2015年江苏高考数学模拟试卷（五）
第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）
苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{12345}U =，，，，，集合2
{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合
()U
A B = ▲ ．
2．已知,R x y ∈，i 为虚数单位，(2)i 1i x y --=+，则(1i)x y ++的值为 ▲ ．
3．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽
了85人，则该校的男生数应是 ▲ 人．
4．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于26的概率是 ▲ ．
5．已知定义域为R 的函数121()2x x f x a +-+=+是奇函数，则a = ▲ ．
6．在ABC ∆中，若2,23,3
a b B π
===
，则角A 的大小为 ▲ ．
7．设变量x ，y 满足约束条件2,1,2,
y x y x x k ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩≤≥≤且目标函数2+z x y =的最大值为3，则k = ▲ ．
8．若函数[]3
2
121212()2,,()()0f x x x mx x x R x x f x f x =-++∀∈-->，满足（），则实数m 的取值范
围是 ▲ ．
9．在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ．若数列{S n ＋1
2}也是等比数列，则S n 等于 ▲ ．
10．在样本的频率分布直方图中， 共有9个小长方形， 若第一个长方形
的面积为0．02， 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600， 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ ．
11．已知圆222
:(22)45280C x y m x my m m +---+--=，直线
:0l tx y t +-=．若对任意的实数t ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则实数m 的值为 ▲ ．
12．圆2
2
1x y +=与曲线y x a =+有两个交点，则a 的值是 ▲ ．
13．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒
子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则
a
b
的取值范围是 ▲ ． 样本数据
频率组距
10第题图
14．设,,x y z 是不全为0的实数，则
222
33xy yz zx
x y z ++++的最大值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知函数23
1()sin 2cos ,22
f x x x x R =
--∈． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，
求a ，b 的值．
16．（本小题满分14分）
在直三棱柱111C B A ABC -中，4AC =，2CB =，12AA =，
60=∠ACB ，E 、F 分别是11A C BC
，的中点．
（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；
（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．
A
B
C
E
F
P
1
A 1
B 1
C
在一段笔直的斜坡AC上竖立两根高16米的电杆,
AB CD，过,B D架设一条十万伏高压电缆线．假设电缆线BD呈抛物线形状，现以B为原点，AB所在直线为Y轴建立如图
所示的平面直角坐标系，经观测发现视线AD恰与电缆线相切于点
(,)
D m n．
（1）求电缆线BD所在的抛物线的方程；
（2）若高压电缆周围10米内为不安全区域，试问一个身高1.8米的人在
这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威
胁？请说明理由．
18．（本小题满分16分）
在平面内，已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的两个焦点为
12
,
F F，椭圆的离心率为
1
2
，P点是椭圆上
任意一点，且
124
PF PF
+=．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A、B点，
①求O到AB的距离；
②求OA OB
+的取值范围．
已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足2
21n n a S -=，n *N ∈．
数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；
（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知2
12ln ()x
f x x
+=
（1）求()f x 的单调区间；
（2）令2
()2ln g x ax x =-，则()1g x =时有两个不同的根，求a 的取值范围；
（3）存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠，使1212()()ln ln f x f x k x x --≥成立，求k 的取值范围．
