微分方程小结

线性微分方程的对称性和自伴性

线性微分方程的对称性和自守性

在数学中，线性微分方程是一种常见的代数方程，它由常微分方程的一般形式推导而来。线性微分方程是一种可以求解非常具体问题的数学工具，比如物理学、工程学以及金融学等领域。在数学研究中，对称性和自守性是两个非常重要的概念。接下来，我们将探讨线性微分方程的对称性和自守性。

一、线性微分方程

线性微分方程是一种可以表示为如下形式的微分方程：

$$y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \cdots + p_{n-1}y' + p_ny = 0$$

其中，$y^{(n)}$表示$y$的$n$次导数。系数$p_1$到$p_n$都是常数，称为线性微分方程的系数。此外，$p_1$到$p_n$还可能是一个函数。

线性微分方程的求解是一类常见的问题，有多种数学方法用于求解线性微分方程。不过在讨论线性微分方程的对称性和自守性之前，我们有必要先了解什么是对称性和自守性。

二、对称性

在几何中，对称性是指在某种变换下物体不变的性质。数学中的对称性是指在某种变换下性质不变的量。这种变换可能是旋转、平移、缩放等，比如说，欧几里得空间中一条直线是轴对称的。数学中的对称性将一个对象的对应元素变换到另一个对象上，而原始对象和变换后的对象具有相同的性质。

更进一步，对称性在微分方程中也非常有用。一个微分方程的对称性是指，如果它在某种变换之后仍然是相等的，那么，这种变换被称为对称。比如说，在线性微分方程中，如果函数$y$的导数$y'$在某种变换下变成了$\tilde{y}$的导数$\tilde{y}'$，并且方程的形式没有改变，那么，称这个方程是对称的。

三、自守性

自守性是对称性的一种特殊形式。自守性是指，在某种变换下自身不变的性质。在数学中，一个方程具有自守性是指该方程在某种变换下自身不变。换句话说，如果一个方程变换自身后仍旧是相等的，那么该方程具有自守性。

在微分方程领域中，如果一个微分方程具有自守性，那么这个方程的求解可以变得非常简单。比如说，在线性微分方程中，如果一个变换将方程的形式保持不变，那么这个微分方程具有自守性。

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1 / 12 第五章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

一、基本概念

微分方程的定义：

①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.

②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程.

微分方程的阶、解与通解：

微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(xfy代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.

初始条件与特解：

用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。

例1 课本294页 例1

二、独立的任意常数

线性相关与线性无关：

设)(),(21xyxy是定义在区间),(ba的函数，若存在两个不全为零的数21,kk，使得对于区间),(ba的任一x，恒有

0)()(2211xykxyk

成立，则称函数)(),(21xyxy在区间),(ba线性相关，否则称为线性无关.

显然，函数)(),(21xyxy线性相关的充分必要条件是)()(21xyxy在区间),(ba恒为常数.

如果)()(21xyxy不恒为常数，则)(),(21xyxy在区间),(ba线性无关. .

2 / 12 独立的任意常数：

在表达式)()(2211xyCxyCy (1C,2C为任意常数) 中,1C,2C为独立的任意常数的充分必要条件为)(1xy,)(2xy线性无关.

例2 课本297页 例4

第二节 可分离变量的微分方程

一、定义

形如

)()(ddygxfxy

的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的函数，即)(),(ygxf分别是变量yx,的已知连续函数.

§2-3 运动(yùndòng)微分方程的求解

1.求解步骤 1)确定分析对象（隔离体）

2)作受力分析（施力物、超距力、接触力），画隔离体图

3)建立合适坐标系，写出方程解析式并给出初始位置、速度

4)给出二阶常微分方程组的数字解

5)阐明结果的物理含意与实质

作用力为时间、位置、速度的函数；若力只是其中某一项的函数，则问题可加以简化。

2.常力作用下质点的运动 〖例2-1〗求质点m在常力作用下的运动。已知t=0时初位置和初速度分别为。 解：

3.力只是时间的函数 〖例2-2〗求自由电子-e在沿x轴的电场中的运动。已知t=0时。 解：

4.力只是速度的函数 〖例2-3〗求在阻力正比于速度即的介质中抛物体的运动。已知t=0时。 解：

消去t得轨道方程为

若阻力很小或距离很短（开始运动），即时，

有 轨道开始时接近抛物线，x趋

于时y趋于无穷大，即为竖直直线。

5.力只是坐标的函数 〖例2-4〗求做一维振动的弹性系数为k的弹簧振子的运动。 解：

二维振动与利萨如图形。

6.复杂情况 力为时间、坐标、速度的函数 一维： （受迫振动） 如LRC电路： 为二阶常系数线性常微分方程，可用数值计算。

7.例题 〖例2-5〗P39例1

〖例2-6〗P41例3

§2-4 加速(jiā sù)平动非惯性系动力学

1.问题的提出

在惯性系S中成立，在动系S’中是否成立？

作加速平动的参照系为非惯性系。

2.改进的牛顿定律 引入惯性力后牛顿定律仍成立。

3.讨论 ？为什么选择非惯性系：方便

？惯性力与普通力的差别

惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力

4.例题 〖例2-7〗P44例

质点运动(yùndòng)微分方程小结

1.运动微分方程

2.运动微分方程的解析式 或

3.理想光滑线约束力的求解

4.平动加速非惯性系的处理 加上惯性力后牛顿定律仍然成立

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微分方程

综述：微分方程可以看做一元函数微积分学的应用与推广，主要考查考生的计算能力。这一部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右.

本章的主要知识点有：微分方程的阶、通解和特解等基本概念，可分离变量方程的求解，齐次方程的求解，一阶线性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降阶的高阶微分方程的求解，高阶线性微分方程解的结构，高阶线性微分方程的求解，欧拉方程的求解.学习本章时，首先要熟悉各类方程的形式，记住它们的求解步骤，通过足量的练习以求熟练掌握.在此基础上，还需要具备结合微积分其它章节的知识或者根据问题的几何及物理背景抽象出数学模型，并建立微分方程的能力.一般来说，考生只要具备扎实的一元函数微积分的相关知识，学习本章的时候不会有太大的困难.

本章常考的题型有：1.各种类型微分方程的求解，2.线性微分方程解的性质，3.综合应用.

常考题型一：一阶方程的求解

1．可分离变量方程

1.【2006-1 4分】微分方程(1)yxyx的通解是

2.【2008-1 4分】微分方程0xyy满足条件(1)1y的解是y

3.【1998-2 3分】已知函数()yyx在任意点x处的增量21yxyx，且当0x时，是x的高阶无穷小，(0)y，则(1)y等于

4.【1994-23分】微分方程2(4)0ydxxxdy的通解为

5.【2001-23分】微分方程11arcsin2xyxy满足12y=0的特解为（ ）． 实用标准文档