二次函数的零点问题

二次函数在给定区间上的零点分布

一学习目标：

学会如何通过研究函数的图象确定二次函数在给定区间上的零点分布.

二 知识点精讲

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所

涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系

定理（韦达定理）的运用。函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0

若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分

布的充要条件及其运用。

1．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有

一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，

这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤．

1方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个正根：01>x ，02>x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩

推论：01>x ，02>x

⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00

)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042

b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到．

2方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个负根：01

⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000

421212a c x x a b x x ac b 推论：01

⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0

)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性．

3方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个异号根：210x x <<⇔0

c ．

4 ○

1方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个正根：01=x ，02>x ⇔0=c 且

0

b ； （2）方程02=++

c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个负根：01

=c 且0>a b ．

2．一元二次方程的非零分布——k 分布

设一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理． 121x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k a

b k af a

c b 20)(0

42 2k x x <≤21⇔⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042．

321x k x <<⇔0)(

推论1 210x x <<⇔0

推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a ．

4有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21

5221211p x p k x k <<≤<<

⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0

)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a

此定理可直接由定理4推出，请读者自证．

【定理6】2211k x x k <≤< ⇔

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b

三典例解析

已知一元二次方程0)3()1(22=---+m x m x .

①实数m 满足什么条件时，方程有两正根？

②实数m 满足什么条件时，方程有一正一负根？

二．典例解析

已知二次函数)3()1(2)(2---+=m x m x x f .

①实数m 满足什么条件时，函数在),0(+∞上有两个零点？

②实数m 满足什么条件时，函数在),1(+∞上有两个零点？

③实数m 满足什么条件时，函数在)1,(-∞上有两个零点？

④实数m 满足什么条件时，函数在)1,(-∞上有且只有一个零点？

⑤实数m 满足什么条件时，函数在)4,0(上有两个零点？

⑥实数m 满足什么条件时，函数在)4,0(上有且只有一个零点？

⑦实数m 满足什么条件时，函数的一个零点在)1,2(--，一个零点在)0,1(-？

三．目标检测：

1.若方程013422

=-++m mx x 有两个负数根，求实数m 的取值范围.

2.若函数)2()1()(22-+-+=m x m x x f 的一个零点比1大，另一个零点比1-小，则

实数m 的取值范围是（ ）

A ．20<

B ．13<<-m

C ．02<<-m

D ．11<<-m

9.方程0)3(2=-++a ax x 的一个根比1大，一个根比1小，则a 的取值范围为 1

3.已知关于函数62)1()(2

2-++--=m m mx x m x f 有两个零点βα,，且满足βα<<<10．求实数m 的取值范围.

A2.若定义在R 上的二次函数2

()4f x ax ax b =-+在区间[]0,2上是增函数，且()(0)f m f ≥，则实数m 的取值范围是