第7章 非线性系统

x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。

第七章非线性系统第一节，非线性的大体概念一，非线性模型组成：非线性环节+线性环节二，分类从形状特性上分：饱和、死区、回环、继电器a,饱和x三，特点：稳固性与结构，初始条件有关；响应不能用叠加原理四，分析方式相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精准，因高阶作用太复杂描述函数法：近似性，高阶系统也很方便1，2四，滞环特性（间隙）7—2 二阶线性和非线性系统相平面法分析一、相平面法大体概念要完全地描述二阶的系统时域行为，至少要用两个变量（状态变量）。

可选x(t) 和)(t x作为状态变量。

1． 相平面：以横坐标表示X ，以纵坐标x组成一个直角坐标系， 2． 相轨迹：相平面上的点随时刻转变刻画出来的曲线称为相轨迹。

3． 相平面图：相平面和想轨迹曲线簇组成相平面图。

4． 想平面法：用相图表示非线性二阶系统进程的方式成相平面法，5． 相平面发局限性在于只适用在定常系统，系统输入只适限于阶跃和斜坡。

举例：例8—1 某弹簧——质量运动系统。

m —质量，k —弹性系数解：描述系统运动的微分方程为：直接微分法。

方程x ∙∙+x=0 可写成 x ∙dx ∙/dx=--x分离变量x ∙dx=--xdx 代入初始条件∫x ∙dx ∙=--∫xdx即 x+x=Xo 与上法结果相同。

分析：等幅振荡特性能够用相轨迹表征 ，相轨迹为闭合曲线。

一. 奇点1. 概念:相轨迹方程dx`/dx 为不定值的点dy/dx=0/04.奇点类型1) 稳固核心(-1<ζ<0) 相轨迹从原点向外发散,自由运动不收敛平稳点,是周期性增幅振荡二. 极限环分类相平面上孤点的闭和曲线称为极限环,与初始条件无关. 极限环表示对应于时域中有确信振幅和频率的振荡，极限环包括 稳固极限环 不稳固极限环 半稳固极限环稳固极限环：极限环外部和内部起始的相轨迹都渐进趋向于那个极限环,任何较小的扰动使系统离开极限环后,最后回到环上。

不稳固极限环、半稳固极限环不能产生自振荡,环内相轨迹发散、极限环外相轨迹收拢极限环7—3非线性系统的相平面分析第一依照非线性特性的分段情形,用几条分界限将相 划分为几个现行区域1) 然后依照系统的结构图别离列写各区域的线性微分方程式2) 并应用线性系统相平面分析的方式和结论,绘出各区域的相轨迹3) 依照系统状态转变的持续性,在各区域的交壤限上,将响轨迹彼此衔接成持续曲线,即组成完整的线性系统相图实奇点：每一个区域内有一个奇点,若是那个奇点在本区域之内,这种奇点称实奇点 虚奇点：若是奇点落在本区域之外,称虚奇点说明该区域相轨迹不可能聚集于虚奇点. 二阶非线性系统中,只可能有一个实奇点,而与那个实奇点所在区域邻接的所有其它区域都可能有虚奇点操纵系统分析例: 饱和特性的非线性操纵系统，用相平面法分析系统的阶跃响应和斜坡响应解：系统线性部份c(s)/x(s)=s+1) ``+c`\ e=r-c非线性部份：10e |e|<1x= 10 e>1-10 e<-1阶跃响应r=Rx1(t)，当t>0+时r``(t)=r`(t), r=R e`=-c`, e``=-c``描述系统误差的方程为``+e`+=0x=10e |e|<=1x=10 e>1x=-10 e>1即为方程线性方程，在相平面上，e=+-1的两条直线把相平面划分为三个区域，1) 关于1区，系统线性微分方程为``+e`+=0de`/de=-e` 相轨迹方程。

振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。 There is self excited oscillation in the nonlinear
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system

研究非线性系统的常用方法有：描述函数法和相 平面法 。
1
7.1 常见的非线性静态特性
1. 死区
死区又称为不灵敏区，图1是测速发电机的静态特性。
在
n区间n0，由于炭刷压降的关系，输出电压U0=0, 不
能反映输入量n的变化，故该区域称为死区。
直流电机，由于轴上存在着磨擦力矩和负载力矩，
只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，也存
图2
许多元件都具有饱和特性。放大元件由于受电源
电压或输出功率的限制，当输入电压超过放大器的线
性工作范围时，输出呈饱和现象。饱和特性图2所示3。
由于饱和特性，当输入信号绝对值大于a以后，其 等效增益K=x2/x1越来越低。因此，带饱和元件的系统， 一般都可以稳定，最坏的情况就是自激振荡，而不会
造成偏差越来越大的不稳定现象。
非线性方程
x
(1
x)x
0
所描述的系统是非线性系
统，方程中 x 项的系数不是常数，而与变量 x 有关。
x (1 x)x 0 (1)
令 x0
x
发散，不稳定
可知该系统存在两个平衡状 x0 1
态 x 0, x 1 ，相应的时 0
间响应随初始条件而变。不 同初始条件下的动态响应曲 线如图所示：
t
收敛，稳定
在着死区。
u0
-n0
0 n0
n
图1
2
死区特性相当于在系统中加入一个变增益元件。 在死区范围内，其等效增益K=x2/x1为零。当据有死区 特性的元件串入系统前向通道时，减小了系统的开环 增益，故有利于提高系统的稳定性，减弱系统响应的 振荡倾向，但却使系统的稳态误差增大了。
x2
2. 饱和