二元二次方程组

第1页 简单的二元二次方程组

资料编号:202210102353

含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.两个含有相同未知数的二元二次方程组成二元二次方程组.

解二元二次方程组的基本思路是把方程组转化为二元一次方程组或一元二次方程进行求解.注意所转化的二元一次方程组可能不唯一.

例题讲解

例1. 解方程组01122yxyx.

解:②①............01.............122yxyx

由方程②得:xy1③..........

把③代入①得:1122xx

整理得:02xx

解之得:1,021xx

∴011,10121yy

∴原方程组的解是1011yx,0122yx.

例2. 解方程组84122222yxyxyx.

解:②①...................84............122222yxyxyx

由方程①得:12yx

∴1yx或1yx

∴原方程组可化为84122yxyx或84122yxyx

第2页 解方程组84122yxyx得:5752,122211yxyx;

解方程组84122yxyx得:5752,122211yxyx.

∴原方程组的解为5752,122211yxyx,5752,124433yxyx.

例3. 解方程组01220212yxyx.

解:②①.........................0122................0212yxyx

数学解二元二次方程组的方法

一、引言

解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。

二、知识梳理

在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元二次方程的含义和解法。

1. 二元二次方程的定义

二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般形式如下：

{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0

{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0

其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同时为0。

2. 解二元二次方程的方法

解二元二次方程组的方法有以下几种：

（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。 （2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。

（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。

三、解二元二次方程组的具体步骤

下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。

1. 代入法

（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。

（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。

（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。

（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。

2. 消元法

（1）通过系数的倍数，使得二元二次方程组中其中一个未知数的系数相等或者互为相反数。

（2）将得到的两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。

（3）得到一元二次方程，求解该方程得到一个未知数的值。 （4）将求出的未知数代入其中一个方程，求出另一个未知数的值。

二元二次方程组定义

1. 嘿，你知道二元二次方程组是什么吗？就好比解一个超级谜题！比如说 x²+y²=25，x-y=1，这就是一个典型的二元二次方程组呀！它就像是一个复杂的迷宫，等着我们去找到正确的出路呢。

2. 哇哦，二元二次方程组呀，简单来说就是有两个未知数，而且最高次数是二的方程组合在一起！就像搭积木一样，把不同的方程放在一起，然后想办法求解。比如 2x²+3y²=10，x+2y=3，是不是很有意思呢？

3. 嘿呀，二元二次方程组，这可是个有趣的东西呢！它就好像是一场刺激的探险，要在一堆方程中找到答案。比如 x²+2xy+y²=9，x-y=2，这就是一个挑战呀，你不想试试解开它吗？

4. 哦哟，二元二次方程组啊，不就是那种让我们绞尽脑汁的东西嘛！就像破解一个神秘的密码锁。例如 3x²-y²=8，2x+3y=5，感觉好神奇呀！

5. 嘿，你想想看，二元二次方程组，不就是数学世界里的奇妙组合嘛！好比是一场精彩的比赛。像 x²-2y²=6，x+y=4 这样的，是不是勾起你的好奇心啦？

6. 哇，二元二次方程组呀，这可是个有难度但又超好玩的东西呢！就像要攻克一个坚固的堡垒。比如 4x²+3y²=12，2x-y=1，是不是很有挑战性？

7. 嘿呀，二元二次方程组，那可是数学里的一道独特风景呀！就如同寻找宝藏的地图。像 5x²+2xy-y²=7，x-2y=3，是不是让你跃跃欲试呢？

8. 哎呀，二元二次方程组，不就是要我们发挥聪明才智去解开的难题嘛！好比解开一团乱麻。比如 2x²-3y²=4，x+3y=2，你难道不想去试试吗？

9. 嘿，二元二次方程组，就像是一个充满奥秘的魔法阵呢！要我们去破解它的秘密。例如 x²+4y²=16，2x-y=3，是不是感觉很神奇？ 10. 哇塞，二元二次方程组啊，这可是数学领域里很特别的存在呀！就像在迷雾中寻找方向。像 3x²-2y²=9，x+4y=5，真的很吸引人去探索呢！

二元二次方程组的解法

一般的二元二次方程组如上，很不好解。所以中学数学课本里只介绍了很简单的几个例题，并没有给出一般解法，使人总感觉遗憾。我综合了几种资料中的介绍，总算是得到一套完整的解法，特此奉献给大家。其中资料 1 是我最先接触到的，但有的疑问并没有解开，后来参考另几种资料，方得明白。

在开始下面内容以前，先说明一下，二元二次方程组一般由两个方程组成，其中之一如果是一次的，或者是一元的，则利用代入法即可求解，这也就是中学课本里讲过的。因此下面只针对两个方程都是二元二次方程的情况。

下面谈谈我们的思路：如果其中一个方程的式子能分解成两个一次式的乘积，只要把这两个一次式方程分别和另外一个方程联立，当然也就成功了。如果不行呢？我们可以利用恒等变换，得到一个含参数 的新方程(3)，进而求解（下面的 和 即是方程(3)左边分解后得到的两个一次式）：

因此，我们的任务包括：得到合适的 值，对二元二次多项式进行分解。幸运的是，这两方面都有公式。

一、二元二次多项式能分解的条件

一个一般的二元二次多项式（注意交叉项和一次项系数前有个 ）

能分解的充分必要条件是：

以上结论的证明参见资料 2（原文给出的行列式有误，对照其后的展开式可知正确表达式）。我们只要把含 的方程(3)各项系数带入上面的行列式，就可以求出合适的 值。可以看出，这个关于 的行列式方程最高是三次的，大不了可以利用三次方程求根公式求出。

二、二元二次多项式分解的方法

有了合适的 ，仅能保证(3)式能够分解，但是如何分解呢？以下给出一种方法——取零法（见资料 3）：对可分解的二元二次多项式，先忽略掉所有含 的项，包括交叉项、 的二次项和一次项，对剩余的项进行分解，得到 再忽略掉所有含 的项，对剩余的项进行分解，得到

两式综合在一起（注意两个式子里的常数项是对应的），即原式可分解为

此法简单有效。而其中道理也很简单，把上面几个式子分别展开然后对比系数就可以，只是要注意必须先确定原式能分解才行。