立体几何真题及答案

一、选择题

1．以下命题中，不正确的命题个数为 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：由向量的和运算知①正确．

∵a，b，c为空间一个基底，则a，b，c为两两不共线的非零向量．

不妨假设a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，

即(1－y)a＋(1－x)b－(x＋y)c＝0.

∵a、b、c两两不共线，∴1－x＝01－y＝0x＋y＝0，

不存在实数x、y使假设成立，故②正确．

③中若加入x＋y＋z＝1则结论正确，故③错误．

答案：B

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：

答案：A

∴∠DBC是锐角．同理可证∠DCB，∠BDC都是锐角．

∴△BCD是锐角三角形．

答案：B

4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝23A1D，

AF＝13AC，则 ( )

A．EF至多与A1D、AC之一垂直

B．EF是A1D、AC的公垂线

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1异面

解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直

线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．则A1(1,0,1)，

D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E13，0，13，

答案：D

5.(2010•山东烟台)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半

平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大

小为 ( )

A.150° B．45° C．60° D．120°

答案：C 二、填空题

答案：3a＋3b－5c

7.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线

A1B与AC所成角的余弦值是________．,解析：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在

直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，,

8.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，

使二面角A—DE—B为45°，此时点A在平面BC－DE内的射影恰为点B，则M、N

的连线与AE所在角的大小等于________．

答案：90°

9.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，

A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．,解析：分别以C1B1、

C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．,

∵A1M＝AN＝23a，,∴Ma，23a，a3，

N23a，23a，a，

答案：平行

三、解答题

10.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， AB＝AD＝2，DC＝23，AA1＝3，AD⊥

DC，AC⊥BD，E为垂足．

(1)求证：BD⊥A1C；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小；

(3)求异面直线AD与BC1所成角的余弦．

解：(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，

∵A1A⊥底面ABCD，

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．

∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C.

(2)如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系．

连结A1E、C1E、A1C1，与(1)同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E.

∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角，

由A1(2,0，3)，C1(0,23，3)，E32，32，0，

11．(2010•山东，19)如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，

AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝22，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

(3)求四棱锥P－ACDE的体积．

解：(1)证明：在△ABC中，因为∠ABC＝45°，BC＝4，AB＝22，所以AC2＝AB2

＋BC2－2AB•BC•cos45°＝8，

因此AC＝22.故BC2＝AC2＋AB2，所以∠BAC＝90°.

又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，

所以CD⊥PA，CD⊥AC.

又PA、AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAC.

(2)解法一：因为△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝22，因此PB＝PA2＋AB2＝

4.

又AB∥CD.

所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．

由于CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA＝22，AC＝22，所以PC＝4.

故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离．

所以B到平面PCD的距离为h＝2.

设直线PB与平面PCD所成的角为θ，

则sin θ＝hPB＝24＝12，又θ∈0，π2，所以θ＝π6.

解法二：由(1)知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、

z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝22，

又AC＝22，因此A(0,0,0)，B(22，0,0)，C(0,22，0)，P(0，0,22)，

因为AC∥ED，CD⊥AC，

所以四边形ACDE是直角梯形．

因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，

所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，

故CD＝AE•sin 45°＝2×22＝2， 所以D(－2，22，0)．

因为CP→＝(0，－22，22)，CD→＝(－2，0,0)，

设m=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，则m•CP→＝0，m•CD→＝0，解得x＝0，

y＝z，

取y=1，得m=（0，1，1），又BP→＝(－22，0,22)，

设θ表示向量BP→与平面PCD的法向量m所成的角，

因此直线PB与平面PCD所成的角为π6.

(3)因为AC∥ED，CD⊥AC，

所以四边形ACDE是直角梯形．

因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，

所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，

故CD＝AE•sin 45°＝2×22＝2，

ED＝AC－AE•cos 45°＝22－2×22＝2，

所以S四边形ACDE＝2＋222×2＝3.

PA⊥平面ABCDE.∴VP－ACDE＝13×3×22＝22.

12．(2010•福建)如图圆柱OO1内有一个三棱柱ABC－A1B1C1

棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的

直径．

(1)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；

(2)设AB＝AA1.在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自

于三棱柱ABC－A1B1C1内的概率为p.

(ⅰ)当点C在圆周上运动时，求p的最大值；

(ⅱ)记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°

θ的值．

解：解法一：(1)证明：∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC.

∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC.

又AC∩A1A＝A，∴BC⊥平面A1ACC1.

而BC⊂平面B1BCC1，

所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.

(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r，则AB＝AA1＝2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V1

＝12AC•BC•2r＝AC•BC•r.

又∵AC2＋BC2＝AB2＝4r2，

∴AC•BC≤AC2＋BC22＝2r2，

当且仅当AC＝BC＝2r时等号成立．

从而，V1≤2r3.

而圆柱的体积V＝πr2•2r＝2πr3，故p＝V1V≤2r32πr3＝1π，当且仅当AC＝BC＝2r，即 OC⊥AB时等号成立．所以，p的最大值等于1π.

(ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值时，OC⊥AB.

于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz(如图)，

则C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r，2r)．

∵BC⊥平面A1ACC1，

∴BC→＝(r，－r,0)是平面A1ACC1的一个法向量．

设平面B1OC的法向量n＝(x，y，z)，

取z＝1，得平面B1OC的一个法向量为n＝(0，－2,1)．

解法二：(1)同解法一．

(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r，则AB＝AA1＝2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V1

＝12AC•BC•2r＝AC•BC•r.

设∠BAC＝α(0°

AC•BC＝4r2sin αcos α＝2r2sin 2α≤2r2，当且仅当sin 2α＝1即α＝45°时等号成立．故

V1≤2r3.而圆柱的体积V＝πr2•2r＝2πr3，故p＝V1V≤2r32πr3＝1π，当且仅当sin 2α＝1即α

＝45°时等号成立．所以，p的最大值等于1π.

(ⅱ)同解法一．

解法三：(1)同解法一．

(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r，则AB＝AA1＝2r.故圆柱的体积V＝πr2•2r＝2πr3.

因为p＝V1V，所以当V1取得最大值时，p取得最大值．

又因为点C在圆周上运动，所以当OC⊥AB时，△ABC的面积最大．进而，三棱柱

ABC－A1B1C1的体积V1最大，且其最大值为12•2r•r•2r＝2r3.