第27章圆单元测试题（满分100分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分）1. 已知是半径为5的圆的一条弦，则的长不可能是()A.4B.8C.10D.122. 如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A.32B.34C.36D.383. 下列结论正确的是（）A.长度相等的两条弧是等弧B.半圆是弧C.相等的圆心角所对的弧相等D.弧是半圆4. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∠B=45∘，∠C=55∘，连接OE、OF、OE、OF，则∠EDF等于（）A.45∘B.55∘C.50∘D.70∘5. 在半径为12的⊙O中，60∘圆心角所对的弧长是（）A.6πB.4πC.2πD.π6. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，其内切圆半径为1，则Rt△ABC的周长为()A.12B.13C.14D.157. ⊙O的半径为5cm，P是⊙O内一点，OP=3cm，则过点P弦长为9cm的弦的条数为（）A.0条B.1条C.2条D.无数条8. 扇形的弧长为40πcm，半径长为90cm，则该扇形面积为（）A.1800πcm2B.2600πcm2C.4800πcm2D.2200πcm29. 在圆心角为120∘的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形OAB的面积是（）A.6πcm2B.8πcm2C.12πcm2D.24πcm210. AB是⊙O的弦，OQ⊥AB于Q，再以QO为半径作同心圆，称作小⊙O，点P是AB上异于A，B，Q的任意一点，则P点位置是（）A.在大⊙O上B.在大⊙O外部C.在小⊙O内部D.在小⊙O外而大⊙O内二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分）11. 某正六边形的周长为12，则其对角线的长为________cm．12. 如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70∘，则∠C=________度．13. 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为________．14. 在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于________．15. 已知圆的外切正方形的边长为a，则这个圆的内接正三角形的边长为________．16. 如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20∘，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=________度．17. 四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B=110∘，则∠ADE的度数为________．18. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D＝30∘，CH＝1cm，则AB＝________cm．19. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BOC=44∘，则∠A的度数为________度．20. 如图，五边形ABCD内接于⊙O，若AC＝AD，∠B+∠E＝230∘，则∠ACD的度数是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分）21. 如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60∘．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．22. 如图，已知梯形ABCD中，AD // BC，∠C=90∘，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）试探索以CD为直径的圆与AB有怎样的位置关系？证明你的结论．23. 如图，△ABC的内心为点I，外心为点O，且∠BIC=115∘，求∠BOC的度数．24. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．求证：DE⊥AC．25. 如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tan C=1，AD=3，求直径AB的长．2参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】因为圆中最长的弦为直径，所以弦加1≤10故选：D．2.【答案】B【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×(7+10)=34．故选：B．3.【答案】B【解答】解：A、根据圆内相关定义，能够完全重合的弧是等弧，故本选项错误，B、弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项正确；C、根据在同圆或等圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项错误．故选B．4.【答案】C【解答】解：∵ 在△ABC中，∠B=45∘，∠C=55∘，∵ ∠A=180∘−45∘−55∘=80∘，∵ ⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∵ ∠OFA=∠OEA=90∘，∵ ∠EOF=360∘−90∘−80∘−90∘=100∘，∠EOF=50∘，∵ ∠EDF=12故选C．5.【答案】B【解答】解：L=nπr180=60π×12180=4π，故选B．6.【答案】A【解答】解：设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，如图，∵ OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，AD=AE，BE=BF，∵ ∠ODC=∠OFC=∠ACB=90∘.∵ OD=OF，∵ 四边形ODCF是正方形，∵ CD=OD=OF=CF=1.∵ AD=AE，BF=BE，AE+BE=AB=5，∵ AD+BF=5，∵ Rt△ABC的周长为：AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12．故选A．7.【答案】C【解答】解：过点P的最短的弦是垂直于OP的弦．首先根据勾股定理求得此弦的一半是4，再根据垂径定理，得此弦长是8cm．过点P最长的弦长是直径，即10cm．则过点P弦长为9cm的弦的条数为无数条，只要保证弦心距是√192即可；但是此弦必须同时经过P点．故只有两条符合题意故选C．8.【答案】A【解答】解：根据题意得，S扇形面积=12×90×40π=1800π(cm2)．故选：A．9.【答案】C【解答】解：∵ 在圆心角为120∘的扇形AOB中，半径OA=6cm，∵ 扇形OAB的面积是：120π×62360=12π(cm2)，故选：C．10.【答案】D【解答】如图：因为OQ⊥AB，所以∠OQP＝90∘，得：OP>OQ，因此点P在小⊙O外．由图可知，∠OPB是一个大于90∘的角，所以OP<OB，因此点P在大⊙O内．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2√3或4【解答】解：如图所示，①过点F作FG⊥AE于点G，∵ 多边形ABCDEF是正六边形，∵ ∠AFE=120∘，AF=EF，∵ FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30∘，∵ AG=AF⋅cos30∘=2×√32=√3，∵ AE=2AG=2√3；②过点B，C分别作BM⊥AD，CN⊥AD于点M，N两点，∵ AB=2，∠ABM=30∘，∵ AM=1，同理DN=1，MN=BC=2，∵ AD=4，故答案为：2√3或4．12.【答案】35【解答】解：∵ ∠AOB=70∘，∠AOB=35∘．∵ ∠C=12故答案为：35．13.【答案】240π【解答】解：圆锥的侧面积=2π×12×20÷2=240π．故答案为：240π．14.【答案】120∘【解答】解：如图弦AB交半径OC于点E，因为AB垂直并且平分半径OC，所以OE=12OA，所以∠OAE=30∘，且OA=OB，所以∠AOB=120∘，所以劣弧AB的度数等于120∘，故答案为：120∘．