24.1圆的有关概念和性质(共4课时)

24．1 圆

教学目标

1、知识与技能：了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

2、过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

3．情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

教学重点： 1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．

2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．

3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．

5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

教学难点

1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．

2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．

3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．

第一课时

24.1.1圆

本节课主要让学生自学为主，明确圆的两种定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念。

教学过程：

一、引入：通过图片展示圆在生产、生活中的应用。

二、探索新知：

展示自学成果，有同学介绍圆的定义及相关概念。

思考1、车轮为什么做成圆形的？

思考2、为什么说“直径是圆中最长的弦”？试说说你的理由.

思考3、判断正误：1）、弦是直径；

2）半圆是弧；

3）过圆心的线段是直径；

4）过圆心的直线是直径；

5) 半圆是最长的弧；

6 ) 直径是最长的弦；

7) 圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; 8 ) 半径相等的两个圆是等圆；

9）等弧就是拉直以后长度相等的弧。

练习：P80

三、归纳小结：有学生自己讨论，老师完善。

四、布置作业：

五、 课后反思：

本节课采用学生预习之后尝试回忆的方法来上课。感觉学生的积极性较高。

第二课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．

重难点、关键

1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

教学过程

一、新课引入：1、如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？

2、赵州桥主桥拱的半径是多少？

问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？（幻灯片2）

二、探索新知

活动1、不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性？

（借助教具----事先准备好没有圆心的圆）（幻灯片3）

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径．

2．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（板书）

活动2、请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． CEDOFBACDOM

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

（2）AM=BM，ACBC，ADBD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ADB．

这样，我们就得到下面的定理：

垂径定理----垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．（板书）

说明：老师用几何画板演示，证明由学生完成

进一步，我们还可以得到结论：

推论----平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（板书）

活动3、火眼金睛（幻灯片4、5、6、7、8）

1、下列图形是否具备垂径定理的条件？

2、垂径定理的几个基本图形。

3、轻松过关。

小结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件。（记在书上）

活动4、你现在能解决赵州桥的问题了吗？

例1．（幻灯片11）如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD的圆心，•其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

解：如图，连接OC

设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m

∵OE⊥CD

∴CF=12CD=12×600=300（m）

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=3002+（R-90）2 解得R=545

∴这段弯路的半径为545m．

三、巩固练习

教材P82练习1、2

四、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：

1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

2．垂径定理及其推论以及它们的应用．

事实上：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤ 平分弦所对的劣弧。那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。

3．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件。

五、布置作业P87习题24.1第1、8、9题

六、课后反思

1、将垂径定理及推论分解为1、2、3、4、5几条来分析，效果较好。

2、一节课讲不完，必须加一节习题课。

第三课时

教学内容

1．圆心角的概念．

2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．

重难点、关键

1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．

教学过程

一、复习引入

1、我们学过圆有哪些性质？

答：圆是轴对称图形；垂径定理及推论。垂径定理的证明利用了圆的轴对称性。

2、那么圆还具有什么样的对称性呢？据此我们又有什么新的发现？

二、探索新知

活动1、绕圆心转动一个圆，你有什么发现？答：圆具有旋转不变性

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． BAO

试一试：判别下列个图中的角是不是圆心角？（幻灯片2）

活动2（用课前准备好的圆和扇形）、请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

B'BAA'O

AB=''AB，AB=A′B′

理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′

∴半径OB与OB′重合

∵点A与点A′重合，点B与点B′重合

∴AB与''AB重合，弦AB与弦A′B′重合

∴AB=''AB，AB=A′B′

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．

（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．

O(O')O'OB'A'BB'O(O')O'OBAAA'

(1) (2)

你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现：AB=''AB（根据圆的旋转不变性），AB=A/B/．（根据两点确定一条直线）