初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
轴对称最值图形
l
P
B
A
N
M l
B
A
A
P
B
l
原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直
线，P为直线l上的一
个动点，求AP+BP的
最小值
A，B为定点，l为定直线，
MN为直线l上的一条动线
段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，
P为直线l上的一个动
点，求|AP-BP|的最大值转化
作其中一个定点关于定
直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N
重合，然后作其中一个定
点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定
直线l的对称点
折叠最值图形
B'
N
M
C
A
B
原理两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值
1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，
若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为．
【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．
则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，
最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD=2OC=2×32=6．
【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．
【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．
把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．
设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．
【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），
作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），
设直线AB″的解析式为y=kx+b，
则
12
3
k b
k b
=+
⎧
⎨
-=+
⎩
，解得k=4，b=﹣7．
∴y=4x﹣7．当y=0时，x=7
4，即P（
7
4
，0），a=
7
4
．
故答案填：7
4
．
【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为．
D
P
B′
N
M
A
【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|P A﹣PB|=|P A﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|P A﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得P A、PB′的值，进而求得|P A﹣PB|的最大值．
【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连
AB′并延长交直线l于P．
∴B′N=BN=1，
过D点作B′D⊥AM，
利用勾股定理求出AB′=5
∴|P A﹣PB|的最大值=5．
【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．
【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．
【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．
故答案为：2
【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．
5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF 沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．
