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关于柯西方程的一点注记

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第37卷第2期2015年2月湖州师范学院学报Journal of Huzhou University 关于柯西方程的一点注记*徐志鹏，欧阳耀〈湖州师范学院理学院，浙江湖州313000)Vol. 37 NO.2 Feb. ,2015

摘要:若函数/在一点连续，贝IJ柯西方程的解是唯一的.在此假设下，要求函数/的一部分点满足柯西方程，证明了解的唯一位，并推广己细的结论.关键词.柯西方程.存在位.帷-性中图分类号:0171M叙:(2010) :39B22 文献标识码:A文章编号:1009-1734(2015)02-0014-03

函数为程是数学分析中的古老话题.旱在1826年，Abel[l]就开始研究函敛的结合律，讨论了使得方程f(f(x ,y) ,z) = f(x ,f(y ,z)) 成立的函敛在此之前柯西已开始对-类函数方程进行研究今天称这类方程为柯西方程

柯西方程作为最著各的函鲸方程之--直受到广泛关注[2]柯西方程的经典结果如下定理1[3] 设函数f:R→R连续.若f(x+y) =f(x) + f(y)对-切x，yE R成立，则存在常数C，使得f(x)=cx对-切xER成立.柯西方程还有如下形式定理2[4]设函数f:(0, +∞)→R连续.若f(xy)=f(x) + f(y)对-切x，yE(O，+∞)成立，则存在常数c，使得f(x)=clnx对-切xE (0, +∞)成立.定理3[4]设非零函数f:R→R连续.若f(x+ y) = f(x) • f(y)对-切x，yE R成立，则存在常敛α，使得f(x)=ax对-切xER成立.定理4[4]设非零函数f:(0, +∞〉→R连续.若f(xy)=f(x). f(y)对-切x，yE(O，+∞〉成立，则存在常敛α，使得f(x)=x4对-切￡廷(0，+∞〉成立.虽然在连续性的假设下，柯西方程的解是唯-的，但若没有这个假设，则其解并不唯-.利用Hamel基的概念，GHamel于1905年证明了存在无穷多个不连续的函敛满足柯西方程.另外，连续性假设可用单调性可积性等其它条件代替且可弱化为在-点连续在-点的某邻域内单调等本文将从另-个角度继续弱化柯西方程的条件，即只要求-部分点(x，y)满足为程.

1 预备知识

本节包含两个熟知的引理并将在主要结果的证明中用到这两个引理为了本文的完整性下面给出引理1的证明.

引理1设γ1，r2为给定的实敛，若巳1:Q，则集合S={nrl+mr2 I m,n E Z}在R中稠密.γz 证明不妨设川2>0由巳1:Q及有理敛的稠密性，存在实抑~{叫，使得主→20→∞门，且γz飞qt}iqsγz

安收稿日期:2014-12-20基金项目:湖州师范学院教学改革项目(JY21064)通信作者:欧阳耀，博士、副教援，研究方向:非可加测度与积分.E-mail:oyy@hutc.勾.cn第2期徐志鹏，等:关于柯西方程的一点注记15

V i • p; >立，即P;rz-q;r1→0+.于是ρ;rz-q;r1→0+.因此，对任意给定的ε>O.存在!0 .使得0<

q; rz q;rz

p;orz -q;or1

实上.V k > O.存在!..使得0是.

(l.-1)(ρ;.rz -q;是俨1)令n.= -l.qì是•m. =l.p勺'则

(ωη叩川k卢γ盯1+m叫.rωγ即存在点列{忻ηkγ叫1+mη1.卢γ2汁}c S.使得η川kγ盯1+m.γrz→α. 类似地可以证明引理2设町.rz> 0为给定的实敛，若log与任Q.则{r1"rZ叫在[0.+∞〉上是稠密的.

2 主要结论

定理5设f:R→R为连续函数.若存在满足主任Q的实数γ1.门，使得γz (fh+￡〉=川+fω，f(rz + x) = f(rz) + f(x). 对-切xER成立，则存在常敛c•使得f(x)=ω. 证明由(1)式可知，对任意的整敛俐.n和xER.有:

f(nr1 +mrZ +x) = f(nr1) + f(mrz) + f(x) = f(nr1 +mrZ) + f(x).

