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第三章线性系统状态方程的解

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3-1 第三章 线性系统的运动分析 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统

的状态方程的齐次部分为：)()(tAxtx 线性定常连续系统：Axx ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Axx有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为

)0()(xetxAt。其中Ate称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：Atet)(。

若初始条件为)(0tx，则状态转移矩阵记为：)(00)(ttAett 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0tt，它是时刻t，t0的函数。但它一般不能写成指数形式。

（１）幂级数法 设Axx的解是t的向量幂级数

kktbtbtbbtx2210)(

式中，，，，，kbbbb210都是n维向量，则

1232132)(kktkbtbtbbtx )(2210kktbtbtbbA 故而有：





00323021201!1!31312121bAkbbAAbbbAAbbAbb

KK

 3-2

且有0)0(bx。 故 kktbtbtbbtx2210)(

kktbAktbAtAbb020200!1!2

1

)0()!1!21(22xtAktAAtIkk

定义：022!1!1!21KkkkkAttAktAktAAtIe 则)0()(xetxAt。 （２）拉氏变换解法 将Axx两端取拉氏变换，有

)()0()(sAxxssx

)0()()(xsxAsI )0()()(1xAsIsx 拉氏反变换，有 )0(])[()(11xAsILtx 则 ])[()(11AsILetAt

【例3.1.1】 已知系统的状态方程为xx

00

10，初始条件为)0(x，试求状态转移矩阵

和状态方程的解。 解：（１）求状态转移矩阵

kkAttAktAAtIet!1!21)(22

此题中：

0010A， 

000032nAAA

所以 3-3



1010001001)(ttAtIetAt

（２）状态方程的解 )0(101)0()(xtxetxAt

【例3.1.2】 已知系统状态方程为xx

32

10，初始条件为)0(x，试求状态方程的

解。 解：)0()(xetxAt

321321000ssssAsI

2211221221112112213)2)(1(1)(1ssssssssssssAsI ttttttttAteeeeeeeeAsILet2222112222])[()( 故而 )0(2222)0()(2222xeeeeeeeexetxttttttttAt

二、状态转移矩阵Ate的性质 kkAttAktAAtIet!1!21)(22 （1）I)0( （2）AttAt)()()( A)0( （3）)()()()()(122121tttttt 证明：)()()()()(1221)()()(212121tttteeetttAtAttA

%Example 3.1.2: %MATLAB syms s t x; A=sym('[0,1;-2,-3]'); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) x=lap*x 3-4

（4）)()(1tt，)()(1tt 证明：)()()()()()0(1ttItttt （5）)()()(00txtttx 证明：)0()()(xttx )()()0()0()()(00100txtxxttx，代入上式 ∴)()()()()()(00001txtttxtttx 证毕。

（6）)()()(011202tttttt 证明：)()()(0022txtttx………………………. …………………(1) )()()(0011txtttx……………………………………………(2) )()()()()()(001121122txtttttxtttx…………….(3) 比较（1）、(3)式，有)()()(011202tttttt成立。证毕。

（7）)()(kttk 证明：)(][)()(kteeetktAkAtkAtk （8）若BAAB，则AtBtBtAttBAeeeee)( 若BAAB，则AtBtBtAttBAeeeee)( （9）设)(t为Axx的状态转移矩阵，引入非奇异变换xPx后的状态转移矩阵为： PePtAt1)( 证明：将xPx代入Axx中，有 xAPPx1 APtPet1)(

kkAPtPtAPPktAPPAPtPIe)(!1)(!21122111 3-5

kktAPPktAPPAPtPPP)(!1)(!21122111 PtAktAAtIPkk)!1!21(221 PePAt1 ∴PePtAt1)(。证毕。

（10）两种常见的状态转移矩阵 ①设],,,[21ndiagA，即A为对角阵，且具有互异元素。则

ttneet00)(1 ②设A为mm约当阵

mmA



11

，则ttmtttmttteetmteeetmetteet000)!2(10)!1(1!21)(212

【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 ttttttttAteeeeeeeee22222222

试求)(1t和A。 解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知

tttttttteeeeeeeett222212222)()( （2）根据状态转移矩阵的性质2，可知 32100442222)0(2222teeeeeeeeAtttttttt 3-6

