如下3种情况．
(1)当1-<x 时，原式;12)2()1(+-=--+-=x x x
(2)当21<≤-x 时，原式;3)2(1=--+=x x
(3)当2≥x 时，原式;1221-=-++=x x x
综上讨论，原式=⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤--<+-)2(12).21(3)1(12x x x x x
根据上述材料解决下列问题：
(1)化简：.|4||2|2+--x x
(2)求|1|4|1|+--x x 的最大值．
19．若a 、b 、c 为整数，且,1|||
|9919=-+-a c b a 试计算||||||c b b a a c -+-+-的值．
20．已知有理数x 、m 满足,)2(13|9||4|2--=-++m x x 求|8||2|-+-x x 的最大值．
21．已知,2||,1||≤≤y x 且|,62||2|||--++++=x y y y x k 求k 的最大值和最小值. 中 考 链 接
22.（南平）)0(|
|||=/+ab b b a a 的所有可能的值有( )个 1.A 2..B 3.C 4.D
23.（台湾）如图1-3-4所示，表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p 、q 、r 、s ．若 =-=-=-||,12||,10||s q s P r P ,9则=-||r q ( )
7.A 9.B 11.C 13.D
巅 峰 突 破
24．满足1||=+-ab b a 的非负整数(a ，b)的个数是( )
1.A
2.B
3.C
4.D
25.已知|,1|5|9|1||2y y x x +---=-++求x+y 最大值与最小值．
26．已知a 、b 、c 、d 是有理数，,16||,9||≤-≤-d c b a 且,25||=+--d c b a 求||||c d a b ---的值．。
