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复变函数试卷B答案

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1 师 范 学 院

数学函授班本科《复变函数》B卷参考答案及评分标准

一、选择题（15分，每题3分）

1. B 2. C 3. A 4. C 5. C

二、填空题（15分，每题3分）

1. 2(cosln3sinln3),0,1,2,keik 2. 210(1), (21)!nnnzzn

3. 12eei 4. 收敛 5. 16

三、计算积分

1. 解 1）设(11),zttdzdt则，………………………………2分

于是 111021zdztdttdt……...………….…..…5分

2）设(0),iizedzied，………………………………….7分

于是 01iizdzeied………….…………..…..10分

2. 解法一 被积函数的奇点,iz i在C的内部，作圆周

1:Czir,rizC:2,……………….………2分

且取r充分小使得1C和2C均在C的内部且互不相交互不包含，

则由柯西积分定理及其推广得

12222222sinsinsin(1)(4)(1)(4)(1)(4)CCCzzzdzdzdzzzzzzz…………5分 2

1222sinsin()(4)()(4)CCzzzizzizdzdzzizi….…7分

22sinsin22()(4)()(4)zizizziizizziz

111sinsin()333iiiee………………..….10分

解法二

222222sinsinsin2(ReRe)(1)(4)(1)(4)(1)(4)Czizizzzdzisszzzzzz…….4分

2222sinsin2[lim()lim()](1)(4)(1)(4)zizizzizizizzzz….6分

1sinsin2()()663iiiieeii………..….10分

3. 解 由被积函数的分母53sin在02内不为零，因而积分有意义

220111153sin532zdzdziziz………..……...4分

2123103zdzziz

2322Re3103izisziz……………..7分

3226102izizi……………10分

四、解答题

1. 解 在110z内展开

)1(111111111)2)(1(1)(zzzzzzzf ………….2分 3 01(1)1nnzz

10(1)nnz ……………………………………5分

在12z内展开

1111()(1)(2)221fzzzzz ………………… 7分

2111(2)12zz

201(1)(2)(2)nnnzz

20(1)(2)nnnz ……………………………10分

2. 解 将z平面沿负实轴从0到，在这样割开后的z平面G上，

3z就能分出三个单值解析分支。

解法一 设izre，记3()wfzz，则

233(),(,0,1,2)kikkwfzrezGk .….3分

当2z时，，2r，

233()2,(,0,1,2)kikkwfiezGk………6分

当且仅当1k时，3(2)2kf，故所取分支为

23311(),iwfzre…………………8分

因此

2523631()iifiiee…………...…10分 4

解法二 设C为不穿过负实轴，从2到i的曲线，则

arg2Cz…………………..4分

于是

1arg()arg,36CCfzz…..………7分

而由题设，可以认为arg(2)f（允许相差2的整数倍），从而有

5663()iiifiieee………….......10分

3.解 由 2,xuxy2,yuxy2,xxu 2,yyu

从而有 0xxyyuu,故有(,)uxy为一调和函数. 由……….…4分()2(2)2()()xyfzuiuxyixyxiyixiy

(2).iz………………………………..………….7分

故 22(),2ifzzC C为任意常数, 又 ()1fii,

则 2()(1)2ifziz……………………..….10分

五、解 1）由()0Li，根据分式线性变换保对称点的性质，点i关于实轴的

对称点i，应该变成0w关于单位圆周1w的对称点w，因此

所求变换具有形式

ziwkzi，………………………3分

这里k为常数. 又由变换使实轴的一点，变到单位圆周上的点，不妨取

0z，则有

010iki

从而有ike（是实数），即iziwezi，又()0Li，所以有 5 1(){}02iizidziLieedzzii，

即iei，所以所求变换为

ziwizi ……………...5分

2）由()0Li，类似1）有，

iziwezi，……………….….7分

又由arg()2Li，所以有

'1arg()argarg()22izidwLiedzi…………..9分

所以1ie，从而所求变换为

izwiz…………………………10分

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复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10分）

1. 复变函数中，以下哪个选项是解析函数的必要条件？

A. 函数在定义域内连续

B. 函数在定义域内可导

C. 函数在定义域内满足柯西-黎曼方程

D. 函数在定义域内处处有界

答案：C

2. 如果函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析的，则以下哪个等式成立？

A. ∂u/∂x = ∂v/∂y

B. ∂u/∂y = -∂v/∂x

C. ∂u/∂x = -∂v/∂y

D. ∂u/∂y = ∂v/∂x

答案：B

3. 在复平面上，以下哪个区域是单连通的？

A. 整个复平面

B. 去掉原点的复平面

C. 去掉实轴的复平面

D. 去掉单位圆的复平面

答案：A

4. 复变函数的柯西积分定理适用于以下哪种情况？

A. 函数在整个复平面上解析

B. 函数在简单连通域内解析

C. 函数在任意区域解析

D. 函数在任意区域连续 答案：B

5. 对于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，以下哪个等式是正确的？

A. ∂u/∂x = ∂v/∂y

B. ∂u/∂y = ∂v/∂x

C. ∂u/∂x = ∂v/∂y

D. ∂u/∂y = -∂v/∂x

答案：D

二、填空题（每题3分，共15分）

1. 如果f(z)是解析函数，且f(z)=z^2，则f'(z)=________。

答案：2z

2. 函数f(z)=1/z在z=0处是________。

答案：无定义的

3. 函数f(z)=e^z的导数是________。

答案：e^z

4. 函数f(z)=z^n（n为正整数）的n阶导数是________。

答案：n!