【例3.1.4】 已知 4401101A

试求状态转移矩阵Ate。 解：根据状态转移矩阵的性质10，可知

ttttttttttAteteeetteeetetteeet000002106121)(232

【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。 ttttsincos0cossin0001

解：利用性质（1）I)0( Ittttt0101000010sincos0cossin0001，所以该矩阵不是状态转移矩阵。 【例3.1.6】 已知系统状态方程为Axx， 当11)0(x时，tteetx22)(

当12)0(x时，tteetx2)( 试求系统矩阵A和状态转移矩阵Ate。 解：由性质（2）可知：)0(A 由已知，有

)0()(xetxAt 1121222Attttteeeee

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线性系统的可控性与可观测性

线性系统的可控性与可观测性


12
第3章 线性系统的可控性和可观测性
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反
设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
T x0 W (0, t1 ) x0 0
0 x W (0, t1 ) x0 x e
T 0 0 T 0 t1 T
t1
At
13
第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
8
第3章 线性系统的可控性和可观测性
三．可观测性定义
1．系统完全可观测
对于线性时变系统
x A(t ) x, y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称
2 T B AB A B
, T An1B 0
T An 1 B S 0
由于 α≠0 ，所以上式意味着 S 为行线性相关的，即
rankS<n 。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反
设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。
必要性：已知系统完全可控，欲证 rankS=n ，采用 反证法。反设rankS<n ，这意味着S为行线性相关， 因 此 必 存 在 一 个 非 零 n 维 常 向 量 α 使 成立。
第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据

第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据

J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1
信号与线性系统分析--第三章

信号与线性系统分析--第三章

信号与线性系统分析
第三章 离散系统的时域分析
本章概述
离散时间域的方程求解
连续时间域 时间函数 微分方程 卷积积分 离散时间域 离散序列 差分方程 卷积求和
求解方法
迭代法 经典法 卷积法
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号
f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外 对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数 的波形一般具有平滑曲线的形状，一般也称模拟 信号
f (n) .... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) ...
i
f (i) (n i)
f(k ) f(2) f(-1) f(1) f(0) … 1 2 i f(i) … k

可推出：离散系统的零状态响应
y zs (n)
m
f (m) (n m)

单位阶跃序列
与阶跃函数的不同？
延时的单位阶跃序列
用单位样值序列来表示
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
( n) u(n) u( n 1)
题目中 y0 y1 0 ,是激励加上以后的,不是初始状 态,需迭代求出 y 1, y 2 。
n 1 y1 3 y0 2 y 1 2u 1 2 u 0
0
0 0 2 y1 2 1 1
1 y 1 2
n0
y0 3 y 1 2 y 2 2 u 0 2 u 1
0 1
0 3 y 1 2 y 2 1
y 2 5 4
将初始状态代入方程求系数
第3章 线性系统的时域分析第九节_3

第3章 线性系统的时域分析第九节_3


（3）根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
说明 当根轨迹增益K1从0变化到∞时，在s平面就会画 出一条一条的根轨迹，每条根轨迹都有起点和终 点，对应于K1 =0的s点叫根轨迹的起点，对应于 K1 →∞的s点叫根轨迹的终点。 由幅值条件
可见 当s=pj时， K1 =0 ；根轨迹起始于开环极点； 当s=zi时， K1 →∞ ；终止于开环零点； 当|s|→∞且n≥m时， K1 →∞。如果开环零点个 数m少于开环极点个数n，则有(n-m)条根轨迹终 止于无穷远处。
（5）两条根轨迹的交点方程为
其中sd为交点。
说明： 交点sd是指两支根轨迹会合后分离的点， 该点为闭环特征方程的重根
假设闭环特征方程有2个重根，则可将其 改写为
例3-6 单位负反馈系统开环传递函数为
试画出系统实轴上的根轨迹并求出系统根轨迹 的交点。
解： 由规则1），系统有3条根轨迹； 由规则3），3条根轨迹的起点为
（4）实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、 极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 （如红线所示）
红色部分 为根轨迹
说明：以实轴上的s0点为例，根据相角条 件，分三个方面说明这个法则。
G ( s ) H ( s )
m n
(s z ) (s p )
解 系统有3条根轨迹分支，且3条根轨迹都趋 于无穷远处。 实轴上的根轨迹： ,2 1,0 渐近线：
根轨迹的交点满足以下方程
交点必须在根轨迹上，所以交点取
根轨迹与虚轴的交点及临界增益。
令s=iω
令实部及虚部分别为0
解得
第一组解为根迹的起点,第二组得根迹和虚轴的 交点 ,临界根轨迹增益为6
K s ( s 1)( s 2） K 1 s ( s 1)( s 2）