量子力学试题附答案

宝鸡文理学院试题

课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7

试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

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填空题中的1、2、4题，是量子力学基本知识，值得考。

一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)

１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。

２、波函数的标准条件为（ ）。

３、正交归一方程*mnmnuud的狄拉克表示为（ ）。

4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。

5、zLLˆˆ2和的共同本征函数为（ ）。

选择题中2、4两题亦考察基本知识，可以考，不至于太难。

二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）

１、Â与Ĉ对易，则两算符：

(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数；

(3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：

（1）1 (2) 2 (3) 3 (4)4

3、设线性谐振子处于0113()()()22xxx描述的状态时，则该态中能量的平均值为

（1）0 ; （2）75 (3)52； （4）5

4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合

（1）一定是定态 ; （2）不是定态

(3) 不能确定

5、 对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现的跃迁是：

(1) Ψ322→Ψ300; (2) Ψ211→Ψ100; (3) Ψ322→Ψ21-1; (4) Ψ322→Ψ200;

就题目来讲，简述题中1、2题有些熟悉，知道在书中哪里，可以考。

三、简述（每小题5分，5×4＝20分）

1、光电效应实验的规律

2、量子力学中态的叠加原理

3、希尔伯特空间 4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则

第2题，厄米算符的这个证明熟悉

四、推导证明题(每小题10分，10×2 ＝ 20分)

1、求证在zlˆ的本征态下0xl。

2、设GFˆˆ和是厄米算符，若0ˆ,ˆGF，证明GFˆˆ也是厄米算府。

计算题中，第1、3题是典型计算，针对性强，求考！！！

下附试题答案！！！

五、计算题（40分）

1.（15分）设已知在ZLLˆˆ2和的共同表象中，算符xLˆ的矩阵分别为

0101010102xL

求它的本征值和归一化的本征函数。

2．（10分）设体系未受微扰时只有二个能级01E及02E，现在受到微扰H/作用,微扰矩阵元为12211122////, ; HHaHHba,b都是实数，用微扰公式计算能量到二级修正。

3. （15分）设氢原子处于

211031102111111(,,)()(,)()(,)()(,)222rRrYRrYRrY

的状态上，求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。

宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准

课程名称 量子力学

适用时间 2008-7-7

试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

一、填 空 (每小题2分，2×5＝10分)

1．定态假设，频率条件（或mnEEh），角动量量子化（或nL）；

2．单值，有限，连续 3．mnnm

4．xpi 5．lmY （球谐函数）

二、选 择 (每小题2分，2×5＝10分）

1．（1）; 2.（2）; 3.（2）; 4. (１); 5. (2);

三、简 答 (每小题５分，５×４＝ 20分)

1、光电效应： (1) 0时，不能发射光电子…………………….……………..……..(２分)

(2) 最大初动能与入射的光强度无关…………..…………………………(２分)

(3) 驰豫时间很短…..……….……………………………..…………………(1分)

2、如果21和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加2211cc也是这个体系的一个可能状态…..……….……………………………..…………………(5分)

3、量子力学中，厄米算符的本征函数{nu}组成正交归一完全系，以{nu}为基函数的空间叫希尔伯特空间………………………………….. ……………………..………………..……..…(5分)

4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则： (1) 1lll………………..……………..……..(２分)

(2) 1,0mmm…………………………..…(3分)

四、推导证明 (每小题10分，10×2＝ 20分）

1． 角动量分量算符满足对易关系：

xyzzylillllˆˆˆˆˆ……………..………………………………………..………………..…(3分)

两边取平均值，设lmY是zl本征态波函数，用标乘积运算符号：

ˆˆˆˆˆ,[],,,yzzyxlmlllllmilmllm……………..……………………………..…(3分)

而： ˆˆˆˆ,[],yzzylmlllllm

ˆˆˆˆ,,,,yzzylmlllmlmlllm..……………………………………………(2分)

宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准 课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7

试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

ˆˆ,,,,yymlmllmmlmllm……..……………………………………..…….... (1分)

＝0……..…………………………………………………………………..…….... (1分)

前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符xlˆ的厄密性，这样证明0xl

2、证明：因为ˆˆF与Ｇ是厄米算符，设ψ是任意波函数，所以有

**ˆˆ()FdFd…………….………….…………………………….………..………(１分)

**ˆˆ()GdGd…………………………………………………………....………(１分)

****

= ....................................................(2 = ....................................................(2 =ˆˆˆˆ()ˆˆ()ˆˆ()FGdFGdGFdFG分）分）.....................................................(2d分）

FGˆˆ由厄米算符的定义知：是厄米算符…………………………………………………(2分)

五、计算题（40分）

１、(15分) xL的久期方程为：

0020220223……………..……………….………………..…(3分)

3210，，

∴xLˆ的本征值为，，0…………………. …..………………..………………………..…(2分)

xLˆ的本征方程：

3213210101010102aaaaaa…………. …..………………..………………………..…(1分)

当01时，有

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课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7

试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

0000101010102321aaa

0

00022132312aaaaaaa，

∴

1100aa

由归一化条件

2111*1*10020),0,(1aaaaa

取 211a

210210对应于xLˆ的本征值0 。…………………. …..……………….……..…(3分)

同理 当2时，有212121 ……………………………. …..……………….……..…(3分)

当2时，有212121……………………………. …..……………….……..…(3分)

2、(10分) 宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准

课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7

试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

解：由微扰公式得 1nnnEH ………….….. ………………(2分)

22'(0)(0)mnnmnmHEEE ………….……….…..…………(2分)

得 1111EHb ………………….…..…………(1分)

1222 EHb ………………….…..…………(1分)

2212'10000112mmmHaEEEEE ………………….…..…………(1分)