15.【答案】√3a2【解答】解：如图所示：连接CO，过点O，作OE⊥CD于点E，四边形AMNB是正方形，⊙O切AB于点C，△CFD是⊙O的内接正三角形，∵ 圆的外切正方形的边长为a，∵ CO=BC=a2，∠OCE=30∘，∵ CE=a2⋅cos30∘=√3a4，∵ 这个圆的内接正三角形的边长为：2EC=√3a2．故答案为：√3a2．16.【答案】50【解答】解：∵ ∠A=20∘，∵ ∠BOC=40∘，∵ BC是⊙O的切线，B为切点，∵ ∠OBC=90∘，∵ ∠OCB=90∘−40∘=50∘，故答案为：50.17.【答案】110∘【解答】解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∵ ∠B+∠ADC=180∘，∵ E为CD延长线上一点，∵ ∠ADC+∠ADE=180∘，∵ ∠ADE=∠B=110∘.故答案为：110∘.18.【答案】2√3【解答】连接AC、BC．∵ ∠D＝∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D＝30∘，∵ ∠B＝30∘；又∵ CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，AB；∵ BH=12在Rt△CHB中，∠B＝30∘，CH＝1cm，，即BH=√3；∵ BH=CHtan30∵ AB＝2√3cm．19.【答案】22【解答】解：∵ ∠BOC=44∘=22∘∵ ∠A=44∘×1220.【答案】65∘【解答】连接OC，OD，CE，DB．在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC+∠AEC＝180∘；由圆周角定理知，∠AOC＝2∠AEC，∵ ∠ABC+12∠AOC＝180∘，同理∠AED+12∠AOD＝180∘两式相加有：230∘+12∠AOC+12∠AOD＝360∘，即∠AOC+∠AOD＝260∘，∵ ∠COD＝360∘−(∠AOC+∠AOD)＝100∘＝2∠CAD，∵ ∠CAD＝50∘．∵ AC＝AD，∵ ∠ACD=180−502=65，三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】证明：∵ CD是△ABC的中线，AB=2CD，∵ AD=BD=CD，∵ ∠B=60∘，∵ △CDB是等边三角形，∵ ∠BDC=∠DCB=60∘，∵ ∠A=∠ACD=30∘，∵ ∠ACB=90∘，∵ AB是△ABC的外接圆的直径，∵ ∠A=30∘，∠ACB=90∘，∵ BC=12AB，∵ △ABC的外接圆的半径为CB．【解答】证明：∵ CD是△ABC的中线，AB=2CD，∵ AD=BD=CD，∵ ∠B=60∘，∵ △CDB是等边三角形，∵ ∠BDC=∠DCB=60∘，∵ ∠A=∠ACD=30∘，∵ ∠ACB=90∘，∵ AB是△ABC的外接圆的直径，∵ ∠A=30∘，∠ACB=90∘，∵ BC=12AB，∵ △ABC的外接圆的半径为CB．22.【答案】（1）证明：过点O作OE⊥CD于点E，∵ 在梯形ABCD中，AD // BC，∠C=90∘，∵ AD⊥CD，BC⊥CD，∵ AD // OE // BC，∵ OA=OB，∵ OE是梯形ABCD的中位线，∵ OE=12(AD+BC)，∵ AD+BC=AB，∵ OE=12AB，∵ 以AB为直径作⊙O．∵ 直线CD是⊙O的切线．（2）设圆心为O′．过点O′作O′F⊥AB于点F，过点O′作O′M // AD，∵ O′M是梯形ABCD的中位线，∵ O′M=12(AD+BC)=12AB=DM，∵ ∠O′DM=∠DO′M，∵ AD // O′M，∵ ∠ADO′=∠DO′M=∠O′DM，在△AO′D和△FO′D中，{∠ADO′=∠FDO′∠A=∠O′FD=90∘O′D=O′D，∵ O′F=O′A=12AB，即CD与⊙O′相切．【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD于点E，∵ 在梯形ABCD中，AD // BC，∠C=90∘，∵ AD⊥CD，BC⊥CD，∵ AD // OE // BC，∵ OA=OB，∵ OE是梯形ABCD的中位线，∵ OE=12(AD+BC)，∵ AD+BC=AB，∵ OE=12AB，∵ 以AB为直径作⊙O．∵ 直线CD是⊙O的切线．（2）设圆心为O′．过点O′作O′F⊥AB于点F，过点O′作O′M // AD，∵ O′M是梯形ABCD的中位线，∵ O′M=12(AD+BC)=12AB=DM，∵ ∠O′DM=∠DO′M，∵ AD // O′M，∵ ∠ADO′=∠DO′M=∠O′DM，在△AO′D和△FO′D中，{∠ADO′=∠FDO′∠A=∠O′FD=90∘O′D=O′D，AB，∵ O′F=O′A=12即CD与⊙O′相切．23.【答案】解：如图，∵ △ABC的内心为点I，∵ ∠ABI=∠CBI（设为α），∠ACI=∠BCI（设为β），∵ ∠BIC=115∘，∵ α+β=180∘−115∘=65∘，∵ ∠A=180∘−2(α+β)=180∘−130∘=50∘，∵ ∠BOC=2∠A=100∘．【解答】解：如图，∵ △ABC的内心为点I，∵ ∠ABI=∠CBI（设为α），∠ACI=∠BCI（设为β），∵ ∠BIC=115∘，∵ α+β=180∘−115∘=65∘，∵ ∠A=180∘−2(α+β)=180∘−130∘=50∘，∵ ∠BOC=2∠A=100∘．24.【答案】证明：连接OD，∵ D是BC的中点，OA=OB，∵ OD是△ABC的中位线，∵ OD // AC，∵ DE是⊙O的切线，∵ OD⊥DE，∵ DE⊥AC．【解答】证明：连接OD，∵ D是BC的中点，OA=OB，∵ OD是△ABC的中位线，∵ OD // AC，∵ DE是⊙O的切线，∵ OD⊥DE，∵ DE⊥AC．25.【答案】(1)证明：∵ AB为⊙O的直径，∵ ∠D=90∘，∵ ∠ABD+∠A=90∘，∵ ∠DBC=∠A，∵ ∠DBC+∠ABD=90∘，即AB⊥BC，∵ BC是⊙O的切线；(2)∵ 点O是AB的中点，点E时BD的中点，∵ OE是△ABD的中位线，∵ AD // OE，∵ ∠A=∠BOC．、∵ 由(1)∠D=∠OBC=90∘，∵ ∠C=∠ABD，∵ tan C=12，∵ tan∠ABD=ADBD =12=3BD，解得BD=6，∵ AB=√AD2+BD2=√32+62=3√5．【解答】(1)证明：∵ AB为⊙O的直径，∵ ∠D=90∘，∵ ∠ABD+∠A=90∘，∵ ∠DBC=∠A，∵ ∠DBC+∠ABD=90∘，即AB⊥BC，∵ BC是⊙O的切线；(2)∵ 点O是AB的中点，点E时BD的中点，∵ OE是△ABD的中位线，∵ AD // OE，∵ ∠A=∠BOC．、∵ 由(1)∠D=∠OBC=90∘，∵ ∠C=∠ABD，∵ tan C=12，∵ tan∠ABD=ADBD =12=3BD，解得BD=6，∵ AB=√AD2+BD2=√32+62=3√5．。
第27章 圆评估测试卷(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.1.如图,若AB、CE是☉O的直径,∠COD=60°,且AD=BC,则与∠AOC相等的角有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知☉O的直径等于8,圆心O到点P的距离为5,则点P与☉O的位置关系是( )A.点P在☉O上B.点P在☉O外C.点P在☉O内D.无法确定3.(2024安徽中考)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则AB的长为( )A.2πB.3πC.4πD.6π4.(2024云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40 cm,底面的半径为30 cm,则该圆锥的侧面积为( )A.700π cm2B.900π cm2C.1 200π cm2D.1 600π cm25.如图,在☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连结AB、OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )A.25°B.27.5°C.30°D.35°6.如图,已知☉O的半径为5,M是圆外一点,MO=6,∠OMA=30°,则弦AB的长为( )A.4B.6C.63D.87.如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,∠B =90°,∠BCD =120°,AB =2,CD =1,则AD 的长为 ( )A.23-2B.3-3C.4-3D.28.