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初中三角函数知识点总结及中考真题讲解学生版

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1 锐角三角函数知识点总结

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 222cba

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A

(∠A为锐角) BAcossin

BAsincos

1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A

(∠A为锐角)

正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA

(∠A为锐角) BAcottan

BAtancot

AAcot1tan(倒数)

1cottan AA

余切 的对边的邻边AAAcot abAcot 0cotA

(∠A为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 0° 30° 45° 60° 90°

sin 0

21

22

23 1

cos 1

23 22

21 0

tan 0 33 1 3 -

cot - 3 1 33 0

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。 )90cot(tanAA)90tan(cotAA BAcottan

BAtancot )90cos(sinAA)90sin(cosAA BAcossinBAsincosA90B90得由BA 对边

邻边 斜边

A C B

b a c

A90B90得由BA

2 8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

9、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

1.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（ ）

A．35 B．43 C．34 D．45

2.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝13，则sinB＝（ ）

A．1010 B．23 C．34 D． 31010

3.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC，则sinB的值是（ ） :ihlhlα

3

A．23 B．32 C．34 D．43

7.在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，53sinA，则AB的长是 cm．

8.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则

sin ．

9.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A，则这个菱形的面积= cm2．

三、解答题

10. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = 1213．

（1）求半径OD；

（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，

则经过多长时间才能将水排干？

11.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：ABE△DFA≌△； A OB E C D

4 （2）如果10ADAB，=6，求sinEDF的值．

14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tancosBDAC，

(1) 求证：AC=BD；

(2)若12sin13C，BC=12，求AD的长．

要点二、特殊角的三角函数值

1.A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ ）

A．1323， B．3323， C．1323， D．1322，

二、填空题

7. 104cos30sin60(2)(20092008)=______．：23

三、解答题

11.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45

12.计算：0200912sin603tan30(1)3°°．

13.）计算：33sin602cos458

1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）

5

A．8米 B．83米 C．833米 D．433米

4.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）

A．5m B．6m C．7m D．8m

5.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30BAD°，在C点测得60BCD°，又测得50AC米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．

A．25 B．253 C．10033 D．25253

12.如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°， ∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（31.7≈，结果精确到整数）

13.如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为30，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）

6

16.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

(参考数据：21.414,31.732,62.449 )

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初中三角函数知识点 题型总结 课后练习

初中三角函数知识点 题型总结 课后练习

锐角三角函数知识点

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 222cba

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 (∠A为锐角)

余弦 (∠A为锐角)

正切 (∠A为锐角)

AAcot1tan(倒数)

余切 (∠A为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 0° 30° 45° 60° 90°

0

1

1 0

0 1 不存在

不存在 1 0

锐角三角函数题型训练

类型一：直角三角形求值

1．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．

2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC

求：AB及OC的长．

3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，53sinAOC 对边

邻边 斜边

A C B (1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；

(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4.已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值

类型二.

利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

2. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC,则tanEFC∠的值为 ( )

Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45

3. 如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA ，则AD的长为( )A．2 B．2 C．1 D．22

北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结(超级详细)

北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结(超级详细)

小刘老师亲笔

- - 1 北师大版九年级数学

初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题

知识点：

1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 222cba

（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理）

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A

(∠A为锐角) BAcossin

BAsincos

1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A

(∠A为锐角)

正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA

(∠A为锐角)

余切 的对边的邻边Aot AAc abAcot

0cot A

(∠A为锐角) 1Acot Atan 

BAtancot

（注：余切函数已经从北师大版教材当中删除，此处仅做扩展，实际中考当中并不会出现，同时删除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容）

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要必背)

三角函数 30° 45° 60°

sin 21

22

23

cos 23

22

21

tan 33 1 3

BAcossinBAsincos)90cos(sinAA)90sin(cosAA A90B90得由BA 对边

邻边 斜边

A C B

b a c 小刘老师亲笔

- - 2 6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切、的增减性：

中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；

2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

ABCabc

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAaAc的对边斜边；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosAbAc的邻边斜边；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAaAAb的对边的邻边.

同理sinBbBc的对边斜边；cosBaBc的邻边斜边；tanBbBBa的对边的邻边．

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，

，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．

初中数学三角函数难题解题技巧,中考数学三角函数典型题型归纳与答案解析

初中数学三角函数难题解题技巧,中考数学三角函数典型题型归纳与答案解析

【例2】某片绿地形〉图所示，其中匕4=60°, AB±BCf AD'CD, ng

二200/n, CZ?=100/n.

求8C

的长.（精确到Is. 73^ 1.732）

解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破环匕4

所以连结NC

不

行.延长和8C

交于一点£（如图1）,

这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊街&；

或过点Q作矩形ABEF （如图2）

来求解.

【例3

】如图,已知正方形49

口）中，£为8

匚上一点.将正方形折叠起来，使京N和点£

重合，折痕为 M/V.

若tanQ£N=?, £?C+（T=10.

（1）

求以他的面积；

（2）

求 sin

ZENB 的值.

解题思踣：将tan A4£V=|

与DC Q= 10

结合起来，可求出相关线段的长，为解朝

铺平道路.

【例4

】如图，容轮沿折线K—8—C

从4

出发经8

田到C

匀速航行，货轮从的中点Q

出发沿某一方向匀i

:线航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折度4—8—C

上

的桌点£处，已知4g=8C=2O0

海里，^ABC= 90°,

客?觥麋的2

倍，

(1)

选择：两船相遇之处£点( ) 〜 /

Z

A.

在象础上 /

/

Z

B.

在线段8C

上 c —----------- p

n

C.

可以在线段上，也可以在线段8C

上

(2)

求货轮从出发到两船相遥共航行了多少海里？(结果保留根号)

(南宗市中考试题)

解题思85:

对于(2),

过。作DF'CB于£设DE=X,建立关于x

的方程.

【例5］

若直角三角形的两个洗角A, B

的正弦是方程x2 +

px+ g=0

的两个根.

(1)

那么，实数们g

应海足哪些条｛牛？

(2)

如果日，q

满足这些条件，方程/+哗+。二0

的两个根是否等于直角三角形的两个说

角凡〃的正弦？

(江苏肯竟葡国

解题思路：解本例的关健是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综舍运用一

元:次三角函数的知识与方法.

【例6

】设子，b, (■是直角三角形的三边，。为斜边，荃数〃23.