求解递推数列的通项公式的十种策略

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- 1 - 1 求递推数列通项公式的十种策略例析

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式

例1 已知数列}a{n满足nn1n23a2a，2a1，求数列}a{n的通项公式。

解：nn1n23a2a两边除以1n2，得232a2ann1n1n，则232a2ann1n1n，

故数列}2a{nn是以1222a11为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n(12ann，所以数列}a{n的通项公式为nn2)21n23(a。

评注：本题解题的关键是把递推关系式nn1n23a2a转化为232a2ann1n1n，说明数列}2a{nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n(12ann，进而求出数列}a{n的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2 已知数列}a{n满足1a1n2aa1n1n，，求数列}a{n的通项公式。

解：由1n2aan1n

得1n2aan1n

则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a

1)1n(2n)1n(21)1n(]12)2n()1n[(21)112()122(]1)2n(2[]1)1n(2[

所以数列}a{n的通项公式为2nna

评注：本题解题的关键是把递推关系式1n2aan1n转化为1n2aan1n，进而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得数列}a{n的通项公式。

例3 已知数列}a{n满足3a132aa1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。

解：由132aann1n

得132aann1n

则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a

3)1n()3333(23)132()132()132()132(122n1n122n1n

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- 2 - 2 所以1n32n31332annn

评注：本题解题的关键是把递推关系式132aann1n转化为132aann1n，进而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得数列}a{n的通项公式。

例4 已知数列}a{n满足3a132a3a1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。

解：132a3ann1n两边除以1n3，得

1nnn1n1n31323a3a，

则1nnn1n1n31323a3a，

故3a)3a3a()3a3a()3aaa()aa3a(3a111223n3n2n2n2n2n1n1n1n1nnnnn

33)3132()3132()3132()3132(22n1nn

1)3131313131(3)1n(222n1nnn

因此n1nnnn321213n2131)31(313)1n(23a，

则213213n32annn

评注：本题解题的关键是把递推关系式132a3ann1n转化为1nnn1n1n31323a3a，进而求出)3a3a()3a3a()3a3a(3n3n2n2n2n2n1n1n1n1nnn+…+3a)3a3a(11122，即得数列}3a{nn的通项公式，最后再求数列}a{n的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5 已知数列}a{n满足3aa5)1n(2a1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。

解：因为3aa5)1n(2a1nn1n，，所以0an，则nn1n5)1n(2aa，

则112232n1n1nnnaaaaaaaaaa

3]5)11(2[]5)12(2[]5)12n(2[]5)11n(2[122n1n

35]23)1n(n[212)2n()1n(1n

所以数列}a{n的通项公式为

!n523a2)1n(n1nn

评注：本题解题的关键是把递推关系nn1na5)1n(2a转化为nn1n5)1n(2aa，进而求出112232n1n1nnaaaaaaaaa，即得数列}a{n的通项公式。

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- 3 - 3

例6 （2004年全国15题）已知数列}a{n满足)1n(a3a2aa1a321n1，

)2n(a)1n(1n，则}a{n的通项2n2!n1n1an，，

解：因为)2n(a)1n(a3a2aa1n321n ①

所以n1n3211nnaa)1n(a3a2aa ②

所以②式－①式得nn1nnaaa

则)2n(a)1n(an1n

则)2n(1naan1n

所以2232n1n1nnnaaaaaaaa

22a2!na]34)1n(n[ ③

由)2n(a)1n(a3a2aa1n321n，取n=2得212a2aa，则12aa，又知1a1，则1a2，代入③得

2!nn5431an。

评注：本题解题的关键是把递推关系式)2n(a)1n(an1n转化为1naan1n（n≥2），进而求出2232n1n1nnaaaaaaa，从而可得当n≥2时na的表达式，最后再求出数列}a{n的通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7 已知数列}a{n满足6a53a2a1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。

解：设)5xa(25xann1n1n ④

将nn1n53a2a代入④式，得nn1nnn5x2a25x53a2，等式两边消去na2，得n1nn5x25x53，两边除以n5，得x25x3，则x=－1，代入④式，

得)5a(25ann1n1n ⑤

由1565a11≠0及⑤式，得05ann，则25a5ann1n1n，则数列}5a{nn是以15a11为首项，以2为公比的等比数列，则1nnn215a，故n1nn52a。

评注：本题解题的关键是把递推关系式nn1n53a2a转化为)5a(25ann1n1n，从而可知数列}5a{nn是等比数列，进而求出数列}5a{nn的通项公式，最后再求出数列}a{n的通项公式。

例8 已知数列}a{n满足1a425a3a1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。

解：设)y2xa(3y2xann1n1n ⑥

将425a3ann1n代入⑥式，得

)y2xa(3y2x425a3nn1nnn

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- 4 - 4 整理得y32x3y42)x25(nn。

令y3y4x3x25，则2y5x，代入⑥式，得

)225a(3225ann1n1n ⑦

由013121225a11及⑦式，

得0225ann，则3225a225ann1n1n，

故数列}225a{nn是以13121225a11为首项，以3为公比的等比数列，因此1nnn313225a，则225313an1nn。

评注：本题解题的关键是把递推关系式425a3ann1n转化为)225a(3225ann1n1n，从而可知数列}225a{nn是等比数列，进而求出数列}225a{nn的通项公式，最后再求数列}a{n的通项公式。

例9 已知数列}a{n满足1a5n4n3a2a12n1n，，求数列}a{n的通项公式。

解：设z)1n(y)1n(xa21n

)zynxna(22n ⑧

将5n4n3a2a2n1n代入⑧式，得

z)1n(y)1n(x5n4n3a222n

)zynxna(22n，则

z2yn2xn2a2)5zyx(n)4yx2(n)x3(a22n2n

等式两边消去na2，得z2yn2xn2)5zyx(n)4yx2(n)x3(22，

则得方程组z25zyxy24yx2x2x3，则18z10y3x，代入⑧式，得

18)1n(10)1n(3a21n)18n10n3a(22n ⑨

由0323111811013a21及⑨式，得

018n10n3a2n

则218n10n3a18)1n(10)1n(3a2n21n，故数列}18n10n3a{2n为以323111811013a21为首项，以2为公比的等比数列，因此1n2n23218n10n3a，则18n10n32a24nn。

评注：本题解题的关键是把递推关系式5n4n3a2a2n1n转化为)18n10n3a(218)1n(10)1n(3a2n21n，从而可知数列}18n10n3a{2n是等比数列，进而求出数列}18n10n3a{2n的通项公式，最后再求出数列}a{n的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10 已知数列}a{n满足5nn1na32a，7a1，求数列}a{n的通项公式。