2015年湖北高考文科数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）文科数学试题解析1. 解析6076061ii 1i i +==-⨯=-，故选B.2. 解析设一石米中有n 粒谷，这批米内夹谷x 石，则281534254x n n ⋅=⋅，得153428169254x ⨯=≈.故选B.3. 解析由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为()0x ∀∈+∞，，ln 1x x ≠-.故选A.4. 解析因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，可设()0z ky b k =+>，则将0.11y x =-+代入即可得到，()()0.110.1z k x b kx k b =-++=-++，所以0.10k -<，所以x 与z 负相关.故选A.5. 解析若p ：1l ，2l 是异面直线，由异面直线的定义知，1l ，2l 不相交，所以命题q ：1l ，2l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：1l ，2l 不相交，则1l ，2l 可能平行，也可能异面，所以，不能推出1l ，2l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故选A.6. 解析由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2405603x x x x ⎧-⎪⎨-+>⎪-⎩，解之得4423x x x -⎧⎪>⎨⎪≠⎩，即函数()f x 的定义域为()(]2334，，.故选C. 7. 解析对于选项A ，右边0sgn 00x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，，，而左边00x x x x x ⎧==⎨-<⎩，，，显然不正确；对于选项B ，右边0sgn 00x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，，，而左边00x x x x x ⎧==⎨-<⎩，，，显然不正确；对于选项C ，右边0sgn 000x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪<⎩，，，，而左边00x x x x x ⎧==⎨-<⎩，，，显然不正确；对于选项D ，右边0sgn 000x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，而左边00x x x x x ⎧==⎨-<⎩，，，正确.故选D.8. 解析123p p p 、、依次为三个图形的面积，观察知，选B.也可作如下的计算：因为正方形的面积为1，所以由图（1）得11111=2228p ⨯⨯=， 由图（2）得111212211111ln 2=1ln 222222p dx x x ⨯+=+=+⎰，1212p p 、、三个值比较得1212p p <<，故选D.9. 解析()()()()()2222221222a m b m m b a a b b b m e e a a a m a a m a m +++-++⎛⎫-=-=+ ⎪++⎝⎭+，当a b >时，22120e e -<，12e e <；当a b <时，22120e e ->，12e e >.故选B.10. 解析如图所示集合B 有25个元素(点)（构成正中的正方形），()()()()(){}0010100101A =--，，，，，，，，，.当()11()00x y =，，时，()()121222x x y y x y ++=，，，共25个点； 当()()1110x y =-，，时，左边增加5个点，当()()1101x y =，，，()()1110x y =，，，()()1101x y =-，，时，上面，右边，下面各增加5个点，则A B ⊕中元素中共有254545+⨯=个点.故选C.11. 解析因为OA AB ⊥，所以0OA AB ⋅=，即()=0OA OB OA ⋅-，22239OA OB OA OA ⋅====.+-1,0(+0,-1()+1,0()12. 解析首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如图所示，然后根据图像可得，目标函数3z x y =+过点()31B ，取得最大值，即max 33110z =⨯+=.13. 解析函数()2π2sin sin 2f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点个数等价于方程π2sin sin 2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭20x =的根的个数，即函数()π2sin sin 2sin cos sin 22g x x x x x x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭与函数()2h x x =的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如图所示，由图可知，函数()g x 与函数()h x 的图像有2个交点.14. 解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1⨯+⨯+⨯+⨯+2.50.10.11a ⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[]0.50.9，内的频率为0.20.1⨯+0.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[]0.50.9，内的购物者的人数为0.6100006000⨯=.15. 解析在ABC △中，30BAC ∠=，105ABC ∠=，所以45ACB ∠=， 因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC=，即BC =， 在Rt BCD △中，因为30CBD ∠=，BC =所以tan 30CD BC ==，所以CD =m. 16. 解析(1)由条件可设圆C 的标准方程为2(1)()22x +y r r --=（r 为半径），因为2AB=，所以r ==，故圆C 的标准方程为()(2212x y -+-=.(2)在()(2212x y -+-=中令0x =得()01B，又(C 1，所以1BC k ==-，所以圆C 在点B 处的切线斜率为1，即圆C 在点B 处的切线方程为)1y x =+.令0y =可得1x =--C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为1-.17．解析当0a =时，2()f x x =，则g()(1)1a f ==；当0a <时，()()22,0()0x ax x a x f x x ax a x ⎧-=⎨-+<<⎩，(如图（1）所示)， 则g()(1)1a f a ==-；当0a >时，()()220()0x ax x x a f x x ax x a ⎧-<>=⎨-+⎩，，(如图（2）所示)， 此时222a a f ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24a ，由22(0)4a x ax x -=>得12x a =.1,a 即02(21)a <-时，g()(1)1a f a ==-；若1122aa <<，即1)2a <<时，2g()24a aa f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；若12a，即2a 时，g()(1)1a f a ==-+.综上所述，()())21221212412a a ag a a a a ⎧--⎪⎪=<<⎨⎪⎪-⎩，，，，易得当1)a =时，()g a 取最小值3-.18．解析(1)根据表中已知数据，解得5A =，2ω=，π6ϕ=-，数据补全如表所示：且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由(1)知π()5sin(2)6f x x =-，因此πππ()5sin 25sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为sin y x =的对称中心为()π0k ，，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z ，即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π012⎛⎫- ⎪⎝⎭，.19. 解析(1)由题意有，1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩.解得112a =d =⎧⎨⎩，或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩.故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⋅⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是数列的前n 项和2341357921122222n n n T --=++++++，①2345113579212222222n n n T -=++++++. ② 式①-式②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-.故12362n n n T -+=-. 20.解析(1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD .DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠，，，(2)由已知，PD 是阳马-P ABCD 的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由(1)知，DE是鳖臑-D BCE 的高，BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt PDC △中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE ==， 于是12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅21．解析(1)由()f x ，()g x 的奇偶性及条件()()e x f x g x +=① 得()()e x f x g x --+=②联立式①式②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0f x >.③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+=，即()1g x >.④(2)由(1)得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+-⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由式⑤式⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----=(1)[()1]().c g x cxf x --- 当0x >时， （1）若0c，由式③式④，得()0h x '>，故()h x 在[0)+∞，上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故式⑦成立.（2）若1c ，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0)+∞，上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故式⑧成立. 综合式⑦式⑧，得()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22．解析(1)因为||||||314OM MN NO +=+=，当M N ，在x 轴上时，等号成立； 同理||||||312OM MN NO -=-=，当D O ，重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为22 1.164x y +=(2)（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S =⨯⨯=△.（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：1()2y kx m k =+≠±，由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()2222644144160k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，可得21212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，；同理可得21212mm Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和P Q PQ x -，可得22111222222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k =⋅=-=⋅+=-+-△. ② 将式①代入式②得，222241281441OPQk m S k k +==--△. 当214k >时，2224128814141OPQ k S k k ⎛⎫+⎛⎫==+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△；当2104k <时，2224128811414OPQ k S k k ⎛⎫+⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△. 若214k <，则20141k <-，22214k -，所以2281814OPQ S k ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭△，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S △的最小值为8.综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ △的面积取得最小值8.。

