利用角平分线构造全等三角形之欧阳光明创编
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*欧阳光明*创编 2021.03.07
*欧阳光明*创编 2021.03.07 善于构造 活用性质
欧阳光明（2021.03.07）
安徽 张雷
几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.
1.显“距离”, 用性质
很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）
例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？
分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．
已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在∠ACB的平分线上．
证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F． DCBAEHIFG*欧阳光明*创编 2021.03.07
*欧阳光明*创编 2021.03.07 ∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC
∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）
同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代换）
又IG⊥AC、IF⊥BC
∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．
【例2】已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，•它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F．
求证：BP为∠MBN的平分线．
【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，•故可过P作PE⊥AC于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证．
【证明】过P作PE⊥AC于E．
∵PA、PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN
∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF *欧阳光明*创编 2021.03.07
*欧阳光明*创编 2021.03.07 又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上，
即BP是∠MBN的平分线．
2.构距离,造全等
有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．
例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．
解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．
因为∠C=90°，AC=BC， 又DE⊥AB，∴DE=EB．
∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB， ∴CD=DE．
由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED． ∴AC=AE．
∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB
=AE+EB =AB．
例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求证：AD=CD+AB． *欧阳光明*创编 2021.03.07
*欧阳光明*创编 2021.03.07 2DCBA35EF14 证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．
∵DM平分∠ADC，∠C=90°．
MC=ME． 根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．
同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD． 即AD=CD+AB．
3.巧翻折, 造全等
以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．
例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．
分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．
证明：延长BA、CD交于点F
∵BD⊥CF（已知） ∴∠BDC=∠BDF=90°
∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠1=∠2 *欧阳光明*创编 2021.03.07
*欧阳光明*创编 2021.03.07 在△BCD和△BFD中
∴△BCD≌△BFD（ASA）
∴CD=FD， 即CF=2CD
∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90°∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。
在△ABE和△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF，∴BE=2CD。
例6.如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗？请说明理由．
【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法．
1．可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，•然后证明剩余的线段与另一条线段相等．（割）
2．把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等．（补）
证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF．在△ACE和△AFE中
∴△ACE≌△AFE（SAS） DCABE*欧阳光明*创编 2021.03.07
*欧阳光明*创编 2021.03.07 ∵,∴,又,∴∠6=∠D
在△EFB和△BDE中
∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB
证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F
434ACBDF∠F=∠3
在△AEF和△AEB中
∴△AEF≌△AEB（AAS）,∴AB=AF，BE=FE
在△BED和△FEC中
∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC,∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．