(1)

由于立1:Q.故由引理1知•{nr1 +mrZ I n.m E Z}在R中稠密于是，由f的连续性，对任意的x.yER., z

有

f(x + y) = f(x) + f(y). 再由定理1知，存在常数C.使得f(x)=α. 注1易知，定理5中的连续性假设也可以用单调性代替.事实上，定理5中的连续性假设也可以弱化为在-点连续.

推论1设f:R→R在x=O处连续.若存在满足':21:Q的实敛町，rz'使得γz (fb1+￡〉=fbJ+fω，f(rz + x) = f(rz) + f(x). 对-切xER成立，则存在常敛c•使得f(x)=ω. 证明由(2)式得:

f(nr1 +mrZ +x) = f(nr1) + f(mrz) + f(x) = f(nr1 +mrZ) + f(x). 对任意的整数俐，η和xER都成立.

任取点列{n.r1+m.rZ I川.m.E Z} .使得limn.r1+m.rz =0.由f的连续性可知，

f(O) =limf[(n.r1 +m.rz) + (-n.r1 -m.rz)] = limf(n .r1 + m.rz) + limf(-n .r1 -m.rz) = f(O) + f(O). 即f(O)=O.

则对任意的xE R.任取点列{n.r1+m.rz I川.m.E Z} .使得

n.r1 +m.rz→x(是→∞).

(2) 16 湖州师范学院学报f(x) = lìmf[ (x -nk1'1 -mk1'2) + (n k1'1 + mk1'2) ] =

lìmf(nk1'1 + mk1'2) + lìmf(x -nk1'1 -mk1'2) = lìmf(nk1'1 +mk1'2) + f(O) =lìmf(nk1'1 +mk1'2). 于是，对任意的x，yE R，由稠密性知，存在点列{叫1)1'1+mp)1'2 I叫1)，m~l) E Z} 和

{叫2)1'1+m~2)1'21叫2),m ~2) E Z}.

使得n~l)1'1 +mp)1'2→￡且niZ〉俨1+ mf)1'2•y, (是→∞).

从而

f(x + y) = lìmf(n~l)1'1 + m~l)1'2) + lìmf(n~2)1'1 + m~2)1'2) = f (x) + f(y). 由定理1即得所要的结论.注2不难发现，推论1中f在x=O的连续性假设可改为f在任-J点连续.类似地，有下面的结论:定理6设f:(0, +∞〉→R在-点连续.若存在满足log~~1: Q的实敛町，rz'使得

(川)=川+f(川，f(1'2x) = f(1'2) + f(x). 对-切￡廷(0，+∞〉成立，则存在常敛c，使得f(x)=clnx.

定理7设非零函敛f:R→R在-点连续.若存在满足~1:Q的实数町，门，使得1'2 (h+￡〉=川f(川，

f ( l' 2 + x) = f ( l' 2 ) f (x ) . 对-切xER成立，则存在常敛α，使得f(x)=a

x•

定理8设非零函敛f:(0, +∞〉→R在-点连续.若存在满足log~~1: Q的实敛叫，门，使得

(川)= f(1'1川，f(1'2x) = f(1'2)f(x). 对-切￡廷(0，+∞〉成立，则存在常敛α，使得f(x)=x

4•

参考文献.

第37卷[ 1 J Abel N H. Untel古uchungdel Functionen zweier unabhä鸣igverändellichen Grö加1x und y，明ef(x, y), welche die Eigenschaft hab钮，daß f(z, f (x，y))创lesymmetrische Function von z, x四叫y岱tDJ. J Reine Angew f\伯伯，1826(1): 11-15. [2J常庚哲，史济怀.数学分析教程〈第3版)(上)[M].北京:中国科学技术大学出版社，2012.[3J李小新.一类Cauchy型函数万程的解的讨论D].池州师专学报，2005，19(3):6-

7.