如图,正六边形ABCDEF 的边长为6,以顶点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则图中阴影部分的面积为( )A.4πB.6πC.8πD.12π9.(2024泰安中考)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆O'的一个直径端点与半圆O 的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是( )A.43π-3B.43πC.23π-3D.43π-3410.如图,在直角梯形ABCD 中,以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ,BO 交半圆O 于点F ,DF 的延长线交AB 于点P ,连结DE .以下结论:①DE ∥OF ;②AB +CD =BC ;③PB =PF ;④AD 2=4AB ·DC .其中正确的是( )A.①②③④B.①②C.①②④D.③④二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.11.如图,A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=20°,则这个正多边形的边数为 .12.某班同学要制作一个圆锥形纸帽,已知圆锥的母线长为30 cm,底面直径为20 cm,则这个纸帽的表面积为 .13.抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.如图,AC、BD分别与☉O相切于点C、D,延长AC、BD交于点P.若∠P=120°,☉O的半径为6 cm,则图中劣弧CD的长为 cm.(结果保留π)14.已知☉O的直径为10,弦AB=6,P为弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围是 .15.已知∠APE,有一量角器如图摆放,中心O在PA边上,OA为0°刻度线,OB为180°刻度线,角的另一边PE与量角器半圆交于C、D两点,点C、D对应的刻度分别为160°,68°,则∠APE= °.第15题图 第16题图16.(2024牡丹江中考)如图,在☉O中,直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为 .三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(7分)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=4 cm,扇形BAE的半径AE=6 cm,扇形BCF的半径CB=4 cm,求阴影部分的面积.(π取3.14)18.(7分)(2024武威凉州区二模)如图,点A、B、C都在☉O上,且CA=CB,若AB=8,☉O的半径为5,连结CO,求AC的长.19.(7分)如图,在平面直角坐标系中,有一条圆心角为90°的圆弧,且该圆弧经过网格点A(0,4),B(-4,4),C(-6,2).(1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ;(2)求扇形AMC的面积.20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,DE⊥BE.(1)已知DE=4,BE=6,求tan∠CBE的值.(2)求证:AC是☉O的切线.21.(8分)如图,AB为☉O的直径,DE为切线,AE⊥DE,若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.22.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB边上一点,以OA为半径的☉O与BC相切于点D,分别交AB、AC边于点E、F.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若AC=6,tan∠CAD=1,求AE的长.2四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.23.(9分)如图,AB=AC,∠APC=60°.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)若BC=4 cm,求☉O的面积.24.(9分)(2024绍兴期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x-4与坐标轴相交于点A、B,过点O、A的☉E与该直线相交于点C,连结OE,OE=2.5.(1)求点E到x轴的距离;(2)连结OC,求OC的长.25.(10分)如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连结AE交☉O于点F,连结BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG;(2)若∠AEB=55°,OA=3,求劣弧BF的长.(结果保留π)26.(10分)(2024兰州中考)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,点D为☉O上一点,BC=BD,延长BA至点E,使得∠ADE=∠CBA.(1)求证:ED是☉O的切线;,求ED的长.(2)若OB=4,tan∠CBA=1227.(12分)(2024烟台中考)如图,AB是☉O的直径,△ABC内接于☉O,点I为△ABC的内心,连结CI 并延长交☉O于点D,E是BC上任意一点,连结AD、BD、BE、CE.(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明;(3)若CI=22,DI=132,求△ABC的周长.2【详解答案】1.C 2.B3.C 解析:AB的长=nπr180=120×π×6180=4π.故选C.4.C 解析:圆锥的侧面积=12×2π×30×40=1200π(cm2).故选C.5.D 解析:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°.∴∠AOC=2∠B=50°.∴∠C=180°-95°-50°=35°.故选D.6.D 解析:如图,过点O作OC⊥AB于点C,连结OA,则∠OCA=90°.∵MO=6,∠OMA=30°,∴OC=12MO=3.在Rt△OCA中,由勾股定理,得AC=OA2-OC2=52-32=4.∵OC⊥AB,OC 过点O,∴BC=AC,即AB=2AC=2×4=8.故选D.7.C 解析:如图,延长AD、BC交于点E.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°.∵∠B=90°,∴∠ADC=90°,∠E=30°.在Rt△ABE中,AE=2AB=4.在Rt△CDE中,DE=CDtan E=3.∴AD=AE-DE=4-3.故选C.8.D 解析:根据题意,得正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°.∵正六边形的六个内角相等,∴∠A=16×720°=120°.∵正六边形的边长为6,∴扇形的半径为6,∴S阴影=S扇形BAF=120π×62360=12π,即阴影部分的面积为12π.故选D.9.A 解析:如图,连结OA、AO',作AB⊥OO'于点B,∵OA=OO'=AO'=2,∴三角形AOO'是等边三角形.∴∠AOO'=60°,OB=12OO'=1.∴AB=22-12=3.∴S弓形AO'=S扇形AOO'-S△AOO'=60π×22360-2×3×12=2π3―3,∴S阴影=S弓形AO'+S扇形AO'O=2π3―3+2π3=4π3―3.故选A.10.C 解析:如图,连结AE.∵BA、BE是圆的切线,∴AB=BE,BO是△ABE顶角的平分线,∴OB⊥AE,∵AD是圆的直径,∴DE⊥AE,∴DE∥OF,故①正确;∵CD=CE,AB=BE,∴AB+CD=BC,故②正确;∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD=∠BFP,若PB=PF,则有∠PBF=∠BFP=∠ODF,而△ADP与△ABO不一定相似,故PB=PF不一定成立,故③不正确;连结OC ,可以证明△OAB ∽△CDO ,∴OA CD =AB OD ,即OA ·OD =AB ·CD ,∴AD 2=4AB ·DC ,故④正确.故正确的是①②④.故选C.11.