高等数学上学期期末考试试卷及答案四份
Revised on November 25, 2020
高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准
2004-2005年度第一学期
科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩: 一、填空题（5153'=⨯'） 1、()3
)
2ln(--=x x x f 的定义域是_ 2、 2 )1
sin 2sin (
lim 0
x =⋅+→x
x x x 3、 e )31(lim 3=+∞→x
x x
4、如果函数x x a x f 3sin 3
1sin )(+=，在3π
=x 处有极值，则2
=
a
5、
3
4d )1(sin cos
2
2
3
=
+⋅⎰-x x x π
π
二、单项选择题（5153'=⨯'）
1、当0→x 时，下列变量中与2
x 等价的无穷小量是（ ）
A . x cos 1-
B . 2x x +
C . 1-x e
D . x x sin )ln(1+ 2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A ．h h a f a f h )
()(lim
0--→ B ．h
h a f h a f h )()(lim 0--+→
C ．h a f h a f h )
()2(lim 0-+→ D ． h
h a f h a f h 3)()2(lim 0--+→
3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（ ）
A. 上升且凹的
B. 上升且凸的
C. 下降且凹的
D. 下降且凸的 4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）
A. )(d )(d d x f x x f x
b
a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d
=⎰
D.
C t f t t f +='⎰)(d )(
5、反常积分
⎰
∞
+- 0
d 2
x xe
x （ ）
A. 发散
B. 收敛于1
C. 收敛于21
D. 收敛于21-
三、算题（'488'6=⨯） 1、求极限x
x
x x 3
sin sin tan lim -→ 2、求22
)
2()
ln(sin lim x x x -→
ππ
3、求曲线⎩⎨⎧==t
y t
x 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程
4、已知函数0,sin >=x x y x ，计算x
y d d
5、求积分⎰x e x
d
6、求积分
x x e e
d ln 1
⎰
7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
8、计算星型线0,20,cos ,sin 33>≤≤==a t t a y t a x π的全长.
四、求函数求10123+-=x x y 的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（'7）
五、设)(0 ]10[)(x f x f <且上连续，，
在, 证明：方程1d )( 0
=+⎰x
t t f x 在[0,1]上有且仅有一根（'5）
六、设f (x )连续, 计算t t x f t x
x d )(d d 0 2
2⎰- （'5） 七、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=010
6
2t t
t t e t f t ，，）（设 , 计算：⎰∞-=x
t t f x F d )(）（（'5） 答案：
一、 填空题
1、（2，3）∪（3，+∞）
2、2
3、 e )31(lim 3=+∞→x
x x
4、2
5、3
4
d )1(sin cos
2
2
3
=
+⋅⎰-x x x π
π
二、
1、D
2、A
3、B
4、A
5、C 三、计算题
1、解：x x
x x 30sin sin tan lim
-→=x
x x 20sin cos 1lim -→=21 2’ 4’
2、解：22
)2()ln(sin lim x x x -→ππ=)2(4cos sin 1
lim 2x x
x x --→
ππ=)2(4cos lim 2
x x x --→ππ=81 3、解: 当4
π
=
t 曲线过点)0,22(
, 由于22d d 4
-=π
x
y
, 4’
所以, 当4
π
=
t
处的切线方程和法线方程分别为:)2
2
(22-
-=x y 1’ )2
2(42-=
x y 1’ 4、解:)sin ln (cos )sin ln (cos d )(d d d sin ln sin ln sin x x
x x x x x x x e x e x y x x x x x +=+==
解: 令u u x x u d 2d ,==, 则: 1’ 解: 令u u x x u d 2d ,==, 则: 1’ 5、令u u x x u d 2d ,==, ⎰
x e x
d =
c e x c e u u e ue u ue x
u
u u u +-=+-=-=⎰
⎰)1(2)1(2d 22d 2
6、解:
x x e e
d ln 1
⎰
=e
x x x x x x x x x x e e e
e
e
e 22d ]ln [d ]ln [d ln d ln 1
11111111-=-++-=+-⎰⎰⎰⎰
