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二次微分方程的通解

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二次微分方程的通解 Last revision on 21 December 2020 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入

方程 ypyqy0 得 (r 2prq)erx 0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解 特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式 求出 特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数xrey11、xrey22是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数xrey11、xrey22是方程的解 又xrrxrxreeeyy)(212121不是常数 因此方程的通解为 xrxreCeCy2121

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数xrey11、xrxey12是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 xrey11是方程的解 又 0)()2(121111qprrxeprexrxr 所以xrxey12也是方程的解 且xexeyyxrxr1112不是常数 因此方程的通解为 xrxrxeCeCy1121 (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复

数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

y1e(i)xex(cosxisinx) y2e(i)xex(cosxisinx)

y1y22excosx )(21cos21yyxex

y1y22iexsinx )(21sin21yyixex 故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx ) 求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y0的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC1exC2e3x 例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、y| x02的特解 解 所给方程的特征方程为 r22r10 即(r1)20 其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(C1C2x)ex 将条件y|x04代入通解 得C14 从而

y(4C2x)ex 将上式对x求导 得 y(C24C2x)ex 再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为

x(42x)ex 例 3 求微分方程y2y5y 0的通解 解 所给方程的特征方程为 r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根

因此所求通解为 yex(C1cos2xC2sin2x) n 阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n) p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0 称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去 引入微分算子D 及微分算子的n次多项式 L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy Dnyy(n)

分析 令yerx 则 L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxL(r)erx 因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 L(r)rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根r 对应于一项 Cerx 一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx) k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ck xk1) 一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项 ex[(C1C2x Ck xk1)cosx( D1D2x Dk xk1)sinx] 例4 求方程y(4)2y5y0 的通解 解 这里的特征方程为 r42r35r20 即r2(r22r5)0 它的根是r1r20和r3 412i

因此所给微分方程的通解为 yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x) 例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0 解 这里的特征方程为 r4 40

它的根为)1(

22,1ir )1(24,3ir

因此所给微分方程的通解为

)2sin2cos(212xCxCeyx)2sin2cos(432 xCxCex 二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介 二阶常系数非齐次线性微分方程 方程 ypyqyf(x) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x) y*(x) 当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f(x)Pm(x)ex 型

当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解

y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m1 次多项式 Q(x)xQm(x) Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解

y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解

y*x2Qm(x)ex 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如 y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单

根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0) 与所给方程对应的齐次方程为 y2y3y0 它的特征方程为 r22r30 由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1 比较两端x同次幂的系数 得

13233100bbb 3b03 2b03b11

由此求得b01 311b 于是求得所给方程的一个特解为

31*xy 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2) 与所给方程对应的齐次方程为

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二阶微分方程的常见求解方法和应用

二阶微分方程的常见求解方法和应用

二阶微分方程的常见求解方法和应用二阶微分方程是一类重要的数学模型，在物理和工程学科中得到广泛应用。

本文将介绍几种常见的二阶微分方程求解方法，并探讨其在科学研究和工程实践中的应用。

一、常系数齐次二阶微分方程常系数齐次二阶微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=0 $$其中，a和b是常数。

该方程的通解可以用特征方程求解。

特征方程为：$$ r^2+ar+b=0 $$如果特征方程有两个不同的实根$r_1$和$r_2$，通解为：$$ y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x} $$如果特征方程有一个重根$r_1$，通解为：$$ y=(c_1+c_2x)e^{r_1x} $$如果特征方程有两个共轭复根$\alpha\pm\beta i$，通解为：$$ y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x) $$二、非齐次二阶线性微分方程非齐次二阶线性微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=f(x) $$其中，f(x)是已知的函数。

我们可以通过猜测特解的形式，利用常数变易法求解。

通常，特解的形式取决于f(x)的形式。

常见的特解形式包括：1. f(x)是常数：特解形式为$y=k$，其中k是常数。

2. f(x)是mx+n型函数：特解形式为$y=mx+n$，其中m和n是常数。

3. f(x)是$e^{ax}$型函数：特解形式为$y=Ae^{ax}$，其中A是常数。

4. f(x)是三角函数型函数：特解形式为$y=A\cos bx+B\sin bx$，其中A和B是常数。

5. f(x)是多项式型函数：特解形式为$y=P_n(x)$，其中P_n(x)是n次多项式。

特解计算出来后，将通解与特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。

三、应用二阶微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 振动问题：二阶微分方程可以用来描述物体的振动状态。