九12.300π cm 2 解析:S 表=S 扇形=12lR =12×π×20×30=300π(cm 2).13.2π 解析:连结OC 、OD (图略).∵AC 、BD 分别与☉O 相切于点C 、D ,∴∠OCP =∠ODP =90°.∵∠P =120°,∴∠COD =60°.∵☉O 的半径为6 cm,∴劣弧CD 的长为60×π×6180=2π(cm).14.4≤OP ≤5 解析:作OC ⊥AB 于点C ,连结OA (图略),则OC =OA 2-AC 24,即OP 的最小值为4,当OP 取最大值时点P 在圆上,即点P 与点A 或B 重合时,OP 取得最大值,最大值为☉O 的半径,∴OP 长的取值范围为4≤OP ≤5.15.24 解析:如图,连结OD 、OC ,根据题意,得∠AOD =68°,∠AOC =160°.∴∠COD =∠AOC -∠AOD =92°,∠COP =180°-∠AOC =20°.∵OC =OD ,∴∠OCD =∠ODC =12×(180°-92°)=44°.∵∠OCD =∠COP +∠APE ,∴∠APE =24°.16.310 解析:∵AB⊥CD,CD=6,∴CE=DE=12CD=3.设☉O的半径为r,则OE=OB-BE=r-1,在Rt△OED中,由勾股定理,得OE2+DE2=OD2,即(r-1)2+32=r2,解得r=5,∴OA=5,OE=4.∴AE=OA+OE=9,在Rt△AEC中,由勾股定理,得AC=CE2+AE2=32+92=310.17.解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠C=90°,∴阴影部分的面积=扇形BAE面积+扇形BCF面积-矩形面积=90 360×π×AB2+90360×π×CB2-AB×BC=90 360×π×62+90360×π×42-6×4=9π+4π-24≈13×3.14-24=16.82(cm2).18.解:如图,设AB与OC交于点D,连结OA、OB,则OA=OB.∵CA=CB,∴OC垂直平分AB,即OC⊥BA.∵AB=8,∴AD=BD=12AB=4.∵☉O的半径为5,∴OD=OA2-AD2=3.∴CD=OC-OD=5-3=2.∴AC=AD2+CD2=25.19.解:(1)(-2,0)(2)∵扇形的半径r=22+42=4+16=25,∠AMC=90°,∴S扇形AMC=nπr2360=90π×(25)2360=5π.20.(1)解:∵DE⊥BE,∴∠BED=90°.在Rt△BED中,DE=4,BE=6,则tan∠EBD=EDBE =23.又∵BE是∠ABC的平分线,∴∠CBE=∠EBD.∴tan∠CBE=tan∠EBD=23. (2)证明:如图,连结OE.∵OE=OB,∴∠EBO=∠OEB.又∵∠CBE=∠EBD,即∠CBE=∠EBO,∴∠OEB=∠CBE.∴BC∥OE.又∵∠C=90°,∴∠OEA=90°,即OE⊥AC.又∵点E在☉O上,∴AC是☉O的切线.21.解:如图,连结OC,∵DE为☉O的切线,∴OC ⊥DE .∴∠OCD =90°.∵∠D =30°,∴∠DOC =60°,OD =2OC .∴BD =OB =OA .∵AE ⊥DE ,∠D =30°,AE =6,∴AD =2AE =12.∴OD =8,OC =4.∴CD =OD 2-OC 2=82-42=43,∴S 阴影=S △OCD -S 扇形BOC =12×43×4-60π×42360=83―83π.22.(1)证明:如图,连结OD ,则OD =OA ,∴∠ODA =∠BAD .∵☉O 与BC 相切于点D ,∴BC ⊥OD .∴∠ODB =∠C =90°.∴OD ∥AC .∴∠ODA =∠CAD .∴∠BAD =∠CAD .∴AD 平分∠BAC .(2)解:如图,连结DE ,在Rt △ACD 中,tan ∠CAD =CD AC =12,AC =6,∴CD =12AC =3.∴AD =CD 2+AC 2=32+62=35.∵AE 是☉O 的直径,∴∠ADE =90°.∴∠ADE =∠C .由(1)知∠EAD =∠CAD .∴△ADE ∽△ACD .∴AEAD =ADAC,即AE35=356,∴AE=7.5.23.(1)证明:∵AB=AC,∴AB=AC.又∵∠B=∠APC=60°,∴△ABC是等边三角形.(2)解:连结BO并延长,交☉O于点D,连结CD(图略).∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.又∵∠BAC=60°,∴∠BDC=60°.在Rt△BCD中,BC=4 cm,∠BDC=60°,∴BD=BCsin∠BDC =4sin60°=833(cm),∴OB=433cm,∴S圆=π·(OB)2=163π(cm2). 24.解:(1)过点E作EH⊥x轴于点H,如图,当y=0时,x-4=0,解得x=4,∴A(4,0).∵EH⊥OA,∴OH=AH=12OA=2.在Rt△OHE中,EH=OE2-OH2= 2.52-22=32,∴点E到x轴的距离为32.(2)连结CE,如图,当x=0时,y=x-4=-4,∴B(0,-4).∵OA=OB=4,∴△OAB为等腰直角三角形.∴∠OAB=45°.∴∠OEC=2∠OAB=90°.∴△OEC为等腰直角三角形.∴OC=2OE=522.25.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为☉O的直径,∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,AB=BC,∴∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠EBF=90°,∴∠EBF=∠BAF.在△ABE和△BCG中,∠BAE=∠CBG, AB=BC,∠ABE=∠BCG,∴△ABE≌△BCG(A.S.A.). (2)解:连结OF,如图.∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°,∴∠BAE=90°-55°=35°.∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3,∴劣弧BF的长=70×π×3180=7π6.26.(1)证明:连结OD,如图所示:∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=∠BDA=90°,OB=OD,∴∠DBA=∠BDO.在Rt△BCA和Rt△BDA中,BA=BA, BC=BD,∴Rt△BCA≌Rt△BDA(H.L.),∴∠CBA=∠DBA.∵∠ADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO,∴∠ADE=∠DBA=∠BDO.∵∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°,∴∠ADE+∠ADO=90°,即ED⊥OD.∵OD是☉O的半径,∴ED是☉O的切线.(2)解:∵OB=4,∴AB=2OB=8.∴EB=AE+AB=AE+8.∵tan∠CBA=12,∠CBA=∠DBA,∴tan∠DBA=12.在Rt△ABD中,tan∠DBA=ADBD =12,设AD=a,则BD=2a,∵∠ADE=∠DBA,∠E=∠E,∴△EAD∽△EDB,∴ED∶EB=EA∶ED=AD∶DB,即ED∶(AE+8)=EA∶ED=a∶2a,由EA∶ED=a∶2a,得EA=12ED,由ED∶(AE+8)=a∶2a,得2ED=AE+8,∴2ED=12ED+8,∴ED=163.27.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°.又∵∠ABC=25°,∴∠CAB=90°-25°=65°.∵四边形ABEC是☉O的内接四边形,∴∠CEB+∠CAB=180°,∴∠CEB=180°-∠CAB=115°.(2)DI=AD=BD.证明如下:如图1,连结AI,图1∵点I为△ABC的内心,∠ACB=45°.∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI=12∴AD=BD,∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,∴∠DAI=∠DIA.∴DI=AD=BD.(3)如图2,过点I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q、F、P,图2∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心,∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点,∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP.∵CI=22,∠IFC=90°,∠ACI=45°,∴CF=CI·cos 45°=2=CP.,∠ADB=90°,∵DI=AD=BD,DI=1322=13,∴AB=AD2+BD2=2DI=2×1322∴△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+BP=AB+AQ+2CF+BQ =2AB+2CF=2×13+2×2=30.。