1, x 0,
sgn x 0, x 0,
6．已知符号函数
1, x 0.
f (x) 是 R 上的增函数， g(x) f (x) f (ax) (a 1) ，则
A． sgn[g(x)] sgn x
B． sgn[g(x)] sgn x
C． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
D． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
3．已知 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A． 212
B． 211
C． 210
D． 29
4．设 X
~ N(1,
12 ) ，Y ~ N(2,
2 2
)
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1． i 为虚数单位， i607 的共轭复数为
A． i
B． i
C．1
D． 1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为
A B { ( 1x 2x, 1y 2y) ( 1x, 1y) A, (2x ,2y ，) 则BA} B 中元素的个数为
A．77
B．49
C．45
D．30
10．设 x R ，[x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ，使得[t] 1，[t2 ] 2 ，„， [tn ] n

【考点】三角形性质的应用
17．【答案】 2 5
【解析】∵不等式组
2x 3 4 3x -1 -11
的解集是：﹣
10 3

x

1 2
，∴a
的值既是不等式组
2x 3 4 3x 1 11
的解的有：
3
，
2
，
1，0，∵函数
y

2x2
1
2x
的自变量取值范围为：
2x2
6x
3
3
4 / 12
在 Rt△BCE 中，由勾股定理，得 BE BC2 CE2 102 (5 6 )2 5 42 ．
3
3
由旋转的性质，得 BE BE 5 42 ， BC BC 10 ， EC EC 5 6 ．
3
3
△BFD 是等腰三角形， BF FD x ，
故答案为： 98 ． 17
【提示】根据角平分线的性质，可得 CE 的长，根据旋转的性质，可得 BC BC，EC EC ；根据等腰三
角形，可得 FD、FB 的关系，根据勾股定理，可得 BF 的长，根据正切函数，可得 tan ABF，tan FBG 的
值，根据三角函数的和差，可得 AG 的长，根据有理数的减法，可得答案．
3 / 12
【提示】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．
【考点】相似三角形的性质
16．【答案】 8 2
【解析】∵△ACB 是等腰直角三角形 ABC 中， ACB 90 ，∴ A B 45 ，∵ AB 4 2 ，
∴
AC
BC

