人教B版 必修4 第二章 平面向量 全套学案

2．1.1 向量的概念1.了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义． 3.掌握向量的几何表示．1．向量的定义及表示方法 (1)向量：具有大小和方向的量． (2)向量的表示方法2．与向量有关的概念(1)零向量：长度等于零的向量，记作0. (2)向量共线或平行基线：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作a ∥b ．(3)相等向量：两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . (4)向量的长度(模)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |. 3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的位置向量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数．( ) (2)向量就是有向线段．( ) (3)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量 答案：C4．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.答案：西北方向5 2 km向量的概念[学生用书P34]下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同，长度相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．【答案】 D对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量有相同的基线，则两向量相等． 其中错误说法的序号是______．解析：①错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．答案：①②③向量的表示[学生用书P34]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线， 即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量的步骤在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为1，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|BC →|＝6，点C 在点B 正东方向． 解：(1)(2)(3)如图：相等向量与共线向量[学生用书P35]如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．如图所示的▱ABCD ，OA →＝a ，OB →＝b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出分别与OA →、AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的．2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，与是否在一条直线上无关．向量平行与直线平行的区别1．直线的平行具有传递性，即a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .2．向量的平行不具有传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，因为若b ＝0，它与任意向量共线，故a ，c 两向量不一定共线．1．下列物理量：①速度；②位移；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而路程、密度只有大小没有方向，所以不是向量．故选B.2．下列关于零向量的说法不正确的是( ) A ．零向量是没有方向的向量 B ．零向量的方向是任意的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量只能与零向量相等解析：选A.零向量的方向是任意的，是有方向的．3．如图，小正方形的边长为1，则|AB →|＝________；|CD →|＝________；|EF →|＝________．解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32，|CD →|＝26， |EF →|＝2 2. 答案：3 226 2 24．在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|，四边形ABCD 为________． 解析：由题意可知，对边AB 与CD 平行且不相等，故四边形ABCD 为梯形．答案：梯形, [学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的． 2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B.①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则两向量共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ， 即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB →|＝|AD →|， 所以四边形ABCD 为菱形．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D ．AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向， 即①不能够使a ∥b 成立； 因为a 与b 方向相反时，a ∥b ， 即②能够使a ∥b 成立； 因为零向量与任意向量共线， 所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③. 答案：②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可得，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM →＝NA →. 所以|CM →|＝|NA →|， 所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同， 所以DN →＝MB →.[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：1213．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝55米．14．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

2.2.1平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？思考3若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？梳理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么该平面内的________向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝________.(2)基底把________向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.知识点二 直线的向量参数方程式 思考1 什么是直线的向量参数方程？思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？梳理 (1)直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上________一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝____________，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有________的一个点P 与之对应.向量等式OP →＝________叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称________. (2)线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t ＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝________，这是线段AB 的中点的向量表达式.类型一 对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.②反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2类型二 平面向量基本定理的应用例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →.反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2 如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.1.下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③2.如图，已知A B →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A.a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.答案精析问题导学 知识点一思考1 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示． 思考3 由已知得λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2. 梳理 (1)不平行 任一 a 1e 1＋a 2e 2 (2)不共线 知识点二思考1 若P 在直线AB 上(或P 、A 、B 共线)，则一定存在实数t ，使得OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. 思考2 利用直线的向量参数方程可证明三点共线． 梳理 (1)任意 (1－t )OA →＋tOB →唯一 (1－t )OA →＋tOB →参数 (2)12(OA →＋OB →) 题型探究 例1 B 跟踪训练1 D例2 解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究解 取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b . 又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC → ＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 跟踪训练2 OP →＝15a ＋25b .当堂训练1．C 2.B 3.－15 －12 4.a ＋b 2a ＋c5．解 连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB ，∴四边形DCBF 为平行四边形． 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD → ＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝⎛⎭⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .。