华东师大版九年级数学下册《27.2圆的对称性》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________圆的对称性1.(易错题)下列说法中,不正确的是()A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形B.圆有无数条对称轴C.圆的每一条直径都是它的对称轴D.圆的对称中心是它的圆心2.如图所示,三个圆是同心圆,则图中阴影部分的面积为.圆心角、弧、弦之间的关系3.(2024亳州利辛县开学)下列说法正确的是()A.等弧所对的弦相等B.相等的弦所对的弧相等C.相等的圆心角所对的弧相等D.相等的圆心角所对的弦相等4.如图,在☉O中,AC⏜=BD⏜,∠AOB=40°,则∠COD的度数为()A.20°B.40°C.50°D.60°⏜=AC⏜.若AB=2,则BC的长为.5.如图,点A在半圆O上,BC是直径,ABAB⏜,则∠COE=.6.如图,AB是☉O的直径,AC⏜=CD⏜=DB⏜,BE⏜=157.如图,AB为☉O的直径,半径OC∥弦BD,判断AC⏜与CD⏜是否相等,并说明理由.⏜=2CD⏜,则下列结论正确的是()1.(易错题)如图,在☉O中,ABA.AB>2CDB.AB=2CDC.AB<2CDD.以上都不正确⏜的中点,若☉O的半径为2,则四边形ACBO的面积2.如图,A、B是☉O上的点,∠AOB=120°,C是AB为()A.√3B.2C.4D.2√33.如图,已知AB、CD是☉O的直径,AE⏜=AC⏜,∠AOE=32°,则∠COE的度数为°.⏜=CD⏜,则下列结论:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④AC⏜=BD⏜.其中正4.如图,在☉O中,AB确的是.(填序号)5.如图,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连结AD、BC.⏜=BC⏜;求证:(1)AD(2)AE=CE.6.如图,在☉O中,直径为MN,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及☉O上,并且∠POM=45°,若AB=1.(1)求OD的长;(2)求☉O的半径.7.(抽象能力)如图,A 点是半圆上一个三等分点,B 点是AN ⏜的中点,P 是直径MN 上一动点,☉O 的半径为1,则AP +BP 的最小值为多少?参考答案课堂达标1.C2.14π 3.A 4.B 5.2√2 6.84° 7.解:相等.理由如下:如图,连结OD ∵OC ∥BD∴∠AOC =∠B ,∠COD =∠D . ∵OB =OD ,∴∠D =∠B . ∴∠AOC =∠COD ,∴AC⏜=CD ⏜.课后提升1.C 解析:如图,取AB⏜的中点E ,连结AE 、BE∵在☉O 中,AB⏜=2CD ⏜ ∴AE⏜=BE ⏜=CD ⏜.∴AE =BE =CD . ∵AE +BE >AB ,∴2CD >AB .故选C.2.D 解析:连结OC ,如图,∵C 是AB⏜的中点,∠AOB =120°,∴∠AOC = ∠BOC =60°.又∵OA =OC =OB ,∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形.∴S 四边形ACBO =2×12×2×2×√32=2√3.故选D.⏜=AC⏜,∴∠AOE=∠COA.又∵∠AOE=32°3.64解析:∵AE∴∠COA=32°.∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.⏜=CD⏜4.①②③④解析:在☉O中,AB⏜=BD⏜.∴AB=CD,AC∴AC=BD,∠AOC=∠BOD.故①②③④均正确.⏜=CD⏜,即AD⏜+AC⏜=BC⏜+AC⏜,∴AD⏜=BC⏜.5.证明:(1)∵AB=CD,∴AB(2)连结AC、BD(图略).⏜=BC⏜,∴AD=BC.∵AD又∵AB=CD,AC=CA,BD=DB∴△ADC≌△CBA,△ADB≌△CBD.∴∠ADC=∠CBA,∠DAB=∠BCD.又∵AD=BC∴△ADE≌△CBE.∴AE=CE.6.解:(1)∵四边形ABCD为正方形∴DC=BC=AB=1,∠DCO=∠ABC=90°.∵∠POM=45°,∴CO=DC=1.∴OD=√2CO=√2×1=√2.(2)由(1)知BO=BC+CO=1+1=2.如图,连结AO,则△ABO为直角三角形故AO=√AB2+BO2=√12+22=√5即☉O的半径为√5.7.解:如图,作A 关于MN 的对称点A',根据圆的对称性,A'必在圆上.连结BA'交MN 于点P 则此时P A +PB 的值最小为P A'+PB =A'B . 连结OA 、OA'、OB . ∵AN⏜=13MN ⏜ ∴∠A'ON =∠AON =60°.∵AB ⏜=BN ⏜,∴∠BON =12∠AON =30°. ∴∠A'OB =∠A'ON +∠BON =90°.∴A'B =√OA '2+OB 2=√2. ∴AP +BP 的最小值是√2.。
华东师大版九年级数学下册第27章 圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（ ）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°2、在ABC 中，45B ∠=︒，6AB =，给出条件：①4AC =；②8AC =；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC 的长唯一．可以选取的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①或③3、如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4AB =．设弦AC 的长为x ，ABC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．4、如图，PA、PB是O的切线，A、B是切点，点C在O上，且58∠=︒，则APBACB∠等于（）A．54°B．58°C．64°D．68°5、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm6、在同一平面内，有一半径为6的⊙O和直线m，直线m上有一点P，且OP=4；则直线m与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定7、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π8、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A ．75°B ．70°C ．65°D ．55° 9、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（ ）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的1310、如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，若∠APB ＝60°，PA ＝5，则弦AB 的长是（ ）A ．52 B C ．5 D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，半径为2的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 是弧AB 的中点，点D 、E 是半径OA 、OB 上的动点，且满足∠DCE ＝60°，则图中阴影部分面积等于___________．2、已知扇形的圆心角为30，半径为6 cm，则扇形的弧长是____________cm.3、一个直角三角形的斜边长，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________2cm．4、在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为_____．