5. 函数f(z)=sin(z)的解析延拓是________。

答案：sin(z)

三、计算题（每题10分，共20分）

1. 计算积分∮_C z^2 dz，其中C是由z=1和z=i围成的矩形的边界。

答案：0

2. 计算积分∮_C (z^2-1)/z dz，其中C是单位圆|z|=1的正向边界。

复变函数B试卷标准答案及评分标准

复变函数B试卷标准答案及评分标准

中南民族大学试卷标准答案及评分标准

试卷名称 复变函数与积分变换（07－08第一学期）

（ B 卷共 5 页）

一．填空题（每小题2分，共10分）

1. 方程5320z在复数范围内的全部解为 2(21)5,0,1,2,3,4kiek．

2.

111()212zdzzzi．

3. 幂级数

0(1)nnniz 的收敛半径为 12．

4、. 2Re[,0]zesz 1 ．

5、. ()jtfte的付里叶变换为()F 2(1)

二．判断题（每小题2分，共10分，正确打√，错误打．）

6. arg(1)4i． ( )

7. 131(3)(3)3LniLni． ( )

8.

121zzedziez． ( )

9. 设级数0(1)nnncz当2z时收敛，则级数在2zi时也一定收敛． ( )

10. 0z为函数1zez的一阶极点． ( )

答：6．√ 7．× 8．√ 9．× 10. ×.

三．求解下列各题（每小题６分，共18分）：

11、将3sin3cos55zi写成三角形式 解：33,arg10zz， ------------------------------ 3分

故333(cossin)1010zi． ------------------------------ 6分

12、函数 22()fzyxi 在复平面内何处可导，何处解析，并求(1)fi

解：设2uy，2vx则

0,2,2,0xyxyuuyvxv．--------------------------2分

在复平面上都连续，由C—R方程有：yx．

故()fz仅在直线yx上可导，在复平面上处处不解析．--------- 4分

复变函数1到5章测试题及答案

复变函数1到5章测试题及答案

复变函数1到5章测试题及答案(总20页)

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第一章 复数与复变函数(答案)

一、 选择题

1．当iiz11时，5075100zzz的值等于（B）

（A）i （B）i （C）1 （D）1

2．设复数z满足arg(2)3z，5arg(2)6z，那么z（A）

（A）i31 （B）i3 （C）i2321 （D）i2123

3．复数)2(taniz的三角表示式是（D）

（A）)]2sin()2[cos(seci （B）)]23sin()23[cos(seci

（C）)]23sin()23[cos(seci（D）)]2sin()2[cos(seci

4．若z为非零复数，则22zz与zz2的关系是（C）

（A）zzzz222 （B）zzzz222

（C）zzzz222 （D）不能比较大小

５．设yx,为实数，yixzyixz11,1121且有1221zz，则动点),(yx的轨迹是（B）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3，对应的复数为i31，则原向量对应的复数是（A）

（A）2 （B）i31 （C）i3 （D）i3

７．使得22zz成立的复数z是（D）

（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数

８．设z为复数，则方程izz2的解是（B）

（A）i43 （B）i43 （C）i43 （D）i43

９．满足不等式2iziz的所有点z构成的集合是（D）

（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B答案

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B答案

大工《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷（B）答案 第1页 共3页 机 密★启用前

大连理工大学网络教育学院

2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷答案

考试形式：闭卷 试卷类型：B

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1、A 2、B 3、C 4、D 5、A 6、A 7、A 8、B 9、A 10、B

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、i8 2、)4sin4(cos22i3、)34arctan(5lni 4、1

5、条件收敛 6、2

7、反演 8、2

9、)2(12ses 10、tttee1

三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

1、解法1：设),(),()(yxivyxuzf，那么),(),()(yxivyxuzf。（2分）

由于)(zf在点000iyxz处连续，则),(yxu与),(yxv在),(00yx处必连续。（3分）

既然),(yxv在),(00yx处连续，那么),(yxv在),(00yx也连续，从而)(zf在点0z处连续。（3分）

解法2：因为|)()(||)()(||)()(|000zfzfzfzfzfzf（2分）

又因)(zf在点0z处连续，所以对于任意给定的0，必存在一个正数)(，当||0zz时，

|)()(|0zfzf，（3分）从而当||0zz时，有|)()(|0zfzf。所以)(zf在点0z处也连续。（3分）

2、解：函数)(zf的奇点为0z和1z，故应在1||0z内展开)(zf为洛朗级数（2分）： 大工《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷（B）答案 第2页 共3页 )!1!2111()1(1)(221nnzznzzzzzzezf（2分）