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程


表9.2
f(x)的类型 f(x)=exPm(x) 为常数. f(x)=ex(Acosωx +Bsinωx) ,ω,A,B为常数. 取试解函数条件 试解函数y*的形式 y*=exQm(x) 不是特征根 是单特征根 是重特征根 iω ±iω不是特征 根 ±iω是特征根 y*=xexQm(x) y*=x2exQm(x)
注
y*=ex(Acosωx+Bsin ωx) y*=xex(Acosωx+Bsi nωx) Pm(x)=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am为已 知m次多项式 Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm为待 定m次多项式
例9.14 求方程 y'' 7y' +10y =12的通解. 解 例9.11已求出对应齐次方程的通解为 yc=C1e2x+C2e5x 下面求非齐次方程的一个特解.因f(x)=12,对应 于表9.2中=0(不是特征根),Pm(x)=12(零次多 项式).故设特解为y*=A,A为待定常数.将y*=A 代 入 所 给 方 程 的 A=6/5. 因 此 , 所 求 特 解 为 y*=6/5.于是,所给方程的通解为 y=yc+y*=C1e2x+C2e5x+6/5 其中C1,C2为任意常数.
其中C1,C2为任意常数.
2x
二,二阶常系数非齐次线性方程的通解 根据定理9.2(2),求非齐次线性方程(9.41)的 通解,归结为求(9.41)的一个特解y,及其对应齐次 方程(9.42)的通解y,则y=yc+y*即为(9.41)的通解.上 面已介绍求对应齐次方程(9.42)通解的办法,剩下 的问题是如何求非齐次线性方程(9.41)的一个特 解.
二阶微分方程求解的技巧

二阶微分方程求解的技巧

二阶微分方程求解的技巧一阶微分方程只含有一阶导数，而二阶微分方程含有二阶导数。

求解二阶微分方程的技巧较为复杂，需要利用一些特定的方法和技巧。

下面我们将介绍几种常用的技巧，帮助你求解二阶微分方程。

1.齐次线性方程法：如果二阶微分方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=0$，其中a、b、c是常数,则称之为齐次线性方程。

我们可以从中解得一个求解公式：$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$，其中$C_1$和$C_2$是任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$是方程的特征根。

为了寻找特征根，我们需要解决特征方程：$a\lambda^2+b\lambda+c=0$。

如果特征方程有两个相异的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则方程的解是通解。

如果它们是重根，则方程的解是通解的一部分。

如果特征方程有两个虚根，则方程的解由实部和虚部组成。

2.变量可分离法：如果方程可以写为形式：$y''=f(x)g(y')$，其中f和g是一元函数，我们可以利用变量可分离法进行求解。

首先，设$y'=p$，则$y''=p\frac{dp}{dx}$。

将这些代入原方程，我们得到：$p\frac{dp}{dx}=f(x)g(p)$。

将上式变换为分离变量：$\frac{dp}{g(p)}=f(x)dx$。

然后，我们对两边进行积分，并解出p关于x的函数，最后再通过积分得到y关于x的函数。

3.常数变易法：如果方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=f(x)$，其中f(x)是已知的函数，我们可以使用常数变易法进行求解。

首先，我们猜测一个特解$y^*$，并将其带入方程中。

然后我们将$y^*$代入方程，并解出常数。

我们将这些解代入齐次线性方程的通解中，并得到方程的通解。

4.欧拉方程法：如果方程是二阶常系数线性方程，并可以写为形式：$ax^2y''+bxy'+cy=0$，我们可以使用欧拉方程法进行求解。

二阶微分方程解法总结

二阶微分方程解法总结

二阶微分方程解法总结二阶微分方程是数学中的重要内容，特别是在物理学、工程学等领域中经常涉及到，因此掌握其解法十分重要。

本文将围绕二阶微分方程解法进行总结，详细介绍其解法步骤和要点。

一、分类讨论首先，对于二阶微分方程，需要根据其系数是否恒为零来进行分类讨论。

具体而言，二阶微分方程可分为齐次方程和非齐次方程两类。

对于齐次方程，其系数为常数，且自由项恒为零，此时可通过代入试探解法或特征方程解法求解；对于非齐次方程，其系数同样为常数，但自由项非零，因此需要运用常数变易法求解。

二、代入试探解法代入试探解法是求解齐次方程的常用方法。

具体而言，我们先根据已知条件猜测一个特殊的解，然后再通过验证来确定是否正确。

以一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0为例，设其特殊解为y=ce^(λx)，其中c和λ为待定系数。

将这个解代入方程中，得到λ^2+ pλ+ q=0，解出λ1和λ2，即可得到通解y=c1e^(λ1x)+c2e^(λ2x)。

三、特征方程解法特征方程解法也是求解齐次方程的一种方法。

对于一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0，可以通过设y=e^(mx)得到其特征方程m^2+pm+q=0。

解出m1和m2，则通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。

需要注意的是，在特征方程的求解过程中，方程的两个解m1和m2可能相等，此时通解应为y=(c1+c2x)e^(mx)。

因此，在解题时需要特别注意此类情况的处理。

四、常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的基本方法。

具体而言，首先求出其对应的齐次方程的通解，然后特殊解通过试探法求得。

以一般的非齐次二阶微分方程y''+py'+qy=f(x)为例，首先求出其对应的齐次方程的通解y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。

然后，我们猜测特殊解为y*=Ax+B，其中A和B为待定系数。

将y*代入方程中，可得到A=f'/m2，B=[f/(m2^2)]-[(p/m2)A]，从而得到非齐次方程的通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)+y*。