5、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝_____．6、已知⊙O的直径为8cm，如果直线AB上的一点与圆心的距离为4cm，则直线AB与⊙O的位置关系是 _____．7、如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为∠BAC＝________度．8、在圆内接四边形ABCD 中，40D B ∠-∠=︒，则D ∠的度数为______．9、如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OAB ∠=︒，3PA =，则AB 的长为______．10、如图，把O 分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF ，如果O 的周长为12π，那么该正六边形的边长是______．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、已知∠MPN 的两边分别与圆O 相切于点A ，B ，圆O 的半径为r ．（1）如图1，点C 在点A ，B 之间的优弧上，∠MPN ＝80°，求∠ACB 的度数；（2）如图2，点C 在圆上运动，当PC 最大时，要使四边形APBC 为菱形，∠APB 的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC 交圆O 于点D ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r 的式子表示）．2、下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：直线PA 和O 相切．作法：如图，①连接AO ；②以A 为圆心，AO 长为半径作弧，与O 的一个交点为B ；③连接BO ；④以B 为圆心，BO 长为半径作圆；⑤作B 的直径OP ；⑥作直线PA ．所以直线PA 就是所求作的O 的切线．根据小亮设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上．∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（______）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上，∴PA 是O 的切线（______）（填推理的依据）．3、在⊙O 中，AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形．（1）求证：BA 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，①求⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．4、如图，△ABC 内接于⊙O ，弦BD ⊥AC ，垂足为E ．点D ，点F 关于AC 对称，连接AF 并延长交⊙O 于点G ．(1)连接OB ，求证：∠ABD ＝∠OBC ；(2)求证：点F ，点G 关于BC 对称；(3)若BF＝OB＝2，求△ABC面积的最大值．5、【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）【推论证明】已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．求证：线段AB是⊙O的直径．请你结合图①写出推论1的证明过程．【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为．【拓展应用】如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝DE的长为．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2、B【解析】【分析】画出图形，作AD BE ⊥，交BE 于点D ．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AD 的长，再由AD 和AC 的长作比较即可判断①②；由前面所求的AD 的长和AB 的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可在AB 上方，也可在AB 下方，其与AE 的交点即为C 点，为两点不唯一，可判断其不符合题意．【详解】如图，45ABE ∠=︒，6AB =，点C 在射线AE 上．作AD BE ⊥，交BE 于点D ．∵45ABE ∠=︒，∴ABD △为等腰直角三角形，∴4BD AD AB ===>， ∴不存在4AC =的三角形ABC ，故①不符合题意；∵6AB =，=AD AC =8，而AC >6，∴存在8AC =的唯一三角形ABC ，如图，点C 即是．∴8AC =，使得BC 的长唯一成立，故②符合题意；∵4AD =>，68AB =<，∴存在两个点C 使ABC 的外接圆的半径等于4，两个外接圆圆心分别在AB 的上、下两侧，如图，点Ｃ和C '即为使ABC 的外接圆的半径等于4的点．故③不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外接圆的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．3、B【解析】【分析】由AB 为圆的直径，得到∠C =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得到BC =而列出△ABC 面积的表达式即可求解．【详解】解：∵AB 为圆的直径，∴∠C =90°，4AB =，AC x =，由勾股定理可知：∴BC ==∴1122∆=⋅=⋅ABC S BC AC x 此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除选项A 和选项C ， AB 为定值，当OC AB ⊥时，ABC ∆面积最大，此时AC =即x =y 最大，故排除D ，选B ．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．4、C【解析】【分析】连接OB ，OA ，根据圆周角定理可得2116AOB ACB ∠=∠=︒，根据切线性质以及四边形内角和性质，求解即可．【详解】解：连接OB ，OA ，如下图：∴2112AOB ACB ∠=∠=︒∵PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点∴90OBP OAP ∠=∠=︒∴由四边形的内角和可得：36064APB OBP OAP AOB ∠=︒-∠-∠-∠=︒故选C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质以及四边形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．5、C【解析】【分析】连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示：则136()2BD AB cm ==， O 的直径为78cm ，39()OB OC cm ∴==，在Rt OBD △中，15()OD cm ，391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为24cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、A【解析】【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：∵⊙O的半径为6，直线m上有一动点P，OP=4，∴直线与⊙O相交．故选：A．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l和⊙O相切是解答此题的关键．7、B【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：它的侧面展开图的面积＝1×2π×2×3＝6π（cm2）．2故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8、B【解析】【分析】直接根据圆周角定理求解．解：35ACB∠=︒，270AOB ACB∴∠=∠=︒．