AB sin 45 4 ，∴ SACB

2015年湖北文一、选择题（共10小题；共50分）1. i为虚数单位，i607= A. iB. −iC. 1D. −12. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石3. 命题“ ∃x0∈0,+∞，ln x0=x0−1”的否定是 A. ∀x∈0,+∞，ln x≠x−1B. ∀x∉0,+∞，ln x=x−1C. ∃x0∈0,+∞，ln x0≠x0−1D. ∃x0∉0,+∞，ln x0=x0−14. 已知变量x和y满足关系y=−0.1x+1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是 A. x与y正相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y负相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关5. l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则 A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6. 函数f x=4− x +lg x2−5x+6x−3的定义域为 A. 2,3B. 2,4C. 2,3∪3,4D. −1,3∪3,67. 设x∈R，定义符号函数sgn x=1,x>0,0,x=0,−1,x<0,则 A. x =x sgn xB. x =x sgn xC. x = x sgn xD. x =x sgn x8. 在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“ x+y≤12”的概率，p2为事件“ xy≤12”的概率，则 A. p1<p2<12B. p2<12<p1 C. 12<p2<p1 D. p1<12<p29. 将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b a≠b同时增加m m>0个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则 A. 对任意的a，b，e1>e2B. 当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2C. 对任意的a，b，e1<e2D. 当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e210. 已知集合A=x,y x2+y2≤1,x,y∈Z，B=x,y x ≤2,y≤2,x,y∈Z，定义集合A⊕B=x1+x2,y1+y2x1,y1∈A,x2,y2∈B，则A⊕B中元素的个数为 A. 77B. 49C. 45D. 30二、填空题（共7小题；共35分）11. 已知向量OA⊥AB，OA=3，则OA⋅OB=．12. 若变量x，y满足约束条件x+y≤4,x−y≤2,3x−y≥0,则3x+y的最大值是．13. 函数f x=2sin x sin x+π2−x2的零点个数为．14. 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位；万元）都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=；（2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为．15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=m．16. 如图，已知圆C与x轴相切于点T1,0，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB =2．（1）圆C的标准方程为；（2）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为．17. a 为实数，函数f x = x 2−ax 在区间 0,1 上的最大值记为g a ．当a = 时，g a 的值最小．三、解答题（共5小题；共65分）18. 某同学用“五点法”画函数f x =A sin ωx +φ ω>0, φ <π2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx +φ0π2π3π22πx π5πA sin ωx +φ5−50（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f x 的解析式； （2）将y =f x 图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y =g x 的图象．求y =g x 的图象离原点O 最近的对称中心．19. 设等差数列 a n 的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列 b n 的公比为q ．已知b 1=a 1，b 2=2，q =d ，S 10=100．（1）求数列 a n ， b n 的通项公式； （2）当d >1时，记c n =an b n，求数列 c n 的前n 项和为T n ．20. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P −ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD =CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE ．（1）证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由．（2）记阳马P −ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V1V 2的值．21. 设函数f x ，g x 的定义域均为R ，且f x 是奇函数，g x 是偶函数，f x +g x =e x ，其中e为自然对数的底数．（1）求f x，g x的解析式，并证明：当x>0时，f x>0，g x>1；<bg x+1−b．（2）设a≤0，b≥1，证明：当x>0时，ag x+1−a<f xx22. 一种画椭圆的工具如图（1）所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1:x−2y=0和l2:x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．答案第一部分1. B2. B3. A4. C5. A6. C7. D8. D9. D 【解析】由题可得e1=1+ba 2，e2=1+b+ma+m2．∵b+ma+m −ba=m a−ba a+m，a>0，b>0，m>0，且a≠b，∴当a>b时，b+ma+m >ba>0，∴b+ma+m 2>ba2，e2>e1；同理可得当a<b时，e1>e2．