现代控制理论作业
磁盘驱动读取系统
1.系统描述：
磁盘可以方便有效地储存信息，其快速便捷、大容量和高可靠性使它在图书、电脑行业中广泛使用。图所示的磁盘驱动器结构，可以发现，磁盘驱动器读取装置的目标是要将磁头准确定位，以便正确读取磁盘磁道上的信息。永磁直流电机和读写手臂是磁盘驱动读写系统的主要组成部分。磁头安装在与手臂相连的簧片上，实时读取磁盘上各点的磁通量，提取出存储的信息。弹性金属制成的簧片保证磁头以小于100nm 的间隙悬浮于磁盘之上。磁盘驱动系统的设计目标是尽可能地将磁头准确定位在指定的磁道上。
2.模型示意图：
该系统可以用一个双体系统模型来描述，如下图所示。
3.系统典型参数：
双体模型典型参数
参数符号典型值
电机质量M10.03kg
磁头支架质量M20.5g
弹片弹性系数k10
质量体1摩擦系数b10.41kg/m/s
质量体2摩擦系数b20.41kg/m/s 4.建立系统数学模型
推导双体系统状态空间模型：
系统微分方程:
21122
22
2()()()0
d q dq M b k q y u t dt dt
d y dy M b k y q dt dt ⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩
选取状态变量：
1234,,,dq dy
x q x y x x dt dt
===
=
选取输出变量2y x =，则
131312242421()()0
M x b x k x x u
M x b x k x x ••
•
⎧
++-=⎪⎨⎪++-=⎩ 解得
111122
2
20010000100
b k k A M M M b k k M M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-
-
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
1
100
0T
B M ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦
0100C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
代入典型参数，所以系统状态空间表达式为：
x Ax Bu
y Cx
•⎧⎪=+⎨
=⎪⎩
[]112233441234001000001050050020.5050200002000008.200100x x x x u x x x x x x y x x ••••⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
5.系统能控性判断
能控性矩阵
23S B
AB
A B
A B ⎡⎤=⎣⎦
6
5
670
5010253987.50001105010253987.5 5.941000110 2.8710--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥=⎢⎥--⨯⎢⎥⨯-⨯⎣⎦
()4rank S =，系统完全能控。
6.系统能观性判断
能观性矩阵
23C CA S CA CA ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
44554
40100
000121021008.21.6410 1.6410
210 1.9910⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⨯-⨯-⎢⎥
-⨯⨯⨯-⨯⎣⎦
()4rank S =，系统完全能观。
7.系统稳定性判断
李雅普诺夫第一方法 系统状态稳定性的判断：
MATLAB 解得矩阵A 的四个特征值为：
-0.0425+1.4310i ； -0.0425-1.4310i ； -0.2020； 0 可知系统状态不稳定。 系统输出稳定性的判断： 求取系统传函：
4329
1000000
()28.720668.1414100 1.948910W s s s s s -=
++++⨯
matlab 求解4个极点：
-20.203507476942775601175495305433 0.0000000000000047063511229171686602437581894668
-4.2482462615286145525878138058678+143.10273740737468215913723030869*i
-4.2482462615286145525878138058678-143.10273740737468215913723030869*i
四个极点中第二个不具有负实部，所以系统输出不稳定。
8.极点配置
由于系统完全能控，所以可以采用状态反馈任意配置极点。设计状态反馈控制器，使闭环系统极点为-20，-10，-4+143i ，-4-143i 。 将原系统化为能控标准1型：
[]90100000100000101.94891041410020668.128.711000000000x x u y x
•-⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨
⎢⎥⎢⎥⎪-⨯---⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎩ 加入状态反馈矩阵：
[]0
12
3K k k k k -
=
闭环系统的特征多项式为：
()()det f I A bK λλ=-+⎡⎤⎣⎦
()()()()432928.7320668.124141001 1.9489100k k k k λλλλ-=+++++++⨯- 根据给定的极点得到期望的特征多项式：
()()()()()420143414310f i i λλλλλ*++++=+-
43238209056155504093000λλλλ=++++
比较期望特征多项式和闭环系统特征多项式各对应系数，可解得：
04093000,1201450,2237,39.3k k k k =-===
即：
[]40930002014502379.3K -
=-
可设：
1112
13142122
23241
313233344142
43
44cI r r r r r r r r T r r r r r r r r -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
计算1
cI T -，根据系统方程与能控标准型之间的代数等价关系：