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9、A【解析】【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19n，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，∴原来扇形的面积为2 360n rπ，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19 n，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n rππ=，∴扇形的面积不变．故选：A．本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．10、C【解析】【分析】先利用切线长定理得到PA =PB ，再利用∠APB =60°可判断△APB 为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【详解】解：∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴PA =PB ，∵∠APB =60°，∴△APB 为等边三角形，∴AB =PA =5．故选：C ．【点睛】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题1、43π【解析】【分析】如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,F AOC △是等边三角形，求解3,CF 证明,60,AC OC DAC ACO 再证明,ACD OCE ASA ≌ 可得AOC AOB S S S 阴影扇形，再计算即可得到答案.【详解】解：如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,FC 是AB 的中点，120,AOB ∠=︒ 160,2AOC BOC AOB ,AO COAOC ∴是等边三角形， ,60,AC OC OAC ACO 60,DACEOC ,2,CFAO AO CO 11,2AF OF AO 2222213,CF OC OF60,DCE,DCE OCD ACO OCD,ACD OCE ∴∠=∠ 而60,,DACEOC AC OC,ACD OCE ASA ≌,DOC OEC AOC DCEO S S S S 四边形AOC AOB S S S 阴影扇形212021423336023故答案为：43π【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握“利用转化的思想求解阴影部分的面积”是解本题的关键.2、π 【解析】【分析】知道半径，圆心角，直接代入弧长公式180n r L π=即可求得扇形的弧长． 【详解】解：180n r L π=， ∴扇形的弧长306180L cm ππ==， 故答案为：π．【点睛】 本题考查了弧长公式，解题的关键是要掌握弧长公式：180n r L π=才能准确的解题．3、【分析】设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ）根据勾股定理()(222+6x x -=，解一元二次方程求出1224x x ==，，利用三角形面积公式求124=42⨯⨯2cm 即可．【详解】解：设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ），∵三角形是直角三角形，∴根据勾股定理()(222+6x x -=，整理得：2680x x -+=，解得1224x x ==，，这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，， 三角形面积为124=42⨯⨯2cm ．4．【点睛】本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．4、2π【解析】利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S''''--扇形扇形求出答案． 【详解】解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AC =2BC =2，AB60CAB '∠=︒， ∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形2260902113603602ππ⨯⨯=--⨯=2π故答案为：2π．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．5、1【解析】【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AD的长，再由勾股定理得出OD的长即可解答．【详解】解：连接OA，∵AB=6，OC⊥AB于点D，∴AD=12AB=12×6=3，∵⊙O的半径为5，∴2222534OD OA AD，∴CD=OC-OD=5-4=1．故答案为：1．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．6、相切或相交【解析】【分析】本题需分类讨论，当直线上的点到圆心的连线垂直于直线AB时，直线于圆的位置关系为相切，当直线上的点到圆心的连线与直线AB不垂直时，直线到圆心的距离小于圆的半径，直线与圆相交．【详解】设直线AB上与圆心距离为4cm的点为C，当OC⊥AB时，OC=⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切，当OC与AB不垂直时，圆心O到直线AB的距离小于OC，所以圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相交，综上所述直线AB与⊙O的位置关系为相切或相交，故答案为：相切或相交．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，本题需根据圆心与直线上一点的距离，分类讨论圆与直线的位置关系，利用分类讨论思想是解决本题的关键．7、60【解析】【分析】在Rt△BOE中，利用勾股定理求得OE=1，知OB=2OE，得到∠BOE=60°，∠BOC=120°，再利用圆周角定理即可解决问题．【详解】解：如图作OE⊥BC于E．∵OE ⊥BC ，∴BE =EC BOE =∠COE ，∴OE =1，∴OB =2OE ，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =∠COE =60°，∴∠BOC =120°，∴∠BAC =60°，故答案为：60．【点睛】 本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 8、110°##110度【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，得∠D +∠B =180°，结合已知求解即可．【详解】∵圆内接四边形对角互补，∴∠D +∠B =180°，∵40D B ∠-∠=︒∴∠D =110°，故答案为：110°．本题考查了圆内接四边形互补的性质，熟练掌握并运用性质是解题的关键．9、3【解析】【分析】由切线长定理和30OAB ∠=︒，可得PAB ∆为等边三角形，则AB PA =．【详解】解：连接,OA OP ，如下图：PA ，PB 分别为O 的切线，PA PB ∴=，PAB ∴为等腰三角形，30OAB ∠=︒，60PAB ∴∠=︒，PAB ∴∆为等边三角形，AB PA ∴=，3PA =，3AB ∴=．故答案为：3．本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．10、6【解析】【分析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．∵正六边形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，∵O的周长为12π，∴O的半径为1262ππ=，正六边形的边长是6；【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．三、解答题1、（1）50°（2）∠APB=60°（3）13rπ⎫+⎪⎭【解析】【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB ＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求AD，即可求解．