10. C【解析】A=x,y x2+y2≤1,x,y∈Z=x,y x=±1,y=0;或x=0,y=±1;或x=y=0，共5个点；B=x,y x ≤2,y≤2,x,y∈Z=x,y x=−2,−1,0,1,2;y=−2,−1,0,1,2，共25个点．由x1=−1,0,1，x2=−2,−1,0,1,2知x1+x2=−3,−2,−1,0,1,2,3；同理由y1=−1,0,1，y2=−2,−1,0,1,2知y1+y2=−3,−2,−1,0,1,2,3．当x1+x2=−3或3时，y1+y2可取−2,−1,0,1,2；当x1+x2=−2,−1,0,1,2时，y1+y2可取−3,−2,−1,0,1,2,3．故A⊕B中共有元素2×5+5×7=45个．第二部分11. 912. 1013. 214. （1）3；（2）600015. 100616. x−12+ y−22=2，−2−117. 2−2【解析】提示：当a≤0时，f x在0,1上单调递增，故g a=f1=1−a；当0<a<1时，f x在0,a2上单调递增，在a2,a 上单调递减，在a,1上单调递增，f a2=a24，f1=1−a．∵f a2−f1=a+22−84，∴当0<a<22−2时，f a2<f1，∴g a=f1=1−a；当2−2≤a<1时，f a2≥f1，∴g a=f a2=a24；当1≤a<2时，f x在0,a2上单调递增，在a2,1上单调递减，故g a=f a2=a24；当a≥2时，f x在0,1上单调递增，故g a=f1=a−1．综上，g a=1−a,a<22−2,a24,22−2≤a<2, a−1,a≥2.第三部分18. （1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=−π6，数据补全如下表：ωx+φ0π2π3π22πx ππ7π5π13πA sinωx+φ050−50且函数解析式为f x=5sin2x−π6．（2）由（1）知f x=5sin2x−π6，因此g x=5sin2 x+π−π=5sin2x+π.因为y=sin x图象的对称中心为kπ,0，k∈Z．令2x+π6=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π12，k∈Z，即y=g x图象的对称中心为kπ2−π12,0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为 −π12,0．19. （1）由题意有10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1, d=2 或 a1=9,d=29.故a n=2n−1,b n=2n−1 或 a n=12n+79,b n=9⋅2n−1.（2）由d>1，知a n=2n−1，b n=2n−1，故c n=2n−12n−1，于是T n=1+3+52+73+94+⋯+2n−1n−1, ⋯⋯①1 2T n=12+322+523+724+⋯+2n−32n−1+2n−12n. ⋯⋯②①−②可得1T n=2+1+12+⋯+1n−2−2n−1n=3−2n+3n,故T n=6−2n+32n−1．20. （1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（2）由已知，PD是阳马P−ABCD的高，所以V1=1S长方形ABCD⋅PD=1BC⋅CD⋅PD.由（1）知，DE是鳖臑D−BCE的高，BC⊥CE，所以V2=13S△BCE⋅DE=16BC⋅CE⋅DE.在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=22CD，于是V1 V2=13BC⋅CD⋅PD16BC⋅CE⋅DE=2CD⋅PDCE⋅DE=4.21. （1）由f x，g x的奇偶性及f x+g x=e x, ⋯⋯①得−f x+g x=e−x. ⋯⋯②联立①②解得f x=12e x−e−x，g x=12e x+e−x．当x>0时，e x>1，0<e−x<1，故f x>0. ⋯⋯③又由基本不等式，有g x=12e x+e−x>e x⋅e−x=1，即g x>1. ⋯⋯④（2）由（1）得fʹx=12e x−1e xʹ=12e x+e xe2x=12e x+e−x=g x, ⋯⋯⑤gʹx=1e x+1xʹ=1e x−e x2x=1e x−e−x=f x, ⋯⋯⑥当x>0时，f xx>ag x+1−a等价于f x>axg x+1−a x, ⋯⋯⑦f xx<bg x+1−b等价于f x<bxg x+1−b x. ⋯⋯⑧设函数 x=f x−cxg x−1−c x，由⑤⑥，有ʹx=g x−cg x−cxf x−1−c=1−c g x−1−cxf x.当x>0时，i）若c≤0，由③④，得 ʹx>0，故 x在0,+∞上为增函数，从而 x> 0=0，即f x>cxg x+1−c x，故⑦成立．ii）若c≥1，由③④，得 ʹx<0，故 x在0,+∞上为减函数，从而 x< 0=0，即f x<cxg x+1−c x，故⑧成立．综上，知ag x+1−a<f xx<bg x+1−b．22. （1）因为 OM ≤ MN + NO =3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立；同理， OM ≥ MN − NO =3−1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立，所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216+y24=1．（2）（i）当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=−4，都有S△OPQ=12×4×4=8．（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m k≠±12，由y=kx+m,x2+4y2=16,消去y，可得1+4k2x2+8kmx+4m2−16=0．因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=64k2m2−41+4k24m2−16=0,即m2=16k2+4. ⋯⋯①又由y=kx+m,x−2y=0,可得P2m1−2k,m1−2k；同理可得Q−2m1+2k,m1+2k．由原点O到直线PQ的距离为d=2和PQ =1+k2x P−x Q，可得S△OPQ=1PQ ⋅d=1m x P−x Q=1⋅ m ⋅2m+2m=2m22. ⋯⋯②将①代入②，得S△OPQ=2m21−4k =84k2+14k−1．当k2>14时，S△OPQ=84k2+14k2−1=81+24k2−1>8；当0≤k2<14时，S△OPQ=84k2+11−4k=8 −1+21−4k．因为0≤k2<14时，则0<1−4k2≤1，21−4k2≥2，所以S△OPQ=8 −1+21−4k2≥8，当且仅当k=0时取等号．所以当k=0时，S△OPQ取最小值为8．综合（i）（ii）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．。