[4J王向东，戎海武，李文荣.函数方程及应用[M].上海:上海科学技术交献出版社，2003.

A Note to Cauchy' s Equation XU Zhìpeng, OUYANG Yao (School of Science, Huzhou Univelsity, Huzhou 313000, China)

Abstract: H the function f ìs continuous at some poìnt then the Cauchy equation pωsesses a unìque solu-tion. Thìs note ìnvestigates the Cauchy equation under some weaker conrutions. It obtaìns the exÌstence and u-nÌqueness of the solution. The mam results of trus note generalìze previous ones. Key words: Cauchy' s equation; exìstence; unìqueness MSC(2010) : 39B22 [责任编辑吴志慧]

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柯西-黎曼方程由来

柯西-黎曼方程由来

柯西-黎曼方程由来
柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）是复分析中的一组偏微分方程，它们为复变函数在开集中为全纯函数提供了充要条件。

这组方程以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的名字命名。

柯西-黎曼方程的起源可以追溯到18世纪，最初出现在达朗贝尔（d'Alembert）的著作中。

后来，欧拉（Leonhard Euler）在1777年将这些方程与解析函数联系起来。

柯西在1814年采用了这些方程来构建他的函数理论，而黎曼则在1851年发表了关于此函数理论的论文，进一步发展了这一理论。

柯西-黎曼方程的形式如下：
对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，其中 \( z = x + iy \)，\( u \) 和 \( v \) 分别是实部和虚部，柯西-黎曼方程为：
1. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)
2. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)
这些方程表明，如果一个复变函数在某个区域内满足柯西-黎曼方程，那么这个函数在该区域内是解析的。

反之，如果一个函数在某个区域内解析，那么它在该区域内必然满足柯西-黎曼方程。

这一理论对于复变函数的解析性质和复分析的发展具有重要意义。

试推导极坐标系中的柯西黎曼方程

试推导极坐标系中的柯西黎曼方程

试推导极坐标系中的柯西黎曼方程试推导极坐标系中的柯西黎曼方程在复变函数理论中，柯西黎曼方程是一个非常重要的概念，它描述了复函数的解析性质。

对于极坐标系中的柯西黎曼方程，我们需要从复变函数的极坐标形式出发进行推导和分析。

一、复数的极坐标形式在复数的极坐标形式中，一个复数z可以表示为z = r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

这种表示方式对于描述复数在平面上的位置和方向非常方便。

二、复函数的极坐标形式对于一个复变函数f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ)，其中u和v分别为实部和虚部，r和θ分别为极坐标系中的径向距离和角度。

我们可以通过复变函数的链式求导法则得到f(z)在极坐标系中的偏导数形式。

三、柯西黎曼方程的极坐标形式将复变函数f(z)表示为u(r,θ) + iv(r,θ)，我们可以通过对f(z)在极坐标系中进行偏导数运算，推导出柯西黎曼方程的极坐标形式。

(1) 对f(z)进行径向距离r的偏导数运算，得到u和v关于r的偏导数形式。

(2) 对f(z)进行角度θ的偏导数运算，得到u和v关于θ的偏导数形式。

(3) 将上述得到的偏导数形式带入柯西黎曼方程，通过对比实部和虚部的项，得到柯西黎曼方程的极坐标形式。

四、个人观点和理解柯西黎曼方程作为复变函数理论中的重要定理，其极坐标形式的推导和应用对于理解复函数的解析性质以及在极坐标系中的计算具有重要意义。

通过深入研究和推导柯西黎曼方程的极坐标形式，可以更好地理解复变函数在极坐标系中的性质和行为。

总结回顾在本篇文章中，我们从复数的极坐标形式出发，推导了复函数在极坐标系中的偏导数形式，进而得到了柯西黎曼方程的极坐标形式。

通过对该方程的推导和分析，我们加深了对复变函数解析性质的理解，也为在极坐标系中复函数的运算和计算提供了重要的参考依据。

结语复数的极坐标形式和柯西黎曼方程的极坐标形式是复变函数理论中的重要概念，它们对于研究和应用复函数具有重要意义。

柯西不等式的小结

柯西不等式的小结

柯西不等式的小结浙江省余姚中学 徐鹏科 315400柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究中一个非常重要的不等式，普通高中数学新课程把它列入选修内容，然而对于浙江等省份而言，又是高考报考第一类大学的加试内容。

