2017年中考数学专题复习八：几何证明题(20201001015213)
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专题八：几何证明题 【问题解析】 几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中 占有重要地位•根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难 度方面要降低•但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题 型. 【热点探究】 类型一：关于三角形的综合证明题 【例题11(2016 •四川南充)已知△ ABN和厶ACM位置如图所示，AB=ACAD=AE /仁/ 2.
(1) 求证:BD=CE (2) 求证：/ M=/ N.
【分析】(1)由SAS证明△ ABD^A ACE得出对应边相等即可 (2)证出/BAN/ CAM由全等三角形的性质得出/ B=/ C,由AAS证明△ ACIWA ABN 得出对应角相等即可.
【解答】(1)证明：在厶ABD和厶ACE中，IAD二恵 •••△ ABD^AACE( SAS, ••• BD=CE (2)证明：T/ 1=/ 2,
• / 1+/ DAE/ 2+/ DAE 即/ BAN/ CAM 由(1)得：△ ABD^A ACE • / B=/ C, 在厶 ACM^D^ ABN中，| ZC訓二上BAN , •••△ ACMmABN( ASA, •••/ M= N. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.
【同步练】 (2016 •山东省荷泽市・3 分)如图，△ ACB和厶DCE均为等腰三角形，点 A，D, E在 同一直线上，连接 BE (1) 如图 1，若/ CABM CBAM CDEM CED=50 ① 求证：AD=BE ② 求/ AEB的度数. (2) 如图 2,若/ ACBM DCE=120 , CM^^ DCE中 DE边上的高，BN%A ABE 中 AE边
类型二：关于四边形的综合证明题 【例题2] (2016 •山东省滨州市• 10分)如图，BD是△ ABC的角平分线，它的垂直平 分线分别交AB, BD BC于点E，F，G,连接ED DG (1) 请判断四边形 EBGD勺形状，并说明理由； (2) 若/ ABC=30，/ C=45, ED=*^，点H是BD上的一个动点，求 HG+HC勺最 小值. 【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质. 【分析】（1）结论四边形 EBGD是菱形.只要证明 BE=ED=DG=G即可. （2）作EML BC于M, DN^ BC于N,连接EC交BD于点 H 此时HG+H（最小，在RT^ EMC 中，求出EM MC即可解决问题. 【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形. 理由：••• EG垂直平分BD ••• EB=ED GB=GD •••/ EBD=/ EDB •••/ EBD=/ DBC •••/ EDF玄 GBF 在厶EFD和△ GFB中， f ZEDF=ZGBF Z£FI>ZGFB, IDF=BF
• △ EFD^A GFB • ED=BG • BE=ED=DG=GB •四边形EBGD是菱形. （2）作EML BC于M, DNL BC于N ,连接EC交BD于点H ,此时HG+HCt小, 在 RT^ EBM 中，I/ EMB=90 , / EBM=30 , EB=ED=^C ,
• EM=7BE
=
I：
•••DE// BC, EMLBC, DN!BC, • EM/ DIN EM=DN= , MN=DE=2 | , 在 RT^ DNC中 , DNC=90 , / DCN=45 , NDC/ NCD=45 , • DN=NC=', ••• MC=3 | -, 在 RT^ EMC中，•••/ EMC=90 , EM= ； . MC=3 :-, • EC^^汀=」刁-7亍1=10丨一. •/ HG+HC=EH+HC=,EC • HG+HC勺最小值为10 [.
