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一、选择题
1．下列方程可以作为x 轴的参数方程是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2＋1y ＝0
B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝3t ＋1
C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋sin θy ＝0
D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4t ＋1y ＝0 解析：x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．已知曲线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2t ＋1，y ＝t ＋1t 为参数，t ∈R ，则下列点中在曲线上的是( ) A ．(1,1)
B ．(2,2)
C ．(2,3)
D ．(1,2)
解析：当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即点(1,1)在曲线上．
答案：A
3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ) A ．(2，－7)
B ．(13，23)
C ．(12，12)
D ．(1,0)
解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C 满足条件． 答案：C
4．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为
( )
A.⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2t y ＝t C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝－t D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2t y ＝－t 解析：设(x ，y )为所求轨迹上任一点．
由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：
(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝t . 答案：A
二、填空题
5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)． 下列各点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．
答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．
①⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2y ＝－t 2；②⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝csc t ；③⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t y ＝sec t ；④⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝tan t y ＝cot t . 解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，
[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1,1)，则点M 的参数方程为________________________．
解析：设M (x ，y )，
则在x 轴上的位移为：x ＝1＋9t ，
在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .
∴参数方程为：⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋9t y ＝1＋12t 三、解答题
8．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点．
由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：
(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ. 这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．
解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，
由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得
x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ，
y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.
所以P 点轨迹的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)． 10．试确定过M (0,1)作椭圆x 2
＋y 2
4＝1的弦的中点的轨迹方程． 解：设过M (0,1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)． 设中点P (x ，y )，则有：
x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22
. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，
x 2＋y 24＝1
得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，y 1＋y 2＝8k 2＋4
. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.
这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹方程．