因此对其作一小结很有必要，通过几年的教学与实践，应该说把握这块知识已不是困难的事。

新课程选修４-５中，施行类比的数学思想方法得到的柯西不等式一般形式为： 设123123,,,,;,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222222123123112233()()()n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++++++≥++++当且仅当0(1,2,3,,)i b i n == 或存在一个实数k 使(1,2,3,,)i i a kb i n == 时等号成立。

课本提供的证时方法是构造函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++++ ，利用()f x 非负性来完成不等式的证明。

笔者认为，课本从二维向量类比到三维向量后得到了三维形式的柯西不等式，如果再增加从三维向量到n 维向量的类比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，这是我们作为教师应该想到的地方。

在这里必须指出，大多学生在学习柯西不等式时会遇到的困难不少，不等式形式的记忆，不等式应用的灵活性，会使学家生置身于云里雾里。

笔者在教学中为学生记忆方便，编了如下的顺口溜：“大端括号乘括号，小端括号添平方，末平方的平方和，已平方的和串积，莫忘何时能相等。

”实践证明，效果是明显的。

柯西不等式是一个公式，公式总涉及到应用的问题，公式的应用不外乎“顺用”、“逆用”、“变用”这三种用法，下面来举例说明，由于篇幅有限每道例题只作分析，读者阅后自证较易。

首先要掌握“顺用”，这里指的是从大到小的应用例1、 设12,,,n x x x R +∈ ，且121n x x x +++= 。

柯西—施瓦茨不等式与柯西—黎曼方程

柯西—施瓦茨不等式与柯西—黎曼方程

柯西—施瓦茨不等式与柯西—黎曼方程在复分析中，柯西—施瓦茨不等式和柯西—黎曼方程是两个非常重要的概念，它们经常被用于解决各种复分析问题。

本文将对这两个概念进行简要介绍并探讨它们之间的关系。

一、柯西—施瓦茨不等式柯西—施瓦茨不等式是指对于复平面上两个复函数$f(z)$和$g(z)$，有如下不等式成立：$|\int_{\gamma}f(z)\overline{g(z)}dz|\leqslant\sqrt{\int_{\gamma}|f(z)|^2dz}\sqrt{\int_{\gamma}|\overline{g(z)}|^2d z}$其中，$\gamma$为$z$的连续曲线，$\overline{g(z)}$表示$g(z)$的共轭复数。

该不等式说明了两个复函数的内积不超过它们各自长度的乘积。

柯西—施瓦茨不等式在复分析中被广泛应用，特别是在复变函数论中具有非常重要的地位。

我们可以利用该不等式来证明柯西积分公式、洛朗级数等重要定理。

二、柯西—黎曼方程柯西—黎曼方程是指对于复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，有如下方程成立：$\begin{cases}u_x=v_y\\u_y=-v_x\end{cases}$其中，$x$和$y$分别表示复平面上的实部和虚部。

这两个方程称为柯西—黎曼方程，它们描述了一个复函数在某点处的导数。

柯西—黎曼方程在复分析中也是一个非常重要的概念，它告诉我们如何判断一个函数是否是解析函数。

如果一个函数满足柯西—黎曼方程，那么它就是解析函数。

反之，如果一个函数不满足柯西—黎曼方程，则它不是解析函数。

三、柯西—施瓦茨不等式与柯西—黎曼方程的关系在实际应用中，柯西—施瓦茨不等式和柯西—黎曼方程往往是相互关联的。

例如，在证明Cauchy-Riemann定理时，我们可以用柯西—施瓦茨不等式来证明柯西—黎曼方程。

具体而言，我们可以利用柯西—施瓦茨不等式将$f(z)$和$g(z)$分别取为实部和虚部，然后应用柯西—施瓦茨不等式，就可以表示出柯西—黎曼方程。