B 2V C
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、 菱形的判定和性质、 角平分线的性质、垂 直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点 H的位置，属于中考常考 题型. 【同步练】 (2016 •山东省济宁市• 3分)如图，正方形 ABCD勺对角线AC BD相交于点0,延长 CB至点F,使CF=CA连接AF,/ ACF的平分线分别交 AF, AB, BD于点E, N, M,连接E0. (1) 已知BD=「-，求正方形 ABCD勺边长； (2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
类型三：关于圆的综合证明题 【例题3】(2016 •山东潍坊)正方形 ABCD内接于O 0,如图所示，在劣弧 「上取一 点E,连接DE BE,过点D作DF// BE交OO于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点 G 求证： (1)四边形EBFD是矩形； (2) DG=BE5
【分析】(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出 / BED=/ BAD=90，/ BFD2 BCD=90，/ EDF=90，进而得出答案； (2)直接利用正方形的性质 疋的度数是90°,进而得出 BE=DF则BE=DG 【解答】证明：(1厂••正方形ABCD内接于O 0, •••/ BEDd BAD=90，/ BFD2 BCD=90 , 又• DF// BE •••/ EDF+d BED=180 , •••/ EDF=90 , •四边形EBFD是矩形;
(2)) •正方形ABCD内接于O 0, • 的度数是90°, •••/ AFD=45 , 又GDF=90 , •••/ DGFd DFC=45 , • DG=DF 又••在矩形 EBFD中, BE=D 【同步练】 (枣庄市2015 中考-24 )如图，在△ ABC中，/ ABC=90，以 AB的中点0为圆心、 0A为半径的圆交AC于点D, E是BC的中点，连接DE, 0E (1) 判断DE与OO的位置关系，并说明理由； (2) 求证：BC=CD?20； (3) 若 cos / BAD=3 , BE=6,求 0E 的长.=1,
类型四：关于相似三角形的证明问题 【例题4】（2016 •黑龙江齐齐哈尔・8 分）如图，在△ ABC中，ADL BQ BEL AC垂 足分别为D, E, AD与BE相交于点F. (1) 求证：△ ACSA BFD (2) 当 tan / ABD=1 AC=3时，求 BF 的长.
【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】（1）由/ C+Z DBF=90 , / C+Z DAC=90 ,推出/ DBF2 DAC 由此即可证明. （2）先证明AD=B»由厶ACDo^ BFD得霍=器=1，即可解决问题. pF ,BPI
【解答】（1）证明：T ADL BC, BEL AC, •••Z BDFZ ADCZ BEC=90 , •••Z C+Z DBF=90 , Z C+Z DAC=90 , • Z DBFZ DAC
(2)v tan Z ABD=1 Z ADB=90
• AD=BD •二=F •.丽 ED • BF=AC=3
(2016 •湖北武汉• 10分)在厶ABC中，P为边AB上一点 ⑴ 如图 1，若/ ACP=Z B,求证： AC= AP- AB
(2)若M为CP的中点，AC= 2, ① 女口图2,若/ PBM=Z ACP AB= 3，求BP的长； ② 如图3,若/ ABC= 45°,/ A=Z BM= 60°,直接写出
【同步
BP的长.
图3 【达标检测】 1. （2016 •黑龙江哈尔滨・8 分）已知：如图，在正方形 ABCD中，点E在边CD上, AQL BE 于点 Q DPI AQ 于点 P. （1） 求证：AP=BQ （2） 在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与
2. （2016 •四川内江）（9分）如图6所示，△ ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中 点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF= BD连接BF. ⑴求证：D是BC的中点；
（2）若AB= AC,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论.
图6 3. （烟台市2015中考-23 ）如图，以△ ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边 AC,
BC的交点分别为 D、E,且1=' •. （1） 试判断△ ABC的形状，并说明理由. （2） 已知半圆的半径为 5, BC=12求sin / ABD的值. c B 5 D A 2
（2）若/ ADB是直角，则四边形 BEDF是什么四边形？证明你的结论. （烟台市2014中考-24 ）如图，AB是OO的直径，延长 AB至P,使BP=OB BD垂 直于弦 BC 垂足为点 B,点D在PC上.设/ PCB=a，/ POC=3 . 求证：tan a ?tan
4. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 22题7分）如图，在平行四边形 ABCD中, E、F 分别为边AB CD的中点，BD是对角线. (1)求证：△ ADE^A CBF
