→n n q
解：n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim
a
b b
b a a n n n --=----=++∞→111111lim 11
5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：
设a 为正常数，00>x ，)(211n
n n x a x x +=
+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n
n n n n =⋅⋅≥+=
+221)(211（数列有下界） 又02)(212
1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a
x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少）
由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞
→lim ，对)(211n
n n x a
x x +=
+两边取极限，得)(21b
a
b b +=
，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 2
11)1()1()]1(1[lim
-++--++→x n
x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211)
1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2
)
1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页
8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3
1
2
--+x ax
，求常数a .
知识点：1）等价无穷小的概念；
2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。
解：由题意：1322
31lim 1cos 1)1(lim 2203
120=-=-=--+→→a x
ax
x ax x x 得23-=a 或13
2]1)1()1[(2
1
1lim 1
cos 1)1(lim 31
232
22203
1
20=-
=++++⋅--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化） P42页3（4） 关于间断点：
x
x x f 1sin 1)(=
0=x 为第二类间断点
说明：x
x x 1
sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞）
P43页7（1）证明方程042=-x x
在)2
1,0(内必有一实根。
知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理
证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]2
1
,0[上连续； （注:设函数，闭区间）
01)0(>=f ，022)2
1
(<-=f ，
故由根的存在定理，至少在)21
,0(内存在一点ξ，使0)(=ξf ，
即方程042=-x x
在)2
1,0(内必有一实根.
P61页 3.设
)(0x f '存在，求：
（1）
x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim
000
（2）h h x f h x f h )
()(lim 000--+→
（3）t
x f t x f t )
()3(lim
000
-+→
分析：因
)(0x f '存在，则极限x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
的值为)(0x f '。
把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式 解：（1）
x
x x f x f x ∆∆--→∆)
()(lim
000
)()()())((lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆-+=→∆ （2）h h x f h x f h )()(lim
000
--+→h
x f h x f x f h x f h )()()()(lim 00000+---+=→
（3）t x f t x f t )()3(lim
000
-+→)(333)
()3(lim 0000x f t
x f t x f t '=⋅-+=→ 8.用导数的定义求
⎩⎨
⎧≥+<=0
,)1ln(0,
)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2） 知识点：1）导数在一点0x 处的定义：
x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)
()(lim
)(000
0；
2）点0x 处的左右导数的定义与记号：
左导数
x x f x x f x f x ∆-∆+='-
→∆-)
()(lim )(000
右导数
x
x f x x f x f x ∆-∆+='+
→∆+)
()(lim )(000
3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。 解：因
0)0(=f （先写出0=x 处的函数值）
又
10
lim )0()0(lim )0(00
=∆-∆=∆-∆+='--
→∆→∆-x
x x f x f f x x （在0=x 处的左导数定义） （在0=x 处的右导数定义）
而
1)0()0()0(=''='+-f f f 故
10.设函数
⎩
⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f ，为了使函数在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？
题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。 解：由题意，函数在1=x
处连续，则1)1()01()01(==+=-f f f ，即
b a b ax x f f x x +=+==+++→→)(lim )(lim )01(1
1
，得1=+b a
又函数在1=x
处可导，则)1()1(+-'='f f
而
21
)1(lim )1()1(lim )1(200=∆-∆+=∆-∆+='--→∆→∆-x
x x f x f f x x
a x
b x a x f x f f x x =∆-+∆+=∆-∆+='--
→∆→∆+1
)1(lim )1()1(lim )1(00
（用到了1=+b a ） 故1,2-==b a
书后部分习题解答3（关于隐函数求导）
P62页
14． 设032=+-y x e xy ，求0=x dx
dy
.
