中考初三数学冲刺拔高专题训练
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中考数学冲刺拔高
专题训练
目 录
专题提升(一) 数形结合与实数的运算 ....................... 1
专题提升(二) 代数式的化简与求值 ........................ 5
专题提升(三) 数式规律型问题 ............................. 9
专题提升(四) 整式方程(组)的应用 ........................ 15
专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 ................ 22
专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 ................ 30
专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 ............ 40
专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 ............... 47
专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 .................. 53
专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 ...... 58
专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 .......... 66
专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 .............. 74
专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 .......... 79
专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 ...... 87
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 .................. 93
专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 .................... 99
专题提升(一) 数形结合与实数的运算
类型之一 数轴与实数
【经典母题】
如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．
图Z1－1
【思想方法】 (1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；
(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．
【中考变形】
1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ( C )
图Z1－2
＋1
－1 D．1－5
【解析】 ∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E点表示的数为5－1.
2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是 ( D )
图Z1－3
A．M B．N C．P D．Q 3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是 ( C )
图Z1－4
A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b
C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a
【解析】 ∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a.
4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为( B )
图Z1－5
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1.
5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于 ( A )
图Z1－6
A．－4和－3之间 B．3和4之间
C．－5和－4之间 D．4和5之间
【解析】 ∵点P的坐标为(－2，3)，
∴OP＝22＋32＝13.
∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA＝OP＝13，
∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.
6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是__－2__．
图Z1－7
【中考预测】
如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是( C )
图Z1－8
A．a＞b B．|a|＞|b|
C．－a＜b D．a＋b＜0
【解析】 由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.
类型之二 实数的混合运算
【经典母题】
计算：2×(3＋5)＋4－2×5.
解：2×(3＋5)＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝10. 【中考变形】
1．[2016·台州]计算： 4－－12＋2－1.
解：原式＝2－12＋12＝2.
2．[2017·临沂]计算：|1－2|＋2cos45°－8＋12－1.
解：|1－2|＋2cos45°－8＋12－1＝2－1＋2×22－22＋2＝2－1＋2－22＋2＝1.
3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－18×sin45°.
解：(－3)2＋2 0170－18×sin45°＝9＋1－32×22
＝10－3＝7.
【中考预测】
计算：12－3tan30°＋(π－4)0－12－1.
解：12－3tan30°＋(π－4)0－12－1＝23－3×33＋1－2＝3－1. 专题提升(二) 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值
【经典母题】
已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗(x－y)2呢
解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×1＝7；
(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．
完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．
【中考变形】
1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为 ( C )
A．10 B．6 C．5 D．3
2．已知实数a满足a－1a＝3，则a2＋1a2的值为__11__.
【解析】 将a－1a＝3两边平方，可得a2－2＋1a2＝9，即a2＋1a2＝11.
3．[2017·重庆B卷]计算：(x＋y)2－x(2y－x)．
解：原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.
4．[2016·漳州]先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)
解：原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1.
故该代数式的值与a的取值没有关系．
【中考预测】
先化简，再求值：(a－b)2＋a(2b－a)，其中a＝－12， b＝3.
解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－a2＝b2.
当a＝－12，b＝3时，原式＝32＝9.
类型之二 分式的化简与求值
【经典母题】
计算：(1)ab－ba－a2＋b2ab；
(2)3xx－2－xx＋2·x2－4x.
解：(1)原式＝a2－b2ab－a2＋b2ab＝－2b2ab＝－2ba；
(2)原式＝3x（x＋2）－x（x－2）（x－2）（x＋2）·x2－4x＝2x2＋8xx2－4·x2－4x＝2x＋8.
【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；
(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；
(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；
(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．
【中考变形】
1．[2017·重庆A卷]计算：3a＋2＋a－2÷a2－2a＋1a＋2.
解：原式＝3a＋2＋a2－4a＋2÷（a－1）2a＋2
＝（a＋1）（a－1）a＋2·a＋2（a－1）2＝a＋1a－1
2．[2017·攀枝花]先化简，再求值：1－2x＋1÷x2－1x2＋x，其中x＝2. 解：原式＝x＋1－2x＋1·x（x＋1）（x＋1）（x－1）
＝x－1x＋1·x（x＋1）（x＋1）（x－1）＝xx＋1.
当x＝2时，原式＝22＋1＝23.
【中考预测】
先化简，再求值：x2－4x＋3x－3－13－xx2－2x＋1x2－3x＋2－2x－2，其中x＝4.
解：原式＝x2－4x＋3x－3＋1x－3（x－1）2（x－1）（x－2）－2x－2
＝（x－2）2x－3·x－1x－2－2x－2＝（x－2）2x－3·x－3x－2
＝x－2.当x＝4时，原式＝x－2＝2.
类型之三 二次根式的化简与求值
【经典母题】
已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2－ab＋b2的值．
解：∵a＝3＋2，b＝3－2，∴a＋b＝23，ab＝1，
∴a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝(23)2－3＝9.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a＋b，a－b，ab当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．
【中考变形】
1．已知m＝1＋2，n＝1－2，则代数式m2＋n2－3mn的值为 ( C )
A．9 B．±3
C．3 D．5