第二章平面向量示范教案整体设计知识网络1．本章知识网络结构如下：2．本章知识归纳整合(1)基本概念与运算①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度，因为向量的加(减)实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加(减)法是数量的加(减)法．⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．(2)基本定理及其坐标表示①平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合．④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．(3)平面向量的数量积①平面向量a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π.②由a≠0，且a·b＝0不能推出b＝0.③由a·b＝b·c不能推出a＝c.④平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c与a(b·c)不一定相等．⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：(4)平面向量的应用①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．教学分析向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题． 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课知识巩固提出问题 1回忆向量的概念：向量的表示，零向量，相等的向量，共线向量. 2回忆向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质. 3回忆本章学过的重要定理、公式.活动：(1)本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法：几何表示法为AB →，a (手写时为a →)，坐标表示法为a ＝x i ＋y j ＝(x ，y)．有哪些特殊的向量：a ＝0⇔|a |＝0.单位向量：a 0为单位向量⇔|a 0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同，a ＝b ⇔ (x 1，y 1)＝(x 2，y 2) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 2，y 1＝y 2等等．(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容．λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λba∥b a＝λb(b≠0)(3)本章的重要定理及公式：a．平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.b．两个向量平行的充要条件：a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．c．两个向量垂直的充要条件：当a、b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.讨论结果：(1)～(3)略．应用示例例 1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)k a＋b与a－3b垂直？(2)k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么，怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．解：(1)k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)·10＋(2k ＋2)·(－4)＝0，解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解这个方程组，得k ＝－13，λ＝－13，即当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b .因为λ＝－13<0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向． 点评：共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活地选择．在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k ＝－13，然后再求λ. 变式训练设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线．解：方法一：假设满足条件的m 存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，i －2j ＝λ(i ＋m j )，{ λ＝1，λm＝－2.∴m＝－2，即当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．方法二：假设满足条件的m 存在，根据题意可知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，故1·m－1·(－2)＝0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线.例 2如图1，已知在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c .若a·b ＝b·c ＝c·a ，求证：△ABC为正三角形．图1活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识，串联方法，使学生在探究过程中掌握孤零知识，提高思维能力，提高复习效率．证法一：由题意，得a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )．又∵b·c ＝c·a ，∴c·(a －b )＝0.∴－a 2＋b 2＝0.∴|a|2＝|b |2，即|a|＝|b |.同理可得|c|＝|b |，∴|a|＝|b|＝|c |.∴△ABC 为正三角形．证法二：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，b ＝－a －c.∴a 2＝b 2＋c 2＋2b·c ，b 2＝a 2＋c 2＋2a·c .而b·c ＝c·a (已知)，∴a 2－b 2＝b 2－a 2.∴a 2＝b 2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b |.同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c |.∴△ABC 为正三角形．证法三：如图2，以AB 、BC 为邻边作ABCD ，则AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →，∴BD →＝a －c .图2又∵a·b ＝b·c ，∴b·(a －c )＝0.∴b ·BD →＝0.∴b ⊥BD →.∴平行四边形ABCD 为菱形．∴AB＝BC.同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．证法四：取BC →的中点E ，连接AE ，则AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )， ∴AE →·a ＝12(c －b )·a ＝0.∴AE →⊥a .∴AB＝AC. 同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况，教师要引导学生善于挖掘. 变式训练若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案：A例 3已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b 且x ⊥y .试求：k ＋t 2t的最小值． 解：由已知，得|a |＝32＋－12＝2，|b |＝122＋322＝1.∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b . ∵x ⊥y ，∴x·y ＝0，即[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简，得k ＝t 3－3t 4， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74，即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74. 点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.图3课堂小结1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高？对本章的知识网络结构了然于胸了吗？2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．作业本章巩固与提高5、11、12、13、14.设计感想1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点，让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．本节题目一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．备课资料备用习题1．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，若向量a ＋k b 与a －b 垂直，则k 的值为… ( )A.233 B ．7 C ．－113 D ．－2332．已知向量AB →＝(1,2)，OB →＝(0,1)，则下列各点中在直线AB 上的是( )A ．(0,3)B ．(1,1)C ．(2,4)D ．(2,5)3．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 34．若|a |＝2，|b |＝5，|a ＋b |＝4，则|a －b |为( ) A.13 B ．13C.42 D ．425．已知a ＝(2,1)，与a 平行且长度为25的向量b 是( )A ．(4,2)B ．(－4，－2)C ．(2,1)或(－2，－1)D ．(4,2)或(－4，－2)6．已知向量i 、j ，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，与2i ＋j 垂直的向量是( )A ．2i －jB ．i －2jC ．2i ＋jD ．i ＋2j7．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t≤1)，则OA →·OP →的最大值是( )A ．aB ．2aC ．a 2D ．3a8．向量a ＝(n,2)与b ＝(4，n)共线，则n ＝________.9．已知a ＝(2,1)，b ＝(1,2)，要使|a ＋t b |最小，那么实数t 的值是________．10．已知三个非零向量a ，b ，c 中每两个均不共线，若a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，求a ＋b ＋c .11．已知向量AB →＝a ，AC →＝b ，|a |＝4，|b |＝3，∠BAC＝β，(2a －3b )(2a ＋b )＝61.(1)求β的大小；(2)求△ABC 的面积．参考答案：1．A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.±2 2 9.－4510．解：∵a ＋b ，c 共线，∴a ＋b ＝m c .①又∵b ＋c ，a 共线，∴b ＋c ＝n a .②①－②，得a －c ＝m c －n a .∵a ，c 不共线，∴由平面向量的基本定理，得m ＝n ＝－1. ∴①即a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.11．解：(1)原式展开，得4a 2－4a ·b －3b 2＝61， ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，∴cosβ＝a·b |a ||b |＝－12.∵0≤β≤π，∴β＝2π3.(2)S △ABC ＝12|AB|·|AC|·sinβ＝3 3.。