【详解】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°，∴∠APB＋∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB＋∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP=，PD＝r，∵∠AOP＝90°−∠APO＝60°，∴AD的长度＝601803rrππ⨯⨯=，133r r rππ⎫++=+⎪⎭．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2、 (1)见解析(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．(1)解：补全的图形如图所示；(2)证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上．∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上，∴PA 是O 的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2）①4π-【解析】【分析】（1）连接AO ，由AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形，即得推得ACO △为等边三角形，即可得∠BAO =∠BAC +∠CAO =90°，即BA 是⊙O 的切线．（2）①由（1）有A 0=tan 60AB =︒②将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO 面积减去三角形ACO 面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可．【详解】（1）证明：连接OA∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BE∴∠ADC=∠DCO又∵AC AD=∴∠ACD=∠ADC∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=2∠ADC又∵2∠ADC=AOC∠∴AOC ACO∠=∠∴AO=AC又∵OC=AO∴ACO△为等边三角形∴∠ACO=∠CAO=60°，∠ACD=∠DCO=30°又∵AB//CD∴∠BAC=∠ACD=30°∴∠BAO=∠BAC+∠CAO=30°+60°=90°∴BA是⊙O的切线．（2）①由（1）可知∠BAO=90°，∠BOA=60°∴tanBA BOAAO ∠=∴AO =6tan tan BA BOA BOA ===∠∠②连接AO ，与CD 交于点M∵AC =OAC =60°∴CM =sin 603AC ⋅︒==∴11322AOC S AO CM =⋅⋅=⨯=△∵AO =AOC =60°∴22360AOCn r S ===︒扇形ππ ∴2AOC AOC S S S =-△阴影扇形（）∴224S =-=-阴影（ππ【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键．4、 (1)见解析(2)见解析(3)△ABC 的面积最大值为【解析】【分析】（1）连接OC ，根据BD AC ⊥，得出90BAC ABD ︒∠+∠=，根据,OB OC =得出,OBC OCB ∠=∠可得1902OBC BOC ︒∠+∠=，可得∠BAC =12BOC ∠，得出90BAC OBC ︒∠+∠=即可； （2）连接AD ，BG ．根据点D ，点F 关于AC 对称，得出AC 垂直平分DF ，可得AD AF =，根据同弧所对圆周角性质D AFD ∠=∠，∠FAC =∠DAC ，得出DC GC =，∠DBC =∠GBC ，根据∠ADB =∠AGB ，∠AFD =∠BFG ，得出BF =BG ，根据∠CAG =∠CBG ，得出BC ⊥FG 即可；（3）连结OG ，CG 延长BO ，交⊙O 于H ，连结GH ，设AG 与BC 交于M ，由（2）得BF =BG =2，可证△OBG 为等边三角形，得出∠BOG =60°，根据OH =OG ，得出∠OHG =∠OGH =1302BOG ∠=︒，可得∠BAG =∠BCG =∠H =30°，利用30°直角三角形性质可得BA =2BM ，根据勾股定理在Rt △ABG 中，AG ⊥BC 于M ，AM=，设BM =x ，AM ，GM函数CM =MG x ABC 的面积最大，求出x(1)证明：如图①，连接OC ，BD AC ⊥，90AEB ︒∴∠=，90BAC ABD ︒∴∠+∠=，OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，2180OBC BOC︒∴∠+∠=，∴1902OBC BOC︒∠+∠=，∵∠BAC=12BOC ∠，90BAC OBC︒∴∠+∠=，ABD OBC∴∠=∠；(2)证明：如图②，连接AD，BG．∵点D，点F关于AC对称，∴AC垂直平分DF，AD AF=，D AFD∴∠=∠，∠FAC=∠DAC，∴DC GC=，∴∠DBC=∠GBC，∵∠ADB=∠AGB，∠AFD=∠BFG，∴BF=BG，∵∠CAG=∠CBG，∵BC⊥FG，∴点F ，点G 关于BC 对称；(3)（3）连结OG ，CG 延长BO ，交⊙O 于H ，连结GH ，设AG 与BC 交于M ，由（2）得BF =BG =2，∵BO =GO =2=BG ，∴△OBG 为等边三角形，∴∠BOG =60°，∵OH =OG ，∴∠OHG =∠OGH =1302BOG ∠=︒， ∴∠BAG =∠BCG =∠H =30°，∴BA =2BM ，在Rt △ABG 中，AG ⊥BC 于M ，AM，设BM =x ，∴AM ，GM ，∴CM =MG∴S △ABC =S △ABM +S △ACM =111222BM AM CM AM x ⨯+⨯=，∴当xABC 的面积最大，∴解得xS △ABC 最大=2S △ABM =2212x ⨯⨯==【点睛】本题考查直线垂直性质，互余性质，等腰三角形内角和性质，轴对称性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，同和所对圆周角性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数，函数最值等知识，通过辅助线画出准确图形是解题关键．5、【推论证明】见解析；【拓展应用】1+【解析】【分析】推论证明：根据圆周角定理求出180AOB ∠=︒，即可证明出线段AB 是⊙O 的直径；深入探究：连接AB ，首先根据∠ACB ＝90°得出AB 是⊙O 的直径，然后求出30BCD ∠=︒，然后根据同弧所对的圆周角相等得到30BAD ∠=︒，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD 的长度，最后根据勾股定理即可求出AD 的长度；拓展应用：连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，首先根据等边三角形三线合一的性质求出AE BC ⊥，然后证明出A ，E ，C ，D 四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出45CED CAD ∠=∠=︒，30EDC EAC ∠=∠=︒，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．【详解】解：推论证明：∵90C ∠=︒∴180AOB ∠=︒，∴A ，B ，O 三点共线，又∵点O 是圆心，∴AB 是⊙O 的直径；深入探究：如图所示，连接AB ，∵∠ACB ＝90°∴AB 是⊙O 的直径∴90ADB ∠=︒∵∠ACD ＝60°∴30BCD ACB ACD ∠=∠-∠=︒∵DB DB =∴30BAD BCD ∠=∠=︒∴在Rt ABD ∆中，112BD AB ==∴AD拓展应用：如图所示，连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，点E 是BC 的中点∴AE BC ⊥，1302CAE BAC ∠=∠=︒又∵以AC 为底边在三角形ABC 外作等腰直角三角形ACD∴90ADC ∠=︒，45DAC ∠=︒∴点A ，E ，C ，D 四点都在以AC 为直径的圆上，∵DC DC =∴45CED CAD ∠=∠=︒∵CF ⊥DE∴EFC ∆是等腰直角三角形∴EF CF =，222EF CF EC +=∴222EF EC =∵1122EC BC AB ===∴222EF =，解得：1EF =∴1FC = ∵EC EC =∴30EDC EAC ∠=∠=︒∴在Rt FCD ∆中，22CD FC ==∴DF∴1=+=DE EF DF【点睛】此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．。
